Первое несчетное порядковое число

Наименьшее порядковое число, которое, рассматриваемое как множество, является несчетным

В математике первый несчетный ординал , традиционно обозначаемый как или иногда как , является наименьшим ординальным числом , которое, рассматриваемое как множество , является несчетным . Это супремум (наименьшая верхняя граница) всех счетных ординалов. При рассмотрении множества как множества элементы являются счетными ординалами (включая конечные ординалы), ^[1] которых несчетно много. ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Как и любое порядковое число (в подходе фон Неймана ), является вполне упорядоченным множеством , причем принадлежность к множеству служит отношением порядка. является предельным ординалом , т.е. не существует ординала такого, что . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega _{1}=\alpha +1}$

Мощность множества — это первое несчетное кардинальное число ( алеф -один ). Таким образом, порядковый номер — это начальный порядковый номер . Согласно гипотезе континуума , мощность множества равна мощности множества действительных чисел . ^[2] ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \beth _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

В большинстве конструкций и считаются равными как множества. Обобщим: если — произвольный ординал, мы определяем как начальный ординал кардинала . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

Существование может быть доказано без аксиомы выбора . Подробнее см. число Хартогса . ${\displaystyle \omega _{1}}$

Топологические свойства

Любое порядковое число можно превратить в топологическое пространство , используя топологию порядка . При рассмотрении в качестве топологического пространства часто записывается как , чтобы подчеркнуть, что это пространство, состоящее из всех порядковых чисел, меньших . ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Если аксиома счетного выбора выполняется, то каждая возрастающая ω-последовательность элементов сходится к пределу в . Причина в том, что объединение (т.е. супремум) каждого счетного множества счетных ординалов является другим счетным ординалом. ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$

Топологическое пространство секвенциально компактно , но не компактно . Как следствие, оно не метризуемо . Однако оно счетно компактно и, таким образом, не линделёфово (счетно компактное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно линделёфово). В терминах аксиом счетности является счетно-первым , но не сепарабельным и не счетно-вторым . ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1})}$

Пространство компактно и не поддается первой аксиоме счетности. Используется для определения длинной линии и тихоновской доски — двух важных контрпримеров в топологии . ${\displaystyle [0,\omega _{1}]=\omega _{1}+1}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Смотрите также

• Эпсилон-числа (математика)
• Большое счетное порядковое число
• Порядковая арифметика

Ссылки

1. "Теория множеств > Базовая теория множеств (Стэнфордская энциклопедия философии)". plato.stanford.edu . Получено 12 августа 2020 г.
2. "первый несчетный порядковый номер в nLab". ncatlab.org . Получено 2020-08-12 .

Библиография

• Томас Йех, Теория множеств , издание 3-го тысячелетия, 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2 . 
• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (издание Dover).