Пентацион

Арифметическая операция

Первые три значения выражения x [5]2. Значение 3[5]2 составляет около 7,626 × 10 ¹² ; значения для более высоких x , такие как 4[5]2, которые составляют около 2,361 × 10 ^{8,072 × 10 153 ,} слишком велики, чтобы отображаться на графике.

В математике пентация (или гипер-5 ) — пятая гипероперация . Пентация определяется как повторная тетрация , аналогично тому, как тетрация — это повторная экспоненция , экспоненция — это повторное умножение , а умножение — это повторное сложение . Понятие «пентация» было названо английским математиком Рубеном Гудштейном в 1947 году, когда он придумал схему наименования гиперопераций.

Число a, возведенное в пентаграмму к числу b, определяется как a, возведенное в тетраграмму к самому себе b - 1 раз. Это может обозначаться по-разному: , , , , или , в зависимости от выбора обозначения. ${\displaystyle a[5]b}$ ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$ ${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$ ${\displaystyle a\to b\to 3}$ ${\displaystyle {_{b}a}}$

Например, 2, пентатированная до 2, есть 2, тетратированная до 2, или 2, возведенная в степень 2, что равно . В качестве другого примера, 2, пентатированная до 3, есть 2, тетратированная до результата 2, тетратированной до 2. Поскольку 2, тетратированная до 2, есть 4, 2, пентатированная до 3, есть 2, тетратированная до 4, что равно . ${\displaystyle 2^{2}=4}$ ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}=65536}$

Исходя из этого определения, пентация определена только тогда, когда a и b являются положительными целыми числами .

Определение

Пентация — это следующая гипероперация (бесконечная последовательность арифметических операций) после тетрации и перед гексацией . Она определяется как итерированная (повторяющаяся) тетрация (предполагая правую ассоциативность). Это похоже на то, что тетрация — это итерированное правоассоциативное возведение в степень . ^[1] Это бинарная операция, определяемая двумя числами a и b , где a тетрадируется к себе b − 1 раз.

Тип гипероперации обычно обозначается числом в скобках, []. Например, использование обозначения гипероперации для пентации и тетрации означает тетрацию 2 к себе 2 раза, или . Затем это можно сократить до ${\displaystyle 2[5]3}$ ${\displaystyle 2[4](2[4]2)}$ ${\displaystyle 2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536.}$

Этимология

Слово «пентация» было придумано Рубеном Гудштейном в 1947 году из корней пента- (пять) и итерация . Оно является частью его общей схемы наименования гиперопераций . ^[2]

Обозначение

Единого мнения по поводу записи пентации мало; как таковой, существует много разных способов записи этой операции. Однако некоторые из них используются чаще других, а некоторые имеют явные преимущества или недостатки по сравнению с другими.

• Пентация может быть записана как гипероперация как . В этом формате может быть интерпретирована как результат многократного применения функции , для повторений, начиная с числа 1. Аналогично, , тетрация, представляет собой значение, полученное при многократном применении функции , для повторений, начиная с числа 1, а пентация представляет собой значение, полученное при многократном применении функции , для повторений, начиная с числа 1. ^{[3] [4]} Это будет обозначение, используемое в оставшейся части статьи. ${\displaystyle a[5]b}$ ${\displaystyle a[3]b}$ ${\displaystyle x\mapsto a[2]x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a[4]b}$ ${\displaystyle x\mapsto a[3]x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a[5]b}$ ${\displaystyle x\mapsto a[4]x}$ ${\displaystyle b}$

• В нотации Кнута со стрелкой вверх , представлено как или . В этой нотации представляет функцию возведения в степень и представляет тетрацию. Операция может быть легко адаптирована для гексации путем добавления еще одной стрелки. ${\displaystyle a[5]b}$ ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$ ${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$ ${\displaystyle a\uparrow b}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$
• В нотации Конвея с цепочкой стрелок , . ^[5] ${\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}$
• Другая предлагаемая нотация — , хотя она не распространяется на более высокие гипероперации. ^[6] ${\displaystyle {_{b}a}}$

