Наклонить линии

Линии не в одной плоскости

Прямоугольный параллелепипед . Линия, проходящая через сегмент AD, и линия, проходящая через сегмент B ₁ B, являются косыми линиями, поскольку они не находятся в одной плоскости.

В трехмерной геометрии косые линии — это две линии , которые не пересекаются и не параллельны . Простым примером пары перекосов является пара линий, проходящих через противоположные ребра правильного тетраэдра . Две линии, лежащие в одной плоскости, должны либо пересекать друг друга, либо быть параллельными, поэтому скошенные линии могут существовать только в трех или более измерениях . Две прямые являются перекосами тогда и только тогда, когда они не компланарны .

Общее положение

Если четыре точки выбраны случайным образом равномерно внутри единичного куба , они почти наверняка будут определять пару косых линий. После выбора первых трех точек четвертая точка будет определять неперекосную линию тогда и только тогда, когда она компланарна первым трем точкам. Однако плоскость, проходящая через первые три точки, образует подмножество нулевой меры куба, и вероятность того, что четвертая точка лежит на этой плоскости, равна нулю. В противном случае линии, определяемые точками, будут перекошены.

Точно так же в трехмерном пространстве очень небольшое возмущение любых двух параллельных или пересекающихся линий почти наверняка превратит их в косые линии. Поэтому любые четыре точки общего положения всегда образуют косые линии.

В этом смысле перекосы являются «обычным» случаем, а параллельные или пересекающиеся линии — особыми случаями.

Формулы

PQ, кратчайшее расстояние между двумя наклонными линиями AB и CD перпендикулярно AB и CD.

Тестирование на асимметрию

Если каждая линия в паре наклонных линий определяется двумя точками , через которые она проходит, то эти четыре точки не должны быть компланарными, поэтому они должны быть вершинами тетраэдра ненулевого объема . И наоборот, любые две пары точек, определяющие тетраэдр ненулевого объема, также определяют пару наклонных линий. Следовательно, проверка того, определяют ли две пары точек наклонные линии, заключается в применении формулы объема тетраэдра через его четыре вершины. Обозначая одну точку как вектор a 1×3 , три элемента которого являются тремя значениями координат точки, и аналогичным образом обозначая b , c и d для других точек, мы можем проверить, не перекошена ли линия, проходящая через a и b , к линии, проходящей через c и d , проверив, дает ли формула объема тетраэдра ненулевой результат:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.}$

Ближайшие точки

Выражение двух линий как векторов:

${\displaystyle {\text{Line 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} }$

${\displaystyle {\text{Line 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }$

Перекрестное произведение и перпендикулярно прямым . ${\displaystyle \mathbf {d_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {d_{2}} }$

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}} }$

Плоскость, образованная переносом линии 2 вдоль, содержит точку и перпендикулярна . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {p_{2}} }$ ${\displaystyle \mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n} }$

Следовательно, точка пересечения линии 1 с вышеупомянутой плоскостью, которая также является ближайшей к линии 2 точкой на линии 1, определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }$

Аналогично, точка на линии 2, ближайшая к линии 1, определяется выражением (где ) ${\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }$

Расстояние

Ближайшие точки и образуют кратчайший отрезок линии, соединяющий линию 1 и линию 2: ${\displaystyle \mathbf {c_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {c_{2}} }$

${\displaystyle d=\Vert \mathbf {c_{1}} -\mathbf {c_{2}} \Vert .}$

Расстояние между ближайшими точками на двух наклонных линиях также можно выразить с помощью других векторов:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;}$

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .}$

Здесь вектор x 1×3 представляет произвольную точку на линии, проходящей через конкретную точку a , где b представляет направление линии, а значение действительного числа определяет, где находится точка на линии, и аналогично для произвольной точки y на линии . линия, проходящая через конкретную точку c в направлении d . ${\displaystyle \lambda }$

Векторное произведение b и d перпендикулярно прямым, как и единичный вектор .

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}}$

Тогда перпендикулярное расстояние между линиями будет ^[1]

${\displaystyle d=|\mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.}$

(если | b × d | равно нулю, линии параллельны и этот метод использовать нельзя).

