Материальная импликация (правило вывода)

Правило замены в пропозициональной логике

В пропозициональной логике материальная импликация ^{[1] [2]} является допустимым правилом замены , которое позволяет заменить условное утверждение дизъюнкцией , в которой антецедент отрицается . Правило гласит, что P подразумевает, что Q логически эквивалентно not- или и что любая из форм может заменять другую в логических доказательствах . Другими словами, если истинно, то также должно быть истинным, в то время как если не истинно , то также не может быть истинным; кроме того, когда не истинно, может быть как истинным, так и ложным. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q,}$

где " " — металогический символ , представляющий "можно заменить в доказательстве на", P и Q — любые заданные логические утверждения , и могут быть прочитаны как "(не P ) или Q ". Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующие утверждения: ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \neg P\lor Q}$

• ${\displaystyle P}$: Сэм съел апельсин на обед.
• ${\displaystyle Q}$: Сэм съел фрукт на обед.

Тогда, чтобы сказать «Сэм съел апельсин на обед», подразумевается «Сэм съел фрукт на обед» ( ). Логично, что если Сэм не съел фрукт на обед, то Сэм также не мог съесть апельсин на обед (посредством контрапозиции ). Однако простое утверждение, что Сэм не съел апельсин на обед, не дает никакой информации о том, съел ли Сэм фрукт (любого вида) на обед. ${\displaystyle P\to Q}$

Частичное доказательство

Предположим, нам дано, что . Тогда по закону исключенного третьего ^{[ необходимо разъяснение ]} (т.е. либо должно быть истинным, либо не должно быть истинным). ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg P\lor P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Следовательно, поскольку , в утверждении можно заменить на , и отсюда следует, что (т.е. либо должно быть истинным, либо не должно быть истинным). ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg P\lor Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Предположим, наоборот, что нам дано . Тогда, если истинно, то это исключает первый дизъюнкт, поэтому мы имеем . Короче говоря, . ^[3] Однако, если ложно, то это следствие не выполняется, поскольку первый дизъюнкт истинен, что не накладывает никаких ограничений на второй дизъюнкт . Следовательно, ничего нельзя сказать о . В общем, эквивалентность в случае ложности является лишь условной, и, следовательно, формальное доказательство эквивалентности является лишь частичным. ${\displaystyle \neg P\lor Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle P}$

Это также можно выразить с помощью таблицы истинности :

Пример

Пример: нам дан условный факт, что если это медведь, то он умеет плавать. Затем все 4 возможности в таблице истинности сравниваются с этим фактом.

1. Если это медведь, то он умеет плавать — Т
2. Если это медведь, то он не умеет плавать — F
3. Если это не медведь, то он умеет плавать — Т, потому что это не противоречит нашему первоначальному факту.
4. Если это не медведь, то он не умеет плавать — Т (как и выше)

Таким образом, условный факт можно преобразовать в , который имеет вид «это не медведь» или «он умеет плавать», где — утверждение «это медведь», а — утверждение «он умеет плавать». ${\displaystyle \neg P\vee Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Ссылки

1. Патрик Дж. Херли (1 января 2011 г.). Краткое введение в логику. Cengage Learning. ISBN 978-0-8400-3417-5.
2. Копи, Ирвинг М.; Коэн , Карл (2005). Введение в логику . Prentice Hall. стр. 371.
3. "Эквивалентность a→b и ¬ a ∨ b". Mathematics Stack Exchange .