Примеры

Значения функции пентации также могут быть получены из значений в четвертой строке таблицы значений варианта функции Аккермана : если определяется рекуррентным соотношением Аккермана с начальными условиями и , то . ^[7] ${\displaystyle A(n,m)}$ ${\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}$ ${\displaystyle A(1,n)=an}$ ${\displaystyle A(m,1)=a}$ ${\displaystyle a[5]b=A(4,b)}$

Поскольку тетрация, ее базовая операция, не была расширена до нецелых высот, пентация в настоящее время определена только для целых значений a и b, где a > 0 и b ≥ −2, и нескольких других целых значений, которые могут быть определены уникально. Как и все гипероперации порядка 3 ( возведение в степень ) и выше, пентация имеет следующие тривиальные случаи (тождества), которые справедливы для всех значений a и b в пределах ее области: ${\displaystyle a[5]b}$

• ${\displaystyle 1[5]b=1}$
• ${\displaystyle a[5]1=a}$

Кроме того, мы можем также ввести следующие определяющие соотношения:

• ${\displaystyle a[5]2=a[4]a}$
• ${\displaystyle a[5]0=1}$
• ${\displaystyle a[5](-1)=0}$
• ${\displaystyle a[5](-2)=-1}$
• ${\displaystyle a[5](b+1)=a[4](a[5]b)}$

За исключением тривиальных случаев, показанных выше, пентация генерирует чрезвычайно большие числа очень быстро. В результате есть только несколько нетривиальных случаев, которые производят числа, которые можно записать в обычной нотации, все они перечислены ниже.

Некоторые из этих чисел записаны в виде степенной башни из-за их экстремального размера. Обратите внимание, что . ${\displaystyle \exp _{10}(n)=10^{n}}$

• ${\displaystyle 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4}$
• ${\displaystyle 2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536}$
• ${\displaystyle 2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65,536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)}$.
• ${\displaystyle 2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4](2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65,536)=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 2[4]65,536) }}\approx \exp _{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508)}$
• ${\displaystyle 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$
• ${\displaystyle 3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}$
• ${\displaystyle 3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7,625,597,484,987)=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{3[4]7,625,597,484,987-1}(1.09902)}$
• ${\displaystyle 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)}$(число, состоящее из более чем 10 ¹⁵³ цифр)
• ${\displaystyle 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)}$(число, содержащее более 10 ^{10 2184} цифр)

Смотрите также

• Функция Аккермана
• Большие числа
• Число Грэма
• История больших чисел

Ссылки

1. Перштейн, Миллард Х. (июнь 1961 г.), «Алгоритм 93: арифметика общего порядка», Сообщения ACM , 5 (6): 344, doi : 10.1145/367766.368160 , S2CID  581764.
2. Гудстейн, Р. Л. (1947), «Трансфинитные ординалы в рекурсивной теории чисел», Журнал символической логики , 12 (4): 123–129, doi :10.2307/2266486, JSTOR  2266486, MR  0022537, S2CID  1318943.
3. Кнут, Д. Э. (1976), «Математика и информатика: преодоление конечности», Science , 194 (4271): 1235–1242, Bibcode : 1976Sci...194.1235K, doi : 10.1126/science.194.4271.1235, PMID  17797067, S2CID  1690489.
4. Блейкли, GR; Борош, I. (1979), «Повторные степени Кнута», Advances in Mathematics , 34 (2): 109–136, doi :10.1016/0001-8708(79)90052-5, MR  0549780.
5. Конвей, Джон Хортон ; Гай, Ричард (1996), Книга чисел, Springer, стр. 61, ISBN 9780387979939.
6. "Tetration.org - Tetration". www.tetration.org . Получено 2022-09-12 .
7. Намбиар, К. К. (1995), «Функции Аккермана и трансфинитные ординалы», Applied Mathematics Letters , 8 (6): 51–53, CiteSeerX 10.1.1.563.4668 , doi : 10.1016/0893-9659(95)00084-4 , MR  1368037 .