Струнная модель части регуляра и ее противоположности для отображения правил на однолистном гиперболоиде.
В трехмерном пространстве регуляр R — это набор косых линий , каждая точка которых находится на трансверсали , пересекающей элемент R только один раз, и такая, что каждая точка трансверсали лежит на прямой из R.
Место пересечения прямых трех заданных косых линий называется регуляром . Теорема Галлуччи показывает, что линии, встречающиеся с образующими регулярного правила (включая исходные три линии), образуют другой «ассоциированный» регуляр, так что каждый генератор одного правила встречается с каждым генератором другого. Два правила — это две системы образующих линейчатой квадрики . [1]
По словам Шарлотты Скотт , «Регул дает чрезвычайно простые доказательства свойств коники... теорем Шаля, Брианшона и Паскаля ...» [2]
В конечной геометрии PG(3, q ) регуляр имеет q + 1 прямую. [3] Например, в 1954 году Уильям Эдж описал пару правил по четыре линии каждая в PG(3,3). [4]
Роберт Дж. Т. Белл описал, как регуляр создается движущейся прямой линией. Во-первых, гиперболоид рассматривается как
Тогда две системы линий, параметризованные λ и µ, удовлетворяют этому уравнению:
и
Ни один из членов первого набора строк не является членом второго. При изменении λ или μ генерируется гиперболоид. Два набора представляют собой регуляр и его противоположность. Используя аналитическую геометрию , Белл доказывает, что никакие два образующих в множестве не пересекаются и что любые два образующих в противоположных правилах действительно пересекаются и образуют плоскость, касающуюся гиперболоида в этой точке. (стр. 155). [5]
