Переменная состояния

Переменная состояния — это одна из множества переменных , которые используются для описания математического «состояния» динамической системы . Интуитивно, состояние системы описывает достаточно о системе, чтобы определить ее будущее поведение при отсутствии каких-либо внешних сил, влияющих на систему. Модели, которые состоят из связанных дифференциальных уравнений первого порядка, называются моделями в форме переменной состояния. ^[1]

Примеры

В механических системах типичными переменными состояния являются координаты положения и скорости механических частей; зная их, можно определить будущее состояние объектов в системе.
В термодинамике переменная состояния — это независимая переменная функции состояния . Примерами служат внутренняя энергия , энтальпия , температура , давление , объем и энтропия . Тепло и работа — это не функции состояния, а функции процесса .
В электронных / электрических цепях напряжения узлов и токи через компоненты в цепи обычно являются переменными состояния. В любой электрической цепи число переменных состояния равно числу (независимых) элементов хранения, которыми являются индукторы и конденсаторы. Переменной состояния для индуктора является ток через индуктор, тогда как для конденсатора это напряжение на конденсаторе.
В моделях экосистем типичными переменными состояния являются размеры популяций (или концентрации) растений, животных и ресурсов (питательных веществ, органического материала).

Проектирование систем управления

В технике управления и других областях науки и техники переменные состояния используются для представления состояний общей системы. Набор возможных комбинаций значений переменных состояния называется пространством состояний системы. Уравнения, связывающие текущее состояние системы с ее последними входными данными и прошлыми состояниями, называются уравнениями состояния, а уравнения, выражающие значения выходных переменных в терминах переменных состояния и входных данных, называются выходными уравнениями. Как показано ниже, уравнения состояния и выходные уравнения для линейной системы, инвариантной во времени, могут быть выражены с помощью матриц коэффициентов : A , B , C и D.

A\in \mathbb {R} ^{N\times N},\quad B\in \mathbb {R} ^{N\times L},\quad C\in \mathbb {R} ^{M\times N},\quad D\in \mathbb {R} ^{M\times L},

где N , L и M — размерности векторов, описывающих состояние, вход и выход соответственно.

Системы с дискретным временем

Вектор состояния (вектор переменных состояния), представляющий текущее состояние дискретной системы (т.е. цифровой системы), равен , где n — дискретная точка времени, в которой оценивается система. Уравнения состояния дискретного времени имеют вид $x[n]$

x[n+1]=Ax[n]+Bu[n],

которая описывает следующее состояние системы ( x [ n +1]) относительно текущего состояния и входов u [ n ] системы. Выходные уравнения имеют вид

y[n]=Cx[n]+Du[n],

который описывает выход y [ n ] относительно текущих состояний и входов u [ n ] в систему.

Системы непрерывного времени

Вектор состояния, представляющий текущее состояние системы с непрерывным временем (т.е. аналоговой системы), равен , а уравнения состояния с непрерывным временем, задающие эволюцию вектора состояния, равны $x(t)$

{\frac {dx(t)}{dt}}=Ax(t)+Bu(t),

которая описывает непрерывную скорость изменения состояния системы относительно текущего состояния x ( t ) и входов u ( t ) системы. Выходные уравнения имеют вид ${\textstyle {\frac {dx(t)}{dt}}}$

{\ displaystyle y (t) = Cx (t) + Du (t),}

который описывает выход y ( t ) относительно текущих состояний x ( t ) и входов u ( t ) в систему.

Смотрите также

Ссылки

^ Palm, III William J. (2009). Системная динамика (2-е изд.). McGraw-Hill Medical Publishing. стр. 420. ISBN 978-0-07-126779-3.