Тривиальность (математика)

Математически очевидно

В математике прилагательное тривиальный часто используется для обозначения утверждения или случая, которые можно легко получить из контекста, или объекта, который обладает простой структурой (например, группы , топологические пространства ). ^{[1] [2]} Существительное тривиальность обычно относится к простому техническому аспекту какого-либо доказательства или определения. Происхождение этого термина в математическом языке происходит из средневековой учебной программы тривиума , которая отличается от более сложной учебной программы квадривиума . ^{[1] [3]} Противоположностью тривиальному является нетривиальный , который обычно используется для обозначения того, что пример или решение не являются простыми или что утверждение или теорему нелегко доказать. ^[2]

Решение о том, является ли рассматриваемая ситуация тривиальной или нет, зависит от того, кто ее рассматривает, поскольку ситуация очевидно верна для того, кто обладает достаточными знаниями или опытом о ней, тогда как для того, кто никогда не видел этого, ее может быть даже трудно понять. так что это совсем не тривиально. И может возникнуть спор о том, насколько быстро и легко следует распознать проблему, чтобы ее можно было рассматривать как тривиальную. Итак, тривиальность не является общепризнанным свойством в математике и логике.

Тривиальные и нетривиальные решения

В математике термин «тривиальный» часто используется для обозначения объектов (например, групп, топологических пространств) с очень простой структурой. К ним относятся, среди прочего:

• Пустой набор : набор , не содержащий элементов или не содержащий элементов.
• Тривиальная группа : математическая группа , содержащая только единичный элемент.
• Тривиальное кольцо : кольцо, определенное в одноэлементном множестве.

Слово « тривиальное » также может использоваться для описания решений уравнения , которые имеют очень простую структуру, но для полноты картины не могут быть опущены. Эти решения называются тривиальными решениями . Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

$${\displaystyle y'=y}$$

где – функция , производная которой равна . Тривиальным решением является нулевая функция ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle y'}$

$${\displaystyle y(x)=0}$$

а нетривиальным решением является показательная функция

$${\displaystyle y(x)=e^{x}.}$$

Дифференциальное уравнение с граничными условиями важно в математике и физике, поскольку его можно использовать для описания частицы в ящике в квантовой механике или стоячей волны на струне. Оно всегда включает решение , которое считается очевидным и поэтому называется «тривиальным» решением. В некоторых случаях могут существовать и другие решения ( синусоиды ), которые называются «нетривиальными» решениями. ^[4] ${\displaystyle f''(x)=-\lambda f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=f(L)=0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Точно так же математики часто описывают последнюю теорему Ферма как утверждение, что не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения , где n больше 2. Очевидно, что у уравнения существуют некоторые решения. Например, является решением для любого n , но такие решения очевидны и достижимы без особых усилий и, следовательно, «тривиальны». ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ ${\displaystyle a=b=c=0}$

В математических рассуждениях

Тривиальность может также относиться к любому простому случаю доказательства, который ради полноты доказательства нельзя игнорировать. Например, доказательства методом математической индукции состоят из двух частей: «базового случая», который показывает, что теорема верна для определенного начального значения (например, n = 0 или n = 1), и индуктивного шага, который показывает, что если теорема верно для определенного значения n , то это также верно и для значения n + 1. Базовый случай часто тривиален и идентифицируется как таковой, хотя бывают ситуации, когда базовый случай сложен, но индуктивный шаг тривиален. Точно так же можно захотеть доказать, что некоторым свойством обладают все члены определенного множества. В основной части доказательства будет рассмотрен случай непустого множества и подробно рассмотрены его члены; в случае, когда множество пусто, этим свойством тривиально обладают все члены пустого множества, поскольку их нет ( подробнее см. «Пустая истина »).

Решение о том, является ли рассматриваемая ситуация тривиальной или нет, зависит от того, кто ее рассматривает, поскольку ситуация очевидно верна для того, кто обладает достаточными знаниями или опытом о ней, тогда как для того, кто никогда не видел этого, ее может быть даже трудно понять. так что это совсем не тривиально. И может возникнуть спор о том, насколько быстро и легко следует распознать проблему, чтобы ее можно было рассматривать как тривиальную. Следующие примеры показывают субъективность и двусмысленность суждения о тривиальности.

Тривиальность также зависит от контекста. Доказательство в функциональном анализе , вероятно, при наличии числа тривиально предполагает существование большего числа. Однако при доказательстве основных результатов о натуральных числах в элементарной теории чисел доказательство вполне может зависеть от замечания о том, что любое натуральное число имеет преемника – утверждение, которое само по себе должно быть доказано или принято как аксиома, поэтому не является тривиальным ( подробнее см. аксиомы Пеано ).

