персонаж Тейхмюллера

Специальный символ в теории чисел

В теории чисел характер Тейхмюллера ( в простом числе ) — это характер , где , если нечетно и , если , принимающий значения в корнях из единицы p -адических целых чисел . Он был введен Освальдом Тейхмюллером . Отождествляя корни из единицы в -адических целых числах с соответствующими корнями в комплексных числах, можно рассматривать как обычный характер Дирихле проводника . В более общем случае, если задано полное дискретное нормирование кольца , поле вычетов которого совершенно характеристики , существует единственное мультипликативное сечение естественной сюръекции . Образ элемента при этом отображении называется его представителем Тейхмюллера . Ограничение на называется характером Тейхмюллера . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle q=p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q=4}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega :k\to O}$ ${\displaystyle O\to k}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k^{x}}$

Определение

Если - адическое целое число, то - единственное решение, которое сравнимо с mod . Его также можно определить как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega (x)}$ ${\displaystyle \omega (x)^{p}=\omega (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \omega (x)=\lim _{n\rightarrow \infty }x^{p^{n}}}$

Мультипликативная группа -адических единиц является произведением конечной группы корней из единицы и группы, изоморфной -адическим целым числам. Конечная группа является циклической порядка или , как нечетное или четное, соответственно, и поэтому она изоморфна . ^{[ необходима цитата ]} Характер Тейхмюллера дает канонический изоморфизм между этими двумя группами. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$

Подробное изложение построения представителей Тейхмюллера для -адических целых чисел с помощью подъема Гензеля дано в статье о векторах Витта , где они играют важную роль в обеспечении кольцевой структуры. ${\displaystyle p}$

Смотрите также

• Вектор Витта

Ссылки

• Раздел 4.3 Коэна, Анри (2007), Теория чисел, Том I: Инструменты и диофантовы уравнения , Graduate Texts in Mathematics , т. 239, Нью-Йорк: Springer, doi :10.1007/978-0-387-49923-9, ISBN 978-0-387-49922-2, г-н  2312337

• Коблиц, Нил (1984), p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции , Graduate Texts in Mathematics, т. 58, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96017-3, МР  0754003