Переменная состояния

Величина, используемая для описания математического состояния динамической системы.

Переменная состояния — это одна из множества переменных , которые используются для описания математического «состояния» динамической системы . Интуитивно понятно, что состояние системы достаточно описывает систему, чтобы определить ее будущее поведение при отсутствии каких-либо внешних сил, влияющих на систему. Говорят, что модели, состоящие из связанных дифференциальных уравнений первого порядка, находятся в форме переменных состояния. ^[1]

Примеры

• В механических системах координаты положения и скорости механических частей являются типичными переменными состояния; зная их, можно определить будущее состояние объектов системы.
• В термодинамике переменная состояния является независимой переменной функции состояния . Примеры включают внутреннюю энергию , энтальпию , температуру , давление , объем и энтропию . Теплота и работа — это не функции состояния, а функции процесса .
• В электронных / электрических схемах напряжения узлов и токи через компоненты цепи обычно являются переменными состояния. В любой электрической цепи количество переменных состояния равно количеству (независимых) накопительных элементов, которыми являются катушки индуктивности и конденсаторы. Переменной состояния для катушки индуктивности является ток через катушку индуктивности, а для конденсатора — напряжение на конденсаторе.
• В моделях экосистем типичными переменными состояния являются размеры популяций (или концентрации) растений, животных и ресурсов (питательные вещества, органический материал).

Проектирование систем управления

В технике управления и других областях науки и техники переменные состояния используются для представления состояний общей системы. Множество возможных комбинаций значений переменных состояния называется пространством состояний системы. Уравнения, связывающие текущее состояние системы с ее самыми последними входными и прошлыми состояниями, называются уравнениями состояния, а уравнения, выражающие значения выходных переменных через переменные состояния и входные параметры, называются выходными уравнениями. Как показано ниже, уравнения состояния и выходные уравнения для линейной инвариантной во времени системы могут быть выражены с использованием матриц коэффициентов : A , B , C и D.

${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{N\times N},\quad B\in \mathbb {R} ^{N\times L},\quad C\in \mathbb {R} ^{M\times N},\quad D\in \mathbb {R} ^{M\times L},}$

где N , L и M — размерности векторов, описывающих состояние, вход и выход соответственно.

Системы дискретного времени

Вектор состояния (вектор переменных состояния), представляющий текущее состояние системы дискретного времени (т. е. цифровой системы), равен , где n — дискретный момент времени, в который оценивается система. Уравнения состояния дискретного времени: ${\displaystyle x[n]}$

${\displaystyle x[n+1]=Ax[n]+Bu[n],}$

который описывает следующее состояние системы ( x [ n +1]) относительно текущего состояния и входных данных u [ n ] системы. Выходные уравнения:

${\displaystyle y[n]=Cx[n]+Du[n],}$

который описывает выход y [ n ] относительно текущих состояний и входы u [ n ] в систему.

Системы непрерывного времени

Вектор состояния, представляющий текущее состояние системы с непрерывным временем (т.е. аналоговой системы) , равен , а уравнения состояния с непрерывным временем, дающие эволюцию вектора состояния: ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=Ax(t)+Bu(t),}$

который описывает непрерывную скорость изменения состояния системы относительно текущего состояния x ( t ) и входов u ( t ) системы. Выходные уравнения: ${\textstyle {\frac {dx(t)}{dt}}}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t),}$

который описывает выход y ( t ) относительно текущих состояний x ( t ) и входы u ( t ) в систему.

Смотрите также

• Пространство состояний (управление)
• Управление (теория оптимального управления)
• Теория управления
• Уравнение состояния
• Государство (информатика)
• Динамические системы
• Состояние (функциональный анализ)
• Диаграмма состояний
• Фильтр переменных состояния

Рекомендации

1. Палм, III Уильям Дж. (2009). Системная динамика (2-е изд.). Медицинское издательство МакГроу-Хилл. п. 420. ИСБН 978-0-07-126779-3.