Изменение переменных

Математический метод упрощения

В математике замена переменных — это базовый метод, используемый для упрощения задач, в которых исходные переменные заменяются функциями других переменных. Цель состоит в том, чтобы, выраженная в новых переменных, проблема могла стать проще или эквивалентной более понятной проблеме.

Замена переменных — это операция, связанная с заменой . Однако это разные операции, в чем можно убедиться, рассматривая дифференцирование ( правило цепочки ) или интегрирование ( интеграцию путем замены ).

Очень простой пример полезной замены переменной можно увидеть в задаче нахождения корней многочлена шестой степени:

${\displaystyle x^{6}-9x^{3}+8=0.}$

Полиномиальные уравнения шестой степени, как правило, невозможно решить в терминах радикалов (см. теорему Абеля–Руффини ). Однако это конкретное уравнение можно записать

${\displaystyle (x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0}$

(это простой случай полиномиального разложения ). Таким образом, уравнение можно упростить, определив новую переменную . Подстановка x в полином дает ${\displaystyle u=x^{3}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{u}}}$

${\displaystyle u^{2}-9u+8=0,}$

это просто квадратное уравнение с двумя решениями:

${\displaystyle u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.}$

Решения в терминах исходной переменной получаются путем замены x ³ обратно на u , что дает

${\displaystyle x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.}$

Тогда, предполагая, что нас интересуют только действительные решения, решения исходного уравнения будут следующими:

${\displaystyle x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.}$

Простой пример

Рассмотрим систему уравнений

${\displaystyle xy+x+y=71}$

${\displaystyle x^{2}y+xy^{2}=880}$

где и – положительные целые числа с . (Источник: AIME , 1991 г. ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x>y}$

Решить эту проблему обычно не очень сложно, но это может оказаться немного утомительным. Однако мы можем переписать второе уравнение как . Делаем замены и сводим систему к . Решение этого вопроса дает и . Обратная замена первой упорядоченной пары дает нам , что дает решение. Обратная замена второй упорядоченной пары дает нам , что не дает решений. Следовательно, решение, которое решает систему, есть . ${\displaystyle xy(x+y)=880}$ ${\displaystyle s=x+y}$ ${\displaystyle t=xy}$ ${\displaystyle s+t=71,st=880}$ ${\displaystyle (s,t)=(16,55)}$ ${\displaystyle (s,t)=(55,16)}$ ${\displaystyle x+y=16,xy=55,x>y}$ ${\displaystyle (x,y)=(11,5).}$ ${\displaystyle x+y=55,xy=16,x>y}$ ${\displaystyle (x,y)=(11,5)}$

Официальное введение

Пусть , - гладкие многообразия и пусть - диффеоморфизм между ними, то есть: непрерывно дифференцируемое по времени биективное отображение от до с непрерывно дифференцируемыми по времени обратными от до . Здесь может быть любое натуральное число (или ноль), ( гладкое ) или ( аналитическое ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Phi :A\rightarrow B}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \omega }$

Карта называется регулярным преобразованием координат или регулярной заменой переменных , где регулярность относится к -ности . Обычно пишут, чтобы указать замену переменной на переменную, подставляя значение in для каждого появления . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x=\Phi (y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Другие примеры

Преобразование координат

Некоторые системы легче решить при переходе к полярным координатам . Рассмотрим, например, уравнение

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}$

Это может быть функция потенциальной энергии для какой-то физической задачи. Если сразу не видно решения, можно попробовать замену

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}$данный ${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).}$

Обратите внимание, что если выполняется за пределами интервала длины, например , карта больше не является биективной. Поэтому следует ограничиться, например . Обратите внимание, как исключается, поскольку оно не является биективным в начале координат ( может принимать любое значение, точка будет отображаться в (0, 0)). Тогда, заменив все вхождения исходных переменных новыми выражениями, заданными и используя тождество , получим ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$

${\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}$

Теперь решения легко находятся: , so или . Применение обратного выражения показывает, что это эквивалентно while . Действительно, мы видим, что функция равна нулю, за исключением начала координат. ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x\not =0}$ ${\displaystyle y=0}$

Обратите внимание: если бы мы разрешили , начало координат также было бы решением, хотя оно и не является решением исходной проблемы. Здесь биективность имеет решающее значение. Функция всегда положительна (при ), отсюда и абсолютные значения. ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

Дифференциация

Цепное правило используется для упрощения сложного дифференцирования. Например, рассмотрим задачу вычисления производной

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).}$

Пусть с Тогда: ${\displaystyle y=\sin u}$ ${\displaystyle u=x^{2}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}}$

Интеграция

Сложные интегралы часто можно оценить путем замены переменных; это включается правилом замены и аналогично использованию вышеприведенного правила цепочки. Сложные интегралы также можно решить, упростив интеграл с помощью замены переменных, заданных соответствующей матрицей Якоби и определителем . ^[1] Использование определителя Якобиана и соответствующей замены переменной, которую он дает, лежит в основе таких систем координат, как полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.

Формула замены переменных в терминах меры Лебега

Следующая теорема позволяет нам связать интегралы по мере Лебега с эквивалентным интегралом по мере обратного образа при параметризации G. ^[2] Доказательство основано на аппроксимациях жорданового содержания.