Тривиальные доказательства

В некоторых текстах тривиальное доказательство относится к утверждению, включающему материальную импликацию P → Q, где следствие Q всегда истинно. ^[5] Здесь доказательство следует непосредственно в силу определения материальной импликации, в которой импликация истинна независимо от истинностного значения антецедента P , если консеквент зафиксирован как истинный. ^[5]

Родственное понятие — это пустая истина , где антецедент P в материальной импликации P → Q ложен. ^[5] В этом случае импликация всегда истинна независимо от истинностного значения консеквента Q – опять же в силу определения материальной импликации. ^[5]

Критика

• В математическом сообществе часто шутят, что «тривиальное» является синонимом «доказанного» — то есть любую теорему можно считать «тривиальной», если известно, что она доказана. ^[1]
• Два математика обсуждают теорему: первый математик говорит, что теорема «тривиальна». В ответ на просьбу другого объясниться он затем приступает к двадцатиминутному изложению. В конце объяснения второй математик соглашается, что теорема тривиальна. Но можем ли мы сказать, что эта теорема тривиальна, даже если ее доказательство потребует много времени и усилий?
• Когда математик говорит, что теорема тривиальна, но он не может доказать ее сам в тот момент, когда говорит ее как тривиальную. Тогда является ли теорема тривиальной?
• Часто в шутку проблему называют «интуитивно очевидной». Например, человек, имеющий опыт в исчислении , сочтет следующее утверждение тривиальным:
  $${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}.}$$
  Однако для человека, не знакомого с интегральным исчислением, это совсем не очевидно, поэтому нетривиально.

Примеры

• В теории чисел часто бывает важно найти множители целого числа N. Любое число N имеет четыре очевидных множителя: ±1 и ± N . Это так называемые «тривиальные факторы». Любой другой фактор, если бы он существовал, можно было бы назвать «нетривиальным». ^[6]
• Однородное матричное уравнение , где – фиксированная матрица, – неизвестный вектор, – нулевой вектор, имеет очевидное решение . Это называется «тривиальным решением». Любые другие решения с , называются «нетривиальными». ^[7] ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$
• В теории групп существует очень простая группа, состоящая всего из одного элемента; ее часто называют «тривиальной группой». Все остальные группы, более сложные, называются «нетривиальными».
• В теории графов тривиальный граф — это граф, который имеет только одну вершину и не имеет ребра.
• В теории баз данных есть концепция, называемая функциональной зависимостью . Зависимость верна, если Y является подмножеством X , поэтому такой тип зависимости называется «тривиальным». Все остальные зависимости, менее очевидные, называются «нетривиальными». ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$
• Можно показать, что дзета-функция Римана имеет нули при отрицательных четных числах -2, -4,... Хотя доказательство сравнительно легко, этот результат все же обычно не называют тривиальным; однако это так и есть в данном случае, поскольку другие его нули обычно неизвестны, имеют важные приложения и вызывают открытые вопросы (такие как гипотеза Римана ). Соответственно, отрицательные четные числа называются тривиальными нулями функции, а любые другие нули считаются нетривиальными.

Смотрите также

• Вырождение
• Начальные и конечные объекты
• Список математического жаргона
• Патологический
• Тривиализм
• Тривиальная мера
• Тривиальное представление
• Тривиальная топология

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Тривиал». mathworld.wolfram.com . Проверено 14 декабря 2019 г.
2. «Математические слова: тривиально». www.mathwords.com . Проверено 14 декабря 2019 г.
3. Айто, Джон (1990). Словарь происхождения слов . Издательство Техасского университета. п. 542. ИСБН 1-55970-214-1. ОСЛК  33022699.
4. Захманоглу, ЕС; То, Дейл В. (1986). Введение в уравнения в частных производных с приложениями. п. 309. ИСБН 9780486652511.
5. Чартран, Гэри ; Полимени, Альберт Д.; Чжан, Пин (2008). Математические доказательства: переход к высшей математике (2-е изд.). Бостон: Пирсон/Эддисон Уэсли. п. 68. ИСБН 978-0-3-2139053-0.
6. Ян, Сон Ю. (2002). Теория чисел для вычислений (2-е, иллюстрированное изд.). Берлин: Шпрингер. п. 250. ИСБН 3-540-43072-5.
7. Джеффри, Алан (2004). Математика для инженеров и ученых (Шестое изд.). ЦРК Пресс. п. 502. ИСБН 1-58488-488-6.

Внешние ссылки

• Тривиальная запись в MathWorld