порядок

В математике , хорошо-упорядоченный (или хорошо-упорядоченный $или хорошо-упорядоченный) на множестве S — это полное упорядочение на S со свойством, что каждое непустое подмножество S$ имеет наименьший элемент в $этом$ упорядочении . Множество $S$ вместе с упорядочением тогда называется хорошо - $упорядоченным$ множеством . В некоторых академических статьях и учебниках эти термины вместо этого записываются как wellorder , wellordered и wellordering или well order , well ordered и well ordering .

Каждое непустое вполне упорядоченное множество имеет наименьший элемент. Каждый элемент $s$ вполне упорядоченного множества, за исключением возможного наибольшего элемента , имеет единственного преемника (следующий элемент), а именно наименьший элемент подмножества всех элементов, больших $s$ . Могут быть элементы, помимо наименьшего элемента, которые не имеют предшественника (см. § Натуральные числа ниже для примера). Хорошо упорядоченное множество $S$ содержит для каждого подмножества $T$ с верхней границей наименьшую верхнюю границу , а именно наименьший элемент подмножества всех верхних границ $T$ в $S$ .

Если ≤ — нестрогий хорошо упорядоченный порядок, то < — строгий хорошо упорядоченный порядок. Отношение является строгим хорошо упорядоченным тогда и только тогда, когда оно является хорошо обоснованным строгим полным порядком . Различие между строгими и нестрогими хорошо упорядоченными порядками часто игнорируется, поскольку они легко взаимопревращаемы.

Каждое хорошо упорядоченное множество уникально упорядоченно изоморфно уникальному порядковому числу , называемому типом порядка хорошо упорядоченного множества. Теорема о хорошем упорядочении , которая эквивалентна аксиоме выбора , утверждает, что каждое множество может быть хорошо упорядочено. Если множество хорошо упорядочено (или даже если оно просто допускает хорошо обоснованное отношение ), то метод доказательства трансфинитной индукции может быть использован для доказательства того, что данное утверждение истинно для всех элементов множества.

Наблюдение, что натуральные числа хорошо упорядочены с помощью обычного отношения «меньше», обычно называется принципом хорошего упорядочения (для натуральных чисел).

Порядковые числительные

Каждое вполне упорядоченное множество уникально упорядоченно изоморфно уникальному порядковому числу , называемому типом порядка вполне упорядоченного множества. Положение каждого элемента внутри упорядоченного множества также задается порядковым числом. В случае конечного множества основная операция подсчета , чтобы найти порядковый номер конкретного объекта или найти объект с конкретным порядковым числом, соответствует назначению порядковых чисел по одному объектам. Размер (количество элементов, кардинальное число ) конечного множества равен типу порядка. ^[1] Подсчет в повседневном смысле обычно начинается с единицы, поэтому он назначает каждому объекту размер начального сегмента с этим объектом в качестве последнего элемента. Обратите внимание, что эти числа на единицу больше, чем формальные порядковые числа согласно изоморфному порядку, потому что они равны количеству более ранних объектов (что соответствует подсчету с нуля). Таким образом, для конечного $n$ выражение " $n$ -й элемент" хорошо упорядоченного множества требует контекста, чтобы знать, считается ли это от нуля или от единицы. В нотации " $β$ -й элемент", где $β$ также может быть бесконечным ординалом, он, как правило, будет считаться от нуля.

Для бесконечного множества тип порядка определяет мощность , но не наоборот: вполне упорядоченные множества определенной мощности могут иметь много различных типов порядка (см. § Натуральные числа ниже для примера). Для счетно бесконечного множества множество возможных типов порядка несчетно.

Примеры и контрпримеры

Натуральные числа

Стандартный порядок ≤ натуральных чисел является вполне упорядоченным и обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника.

Другое правильное упорядочение натуральных чисел задается определением того, что все четные числа меньше всех нечетных чисел, и обычный порядок применяется внутри четных и нечетных чисел:

{\begin{matrix}0&2&4&6&8&\dots &1&3&5&7&9&\dots \end{matrix}}

Это вполне упорядоченное множество типа порядка $ω + ω$ . Каждый элемент имеет преемника (наибольшего элемента нет). У двух элементов отсутствует предшественник: 0 и 1.

Целые числа

В отличие от стандартного порядка ≤ натуральных чисел , стандартный порядок ≤ целых чисел не является полным порядком, поскольку, например, множество отрицательных целых чисел не содержит наименьшего элемента.

Следующее бинарное отношение $R$ является примером хорошего упорядочения целых чисел: $x R y$ тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

$х = 0$
$x$ положительный, а $y$ отрицательный
$x$ и $y$ оба положительны, и $x \leq y$
$x$ и $y$ оба отрицательны, и $| x | \leq | y |$

Это отношение $R$ можно визуализировать следующим образом:

{\begin{matrix}0&1&2&3&4&\dots &-1&-2&-3&\dots \end{matrix}}

$R$ изоморфно порядковому числу $ω + ω$ .

Другим соотношением для правильного упорядочивания целых чисел является следующее определение: тогда и только тогда, когда $x\leq _{z}y$

|x|<|y|\qquad {\text{or}}\qquad |x|=|y|{\text{ and }}x\leq y.

Этот порядок скважин можно визуализировать следующим образом:

{\begin{matrix}0&-1&1&-2&2&-3&3&-4&4&\dots \end{matrix}}

Он имеет тип порядка $ω$ .

