спираль Экмана

Профиль скорости ветрового течения в зависимости от глубины

Спираль Экмана возникает вследствие эффекта Кориолиса.

Спираль Экмана представляет собой совокупность океанических течений: направления горизонтального течения, по-видимому, закручиваются по мере изменения глубины. ^[1] Океаническая ветровая спираль Экмана является результатом баланса сил, созданного силой касательного напряжения , силой Кориолиса и сопротивлением воды. Этот баланс сил дает результирующий поток воды, отличный от ветра. В океане есть два места, где можно наблюдать спираль Экмана. На поверхности океана сила касательного напряжения соответствует силе ветрового напряжения . На дне океана сила касательного напряжения создается трением о дно океана. Это явление впервые наблюдал на поверхности норвежский океанограф Фритьоф Нансен во время своей экспедиции на «Фраме» . Он заметил, что айсберги не дрейфуют в том же направлении, что и ветер. Его ученик, шведский океанограф Вагн Вальфрид Экман , был первым человеком, который физически объяснил этот процесс. ^[2]

Нижняя спираль Экмана

Два рисунка, показывающие нижнюю спираль Экмана. Рисунок слева — это 3D спираль Экмана, рисунок справа — 2D.

Чтобы вывести свойства спирали Экмана, рассмотрим однородный, горизонтальный геострофический внутренний поток в однородной жидкости. Этот поток будет обозначаться как , где два компонента постоянны из-за однородности. Другим результатом этого свойства является то, что горизонтальные градиенты будут равны нулю. В результате уравнение непрерывности даст, . Обратите внимание, что рассматриваемый внутренний поток является горизонтальным, поэтому на всех глубинах, даже в пограничных слоях. В этом случае уравнения импульса Навье-Стокса , управляющие геофизическим движением, теперь можно свести к: ^[3] ${\displaystyle {\vec {u}}=({\bar {u}},{\bar {v}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}=0}$ ${\displaystyle w=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-fv&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},\\[5pt]fu&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}},\\[5pt]0&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial z}},\end{aligned}}}$

Где — параметр Кориолиса , плотность жидкости и вихревая вязкость , которые здесь для простоты приняты как константы. Эти параметры имеют небольшую дисперсию в масштабе спирали Экмана, поэтому это приближение будет верным. Равномерный поток требует равномерно изменяющегося градиента давления . При подстановке компонентов потока внутреннего потока и в уравнения выше получается следующее: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{E}}$ ${\displaystyle u={\bar {u}}}$ ${\displaystyle v={\bar {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-f{\bar {v}}&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial x}}={\text{constant}}\\[5pt]f{\bar {u}}&=-{\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {\partial p}{\partial y}}={\text{constant}}\end{aligned}}}$

Используя последнее из трех уравнений в верхней части этого раздела, получаем, что давление не зависит от глубины.

${\displaystyle {\begin{aligned}-f(v-{\bar {v}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\\[5pt]f(u-{\bar {u}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle u={\bar {u}}+Ae^{\lambda z}}$и будет достаточно в качестве решения дифференциальных уравнений выше. После подстановки этих возможных решений в те же уравнения, будет следовать. Теперь, имеет следующие возможные результаты: ${\displaystyle v={\bar {v}}+Be^{\lambda z}}$ ${\displaystyle \nu _{E}^{2}\lambda ^{4}+f^{2}=0}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda =\pm (1\pm i){\sqrt {\frac {f}{2\nu _{E}}}}}$

Из-за условия отсутствия скольжения на дне и постоянного внутреннего потока для можно определить коэффициенты и . В конечном итоге это приведет к следующему решению для : ^[3] ${\displaystyle z\gg d}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\vec {u}}(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\bar {u}}\left[1-e^{-z/d}\cos \left({\frac {z}{d}}\right)\right]-{\bar {v}}e^{-z/d}\sin \left({\frac {z}{d}}\right),\\[5pt]v&={\bar {u}}e^{-z/d}\sin \left({\frac {z}{d}}\right)+{\bar {v}}\left[1-e^{-z/d}\cos \left({\frac {z}{d}}\right)\right],\end{aligned}}}$

Здесь . Обратите внимание, что вектор скорости будет приближаться к значениям внутреннего потока, когда примет порядок . Вот почему определяется как толщина слоя Экмана. Из этого решения вытекает ряд важных свойств спирали Экмана: ${\displaystyle d={\sqrt {\frac {2\nu _{E}}{f}}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

• Когда , то оказывается, что поток имеет поперечную составляющую по отношению к внутреннему потоку, которая отличается на 45 градусов влево в северном полушарии , , и на 45 градусов вправо в южном полушарии , . Обратите внимание, что в этом случае угол между этим потоком и внутренним потоком максимален. Он будет уменьшаться с увеличением . ${\displaystyle z\rightarrow {0}}$ ${\displaystyle f>0}$ ${\displaystyle f<0}$ ${\displaystyle z}$
• При принимает значение , результирующий поток соответствует внутреннему потоку, но будет увеличен на , относительно внутреннего потока. ${\displaystyle {\frac {z}{d}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e^{-\pi }}$
• Для более высоких значений будет минимальная поперечная составляющая в другом направлении, как и прежде. Экспоненциальный член будет стремиться к нулю для , что приведет к . Из-за этих свойств вектор скорости потока как функция глубины будет выглядеть как спираль. ${\displaystyle {\frac {z}{d}}}$ ${\displaystyle z\gg d}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=({\bar {u}},{\bar {v}})}$

Поверхностная спираль Экмана

Два рисунка, показывающие нижнюю спираль Экмана. Рисунок слева — это 3D спираль Экмана, рисунок справа — 2D.