Предположим, что — открытое подмножество и — диффеоморфизм. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

• Если – измеримая по Лебегу функция на , то измерима по Лебегу на . Если или тогда . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G(\Omega )}$ ${\displaystyle f\circ G}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(G(\Omega ),m),}$ ${\displaystyle \int _{G(\Omega )}f(x)dx=\int _{\Omega }f\circ G(x)|{\text{det}}D_{x}G|dx}$
• Если и измеримо по Лебегу, то измеримо по Лебегу, то . ${\displaystyle E\subset \Omega }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G(E)}$ ${\displaystyle m(G(E))=\int _{E}|{\text{det}}D_{x}G|dx}$

Как следствие этой теоремы, мы можем вычислить производные Радона – Никодима как для мер обратного, так и для прямых мер при . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$

Мера отката и формула преобразования

Мера отката с точки зрения преобразования определяется как . Формула замены переменных для мер отката: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}\mu :=\mu (T(A))}$

${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu }$.

Упреждающая мера и формула преобразования

Мера продвижения вперед с точки зрения преобразования определяется как . Формула замены переменных для мер продвижения вперед: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T_{*}\mu :=\mu (T^{-1}(A))}$

${\displaystyle \int _{\Omega }g\circ Td\mu =\int _{T(\Omega )}gdT_{*}\mu }$.

Как следствие формулы замены переменных для меры Лебега имеем, что

• Производная Радона-Никодима обратного образа по мере Лебега: ${\displaystyle {\frac {dT^{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T|}$
• Производная Радона-Никодима от прямого действия по мере Лебега: ${\displaystyle {\frac {dT_{*}m}{dm}}(x)=|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|}$

Из чего мы можем получить

• Формула замены переменных для меры отката: ${\displaystyle \int _{T(\Omega )}gd\mu =\int _{\Omega }g\circ TdT^{*}\mu =\int _{\Omega }g\circ T|{\text{det}}D_{x}T|dm(x)}$
• Формула замены переменных для упреждающей меры: ${\displaystyle \int _{\Omega }gd\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}dT_{*}\mu =\int _{T(\Omega )}g\circ T^{-1}|{\text{det}}D_{x}T^{-1}|dm(x)}$

Дифференциальные уравнения

Изменения переменных для дифференциации и интегрирования преподаются в элементарном исчислении , и эти этапы редко выполняются полностью.

Очень широкое использование изменений переменных очевидно при рассмотрении дифференциальных уравнений, где независимые переменные могут быть изменены с использованием правила цепочки или зависимые переменные изменяются, что приводит к проведению некоторого дифференцирования. Экзотические изменения, такие как смешивание зависимых и независимых переменных в точечных и контактных преобразованиях , могут быть очень сложными, но дают большую свободу.

Очень часто в задачу подменяется общая форма изменения, а параметры выбираются по ходу дела, чтобы максимально упростить задачу.

Масштабирование и сдвиг

Вероятно, самое простое изменение — это масштабирование и сдвиг переменных, то есть замена их новыми переменными, которые «растягиваются» и «перемещаются» на постоянные величины. Это очень часто встречается в практических приложениях для получения физических параметров из проблем. Для производной n- ^го порядка изменение просто приводит к

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}}$

где

${\displaystyle x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}}$

${\displaystyle y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.}$

Это можно легко показать с помощью цепного правила и линейности дифференцирования. Это изменение очень распространено в практических приложениях для получения физических параметров из задач, например, краевой задачи .

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad ;\quad u(0)=u(L)=0}$

описывает параллельное течение жидкости между плоскими твердыми стенками, разделенными расстоянием δ; μ — вязкость и градиент давления , обе константы. При масштабировании переменных проблема становится ${\displaystyle dp/dx}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0}$

где

${\displaystyle y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.}$

Масштабирование полезно по многим причинам. Это упрощает анализ как за счет уменьшения количества параметров, так и за счет простого упрощения задачи. Правильное масштабирование может нормализовать переменные, то есть дать им разумный безразмерный диапазон, например, от 0 до 1. Наконец, если проблема требует численного решения, чем меньше параметров, тем меньше количество вычислений.

Импульс против скорости

Рассмотрим систему уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}$

для данной функции . Массу можно устранить (тривиальной) заменой . Очевидно, что это биективное отображение от до . При замене система становится ${\displaystyle H(x,v)}$ ${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v=\Phi (p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}$

Лагранжева механика

Учитывая силовое поле , уравнения движения Ньютона имеют вид ${\displaystyle \varphi (t,x,v)}$

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).}$

Лагранж исследовал, как изменяются эти уравнения движения при произвольной замене переменных : ${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$ ${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.}$

Он обнаружил, что уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}}$

эквивалентны уравнениям Ньютона для функции , где T – кинетическая, а V – потенциальная энергия. ${\displaystyle L=T-V}$

Фактически, когда замена выбрана правильно (используя, например, симметрию и ограничения системы), эти уравнения гораздо легче решить, чем уравнения Ньютона в декартовых координатах.

Смотрите также

• Замена переменных (PDE)
• Замена переменных для плотностей вероятности
• Свойство замены равенства
• Универсальная реализация

Рекомендации

1. Каплан, Уилфред (1973). «Замена переменных в интегралах». Расширенное исчисление (второе изд.). Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 269–275.
2. Фолланд, Великобритания (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 74–75. ISBN 0-471-31716-0. ОСЛК  39849337.