Реалы

Стандартный порядок ≤ любого действительного интервала не является хорошим порядком, поскольку, например, открытый интервал ⁠ ⁠ $(0,1)\subseteq [0,1]$ не содержит наименьшего элемента. Из аксиом ZFC теории множеств (включая аксиому выбора ) можно показать, что существует хороший порядок действительных чисел. Также Вацлав Серпинский доказал, что ZF + GCH ( обобщенная континуум-гипотеза ) влечет аксиому выбора и, следовательно, хороший порядок действительных чисел. Тем не менее, можно показать, что одних аксиом ZFC+GCH недостаточно для доказательства существования определяемого (формулой) хорошего порядка действительных чисел. ^[2] Однако с ZFC согласуется, что существует определяемый хороший порядок действительных чисел — например, с ZFC согласуется, что V=L , и из ZFC+V=L следует, что конкретная формула хорошо упорядочивает действительные числа или даже любое множество.

Несчетное подмножество действительных чисел со стандартным порядком ≤ не может быть хорошо упорядоченным: Предположим, что $X$ является подмножеством ⁠ ⁠ $\mathbb {R}$ хорошо упорядоченным по ≤ . Для каждого $x$ в $X$ пусть $s (x)$ будет преемником $x$ в ≤ упорядочении на $X$ (если только $x$ не является последним элементом $X$ ). Пусть элементы которого являются непустыми и непересекающимися интервалами. Каждый такой интервал содержит по крайней мере одно рациональное число, поэтому существует инъективная функция из $A$ в ⁠ ⁠ Существует инъекция из $X$ в $A$ (за исключением, возможно, последнего элемента $X$ , который позже может быть отображен в ноль). И хорошо известно, что существует инъекция из ⁠ ⁠ в натуральные числа (которую можно было бы выбрать, чтобы избежать попадания в ноль). Таким образом, существует инъекция из $X$ в натуральные числа, что означает, что $X$ счетно. С другой стороны, счетно бесконечное подмножество действительных чисел может быть или не быть вполне упорядоченным со стандартом ≤ . Например, $A=\{(x,s(x))\,|\,x\in X\}$ $\mathbb {Q} .$ $\mathbb {Q}$

Натуральные числа имеют хороший порядок при стандартном порядке ≤ .
Множество не имеет наименьшего элемента и, следовательно, не является вполне упорядоченным при стандартном упорядочении ≤ . $\{1/n\,|\,n=1,2,3,\dots \}$

Примеры заказов на бурение скважин:

Множество чисел имеет тип порядка $ω$ . $\{-2^{-n}\,|\,0\leq n<\omega \}$
Множество чисел имеет тип порядка $ω$ $2$ . Предыдущее множество является множеством предельных точек внутри множества. Внутри множества действительных чисел, как с обычной топологией, так и с топологией порядка, 0 также является предельной точкой множества. Это также предельная точка множества предельных точек. $\{-2^{-n}-2^{-m-n}\,|\,0\leq m,n<\omega \}$
Множество чисел имеет тип порядка $ω$ $+ 1.$ В топологии порядка этого множества 1 является предельной точкой множества, несмотря на то, что она отделена от единственной предельной точки 0 в обычной топологии действительных чисел. $\{-2^{-n}\,|\,0\leq n<\omega \}\cup \{1\}$

Эквивалентные формулировки

Если набор полностью упорядочен , то следующие элементы эквивалентны друг другу:

Множество хорошо упорядочено. То есть каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент.
Трансфинитная индукция применима ко всему упорядоченному множеству.
Каждая строго убывающая последовательность элементов множества должна заканчиваться только после конечного числа шагов (предполагая аксиому зависимого выбора ).
Каждое подупорядочение изоморфно исходному сегменту.

Топология заказа

Каждое вполне упорядоченное множество можно превратить в топологическое пространство , наделив его топологией порядка .

Относительно этой топологии могут быть два вида элементов:

изолированные точки — это минимум и элементы, имеющие предшественника.
предельные точки — этот тип не встречается в конечных множествах и может встречаться или не встречаться в бесконечном множестве; бесконечные множества без предельной точки — это множества типа порядка $ω$ , например, натуральные числа ⁠ ⁠ $\mathbb {N} .$

Для подмножеств можно выделить:

Подмножества с максимумом (то есть подмножества, которые ограничены сами собой); это может быть изолированная точка или предельная точка всего множества; в последнем случае это может быть или не быть также предельная точка подмножества.
Подмножества, которые сами по себе неограниченны, но ограничены во всем множестве; они не имеют максимума, но имеют супремум вне подмножества; если подмножество непусто, этот супремум является предельной точкой подмножества и, следовательно, также всего множества; если подмножество пусто, этот супремум является минимумом всего множества.
Подмножества, которые не ограничены во всем множестве.

Подмножество конфинально всему множеству тогда и только тогда, когда оно неограничено во всем множестве или имеет максимум, который также является максимумом всего множества.

Вполне упорядоченное множество как топологическое пространство является пространством с первой аксиомой счетности тогда и только тогда, когда его тип порядка меньше или равен ω ₁ ( омега-один ), то есть тогда и только тогда, когда множество счетно или имеет наименьший несчетный тип порядка.

Смотрите также

Ссылки

^ Бонне, Реми; Финкель, Ален; Хаддад, Серж; Роза-Велардо, Фернандо (2013). «Порядковая теория выразительности хорошо структурированных систем переходов». Информация и вычисления . 224 : 1–22. doi :10.1016/j.ic.2012.11.003. MR 3016456.
^ Феферман, С. (1964). «Некоторые приложения понятий принуждения и общих множеств». Fundamenta Mathematicae . 56 (3): 325–345. doi : 10.4064/fm-56-3-325-345 .

Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение. Чистая и прикладная математика (2-е изд.). Wiley . С. 4–6, 9. ISBN 978-0-471-31716-6.