Проблема с перемещением дивана

Вопрос по геометрии по планированию движения

Нерешенная задача по математике :

Какова наибольшая площадь фигуры, которую можно провести через коридор шириной в единицу длины в форме буквы L?

(еще нерешенные проблемы по математике)

В математике задача о перемещении дивана или задача о диване является двумерной идеализацией реальных задач по перемещению мебели и требует жесткой двумерной формы наибольшей площади , которую можно маневрировать через L-образную плоскую область с ножками единичной ширины. ^[1] Полученная таким образом площадь называется константой дивана . Точное значение константы дивана является открытой проблемой . Ведущее решение, предложенное Джозефом Л. Джервером, имеет значение приблизительно 2,2195 и считается близким к оптимальному, основываясь на последующем исследовании и теоретических ограничениях.

История

Первая официальная публикация была сделана австрийско-канадским математиком Лео Мозером в 1966 году ^[2] , хотя до этой даты было много неофициальных упоминаний. ^[1]

Границы

Была проделана работа, чтобы доказать, что константа дивана (A) не может быть ниже или выше определенных значений ( нижних и верхних границ ).

Ниже

Диван Hammersley имеет площадь 2,2074, но это не самое большое решение.

Диван Жервера площадью 2,2195 с 18 изогнутыми секциями

Нижняя граница постоянной дивана может быть доказана путем нахождения определенной формы высокой области и пути ее перемещения через угол. — очевидная нижняя граница. Она исходит из дивана, который представляет собой полудиск единичного радиуса, который может скользить по одному проходу в угол, вращаться внутри угла вокруг центра диска, а затем выезжать по другому проходу. ${\displaystyle A\geq \pi /2\approx 1.57}$

В 1968 году Джон Хаммерсли установил нижнюю границу . ^[3] Этого можно достичь, используя форму, напоминающую телефонную трубку , состоящую из двух четвертей диска радиусом 1 по обе стороны от прямоугольника размером 1, из которого удалена половина диска радиусом . ^{[4] [5]} ${\displaystyle A\geq \pi /2+2/\pi \approx 2.2074}$ ${\displaystyle 4/\pi }$ ${\displaystyle 2/\pi }$

В 1992 году Джозеф Л. Джервер из Ратгерского университета описал диван с 18 кривыми секциями, каждая из которых принимает гладкую аналитическую форму. Это еще больше увеличило нижнюю границу для постоянной дивана до приблизительно 2,2195 (последовательность A128463 в OEIS ). ^{[6] [7]}

Верхний

Хаммерсли установил верхнюю границу для постоянной дивана не более . ^{[3] [1] [8]} Йоав Каллус и Дэн Ромик опубликовали новую верхнюю границу в 2018 году, ограничив постоянную дивана значением . Их подход включает в себя вращение коридора (а не дивана) через конечную последовательность различных углов (а не непрерывно) и использование компьютерного поиска для нахождения переводов для каждой повернутой копии так, чтобы пересечение всех копий имело связный компонент с максимально возможной площадью. Как они показывают, это обеспечивает допустимую верхнюю границу для оптимального дивана, которую можно сделать более точной, используя больше углов поворота. Пять тщательно выбранных углов поворота приводят к указанной верхней границе. ^[9] ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.8284}$ ${\displaystyle 2.37}$

Двусторонний диван

Двусторонний диван Ромика

Вариант задачи о диване задает форму наибольшей площади, которая может огибать как левый, так и правый углы в 90 градусов в коридоре единичной ширины (где левый и правый углы расположены достаточно далеко друг от друга, чтобы полностью преодолеть один из них до того, как встретится другой). Нижняя граница площади приблизительно 1,64495521 была описана Дэном Ромиком . 18-кривые секции также описывают его диван. ^{[10] [11]}

Смотрите также

• «Холистическое детективное агентство Дирка Джентли» — роман Дугласа Адамса , сюжетная линия которого вращается вокруг подобной проблемы.
• Проблема червя Мозера
• Упаковка квадрата в квадрат
• « Эпизод с копом » — эпизод американского телесериала «Друзья» , сюжет которого вращается вокруг подобной проблемы.

Ссылки

1. Wagner, Neal R. (1976). "The Sofa Problem" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 83 (3): 188–189. doi :10.2307/2977022. JSTOR  2977022. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-04-20 . Получено 2009-07-25 .
2. Мозер, Лео (июль 1966 г.). «Задача 66-11, Перемещение мебели через коридор». SIAM Review . 8 (3): 381. doi :10.1137/1008074. JSTOR  2028218.
3. JM Hammersley (1968). «Об ослаблении математических навыков «современной математикой» и подобным мягким интеллектуальным мусором в школах и университетах». Бюллетень Института математики и ее приложений . 4 : 66–85.См. Приложение IV, Задачи, Задача 8, стр. 84.
4. Крофт, Халлард Т.; Фальконер, Кеннет Дж.; Гай, Ричард К. (1994). Халмош, Пол Р. (ред.). Нерешенные проблемы геометрии . Задачники по математике; Нерешенные проблемы интуитивной математики. Том II. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97506-1. Получено 24 апреля 2013 г.
5. Финч, Стивен, Moving Sofa Constant, библиотека Mathcad (содержит схему дивана Джервера).
6. Джервер, Джозеф Л. (1992). «О перемещении дивана вокруг угла». Geometriae Dedicata . 42 (3): 267–283. doi :10.1007/BF02414066. ISSN  0046-5755. S2CID  119520847.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Проблема перемещения дивана». MathWorld .
8. Стюарт, Ян (январь 2004). Еще одна прекрасная математика, в которую вы меня втянули... Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486431819. Получено 24 апреля 2013 г.
9. Каллус, Йоав; Ромик, Дэн (декабрь 2018 г.). «Улучшенные верхние границы в задаче о движущемся диване». Advances in Mathematics . 340 : 960–982. arXiv : 1706.06630 . doi : 10.1016/j.aim.2018.10.022. ISSN  0001-8708. S2CID  5844665.
10. Ромик, Дэн (2017). «Дифференциальные уравнения и точные решения в задаче о движущемся диване». Экспериментальная математика . 26 (2): 316–330. arXiv : 1606.08111 . doi : 10.1080/10586458.2016.1270858. S2CID  15169264.
11. Ромик, Дэн. «Проблема движущегося дивана - домашняя страница Дэна Ромика». UCDavis . Проверено 26 марта 2017 г.

Внешние ссылки

• Romik, Dan (23 марта 2017 г.). "The Moving Sofa Problem" (видео) . YouTube . Brady Haran . Архивировано из оригинала 2021-12-21 . Получено 24 марта 2017 г. .
• SofaBounds — программа для расчета границ в задаче о перемещении дивана.
• 3D-модель дивана Ромика, который можно использовать как справа, так и слева.