Решение для потока, образующего нижнюю спираль Экмана, было результатом касательного напряжения , оказываемого на поток дном. Логично, что везде, где касательное напряжение может оказываться на поток, будут образовываться спирали Экмана. Это имеет место на границе раздела воздух-вода из-за ветра. Рассматривается ситуация, когда ветровое напряжение оказывается вдоль водной поверхности с внутренним потоком под ней. Опять же, поток однороден, имеет геострофическую внутреннюю часть и является однородной жидкостью. Уравнения движения для геострофического потока, которые являются такими же, как указано в разделе нижней спирали, можно свести к: ^[3] ${\displaystyle {\vec {\tau }}=(\tau _{x},\tau _{y})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=(u,v)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-f(v-{\bar {v}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\\[5pt]f(u-{\bar {u}})&=\nu _{E}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Граничные условия для этого случая следующие:

• Поверхность : и ${\displaystyle (z=0)}$ ${\displaystyle \;\;\;\rho _{0}\nu _{E}{\frac {\partial u}{\partial z}}=\tau _{x}\;}$ ${\displaystyle \;\rho _{0}\nu _{E}{\frac {\partial v}{\partial z}}=\tau _{y}}$
• В направлении интерьера : и ${\displaystyle (z\rightarrow {-\infty })}$ ${\displaystyle \;\;\;u={\bar {u}}\;}$ ${\displaystyle \;v={\bar {v}}}$

При этих условиях решение можно определить: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\bar {u}}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{0}fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\cos \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)-\tau _{y}\sin \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right]\\[5pt]v&={\bar {v}}+{\frac {\sqrt {2}}{\rho _{0}fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\sin \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+\tau _{y}\cos \left({\frac {z}{d}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right]\end{aligned}}}$

Возникают некоторые различия относительно нижней спирали Экмана. Отклонение от внутреннего потока зависит исключительно от ветрового напряжения , а не от внутреннего потока. Тогда как в случае нижней спирали Экмана отклонение определяется внутренним потоком. Ветровая составляющая потока обратно пропорциональна толщине слоя Экмана . Поэтому, если толщина слоя мала, например, из-за малой вязкости жидкости, эта составляющая может быть очень большой. Наконец, поток на поверхности направлен на 45 градусов вправо в северном полушарии и на 45 градусов влево в южном полушарии относительно направления ветра. В случае нижней спирали Экмана все наоборот. ${\displaystyle d}$

Наблюдения

Уравнения и предположения выше не являются репрезентативными для фактических наблюдений спирали Экмана. Различия между теорией и наблюдениями заключаются в том, что угол составляет от 5 до 20 градусов вместо 45 градусов, как ожидалось ^[4] , и что глубина слоя Экмана и, следовательно, спираль Экмана менее глубокая, чем ожидалось. Есть три основных фактора, которые способствуют причине, почему это так: стратификация , ^[5] турбулентность и горизонтальные градиенты. ^[3] Другие менее важные факторы, которые играют в этом роль, — это дрейф Стокса , ^[6] волны и сила Стокса-Кориолиса . ^[7]

Смотрите также

• Вагн Вальфрид Экман  – шведский океанограф (1874–1954)

Ссылки

1. Министерство торговли США, Национальное управление океанических и атмосферных исследований. «Спираль Экмана — течения: образовательная служба Национальной океанической службы NOAA». oceanservice.noaa.gov . Получено 07.02.2024 .
2. Экман, В. В. 1905. О влиянии вращения Земли на океанские течения. Arch. Math. Astron. Phys., 2, 1-52. [1]
3. Кушман-Руазен, Бенуа; Беккерс, Жан-Мари (2009). Введение в геофизическую гидродинамику (PDF) . ACADEMIC PRESS.
4. Стейси, М. В., С. Понд и П. Х. Леблон, 1986: Спираль Экмана, вызванная ветром, как хорошее статистическое соответствие низкочастотным течениям в прибрежном проливе. Science, 233, 470–472
5. Прайс, Дж. Ф. и М. А. Сандермейер, 1999: Стратифицированные слои Экмана. J. Geophys. Res., 104, 20467–20494.
6. van den Bremer TS, BreivikØ. 2017 Дрейф Стокса.Phil.Trans.R.Soc.A376:20170104.http://dx.doi.org/10.1098/rsta.2017.0104
7. Джефф А. Полтон, Дэвид М. Льюис и Стивен Э. Белчер, 01 апреля 2005 г.: Роль вызванного волной воздействия Кориолиса-Стокса на смешанный слой, управляемый ветром. Журнал физической океанографии, том 35: выпуск 4, 444–457