Более двух строк

Конфигурации

Конфигурация перекосов – это совокупность линий, в которых все пары перекошены . Две конфигурации называются изотопными, если можно непрерывно преобразовывать одну конфигурацию в другую, сохраняя на протяжении всего преобразования инвариант, согласно которому все пары линий остаются перекошенными. Любые две конфигурации из двух линий легко увидеть как изотопные, а конфигурации из того же количества линий в измерениях выше трех всегда изотопны, но существует множество неизотопных конфигураций из трех или более линий в трех измерениях. ^[2] Число неизотопных конфигураций n линий в R ³ , начиная с n = 1, равно

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (последовательность A110887 в OEIS ).

Линейчатые поверхности

Расслоение проективного пространства косыми линиями на вложенных гиперболоидах .

Если повернуть линию L вокруг другой линии М, наклоненной, но не перпендикулярной ей, то поверхность вращения , охватываемая L , представляет собой однолистный гиперболоид . Например, три гиперболоида , видимые на иллюстрации, можно сформировать таким образом, вращая линию L вокруг центральной белой вертикальной линии M. Копии L внутри этой поверхности образуют регуляр ; гиперболоид также содержит второе семейство линий, которые также наклонены к M на том же расстоянии, что и L от него, но с противоположным углом, образующим противоположный регуляр. Два правила отображают гиперболоид как линейчатую поверхность .

Аффинное преобразование этой линейчатой ​​поверхности дает поверхность, которая обычно имеет эллиптическое поперечное сечение, а не круглое поперечное сечение, полученное вращением L вокруг L'; такие поверхности также называются однолистными гиперболоидами и снова управляются двумя семействами взаимно скошенных линий. Третий тип линейчатой ​​поверхности — гиперболический параболоид . Как и однолистный гиперболоид, гиперболический параболоид имеет два семейства наклонных линий; в каждом из двух семейств линии параллельны общей плоскости, но не друг другу. Любые три косые в R ³ лежат ровно на одной линейчатой ​​поверхности одного из этих типов. ^[3]

Теорема Галлуччи

Если все три наклонные линии пересекаются с тремя другими наклонными линиями, любая трансверсия первого набора из трех соответствует любой трансверсали второго набора. ^{[4] [5]}

Наклон квартир в более высоких измерениях

В многомерном пространстве квартира размерности k называется k -квартирой. Таким образом, линию также можно назвать 1-бемольной.

Обобщая концепцию перекосов на d -мерное пространство, i -плоские и j -плоские могут быть перекошенными, если i + j < d . Как и в случае с линиями в трехмерном пространстве, косыми плоскостями являются линии, которые не параллельны и не пересекаются.

В аффинном d- пространстве две плоскости любого измерения могут быть параллельными. Однако в проективном пространстве параллелизма не существует; две плоскости должны либо пересекаться, либо быть скошенными. Пусть I — множество точек на i -плоскости, а J — множество точек на j -плоскости. В проективном d -пространстве, если i + j ≥ d , то пересечение I и J должно содержать ( i + j − d )-плоскость. ( 0 -бемоль — это точка.)

В любой геометрии, если I и J пересекаются в k -плоскости при k ≥ 0 , то точки I ∪ J определяют ( i + j − k )-плоскость.

Смотрите также

• Расстояние между двумя параллельными линиями
• Теорема Петерсена – Морли

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. , «Расстояние между линиями», MathWorld
2. Виро, Юлия Дроботухина; Виро, Олег (1990), «Конфигурации косых линий» (PDF) , Ленинградский матем. Ж. (на русском языке), 1 (4): 1027–1050.. Пересмотренная версия на английском языке: arXiv :math.GT/0611374.
3. Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Челси, стр. 13–17, ISBN 0-8284-1087-9
4. Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), John Wiley & Sons , стр. 257
5. Дж. Галлуччи (1906), «Studio della figura delle otto rette e sue applicazioni alla geometria del тетраэдро и alla teoria della configurazioni», Rendiconto dell'Accademia della Scienza Fisiche e Matematiche , 3-я серия, 12 : 49–79

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Наклонные линии», MathWorld