Пилообразная волна

5 секунд пилообразной волны 220 Гц

Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

Пилообразная волна (или пилообразная волна ) — это разновидность несинусоидальной волны . Она так названа из-за своего сходства с зубьями плоской пилы с нулевым передним углом . Одиночный пилообразный зуб или прерывисто срабатывающий пилообразный зуб называется пилообразной волной .

Соглашение заключается в том, что пилообразная волна поднимается вверх, а затем резко падает. В обратной (или инверсной) пилообразной волне волна опускается вниз, а затем резко поднимается. Ее также можно считать крайним случаем асимметричной треугольной волны . ^[2]

Эквивалентные кусочно-линейные функции, основанные на функции пола времени t, являются примером пилообразной волны с периодом 1. $x(t)=t-\lfloor t\rfloor$ $x(t)=t{\bmod {1}}$

Более общая форма в диапазоне от −1 до 1 и с периодом p имеет вид $2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{p}}\right\rfloor \right)$

Эта пилообразная функция имеет ту же фазу , что и синусоидальная функция.

В то время как квадратная волна состоит только из нечетных гармоник, звук пилообразной волны резкий и чистый, а ее спектр содержит как четные, так и нечетные гармоники основной частоты . Поскольку она содержит все целые гармоники, это одна из лучших форм волны для субтрактивного синтеза музыкальных звуков, особенно смычковых струнных инструментов, таких как скрипки и виолончели, поскольку поведение смычка как скользящей палки приводит струны в движение, подобное пилообразному. ^[3]

Демонстрация пилообразной добавки

Пилообразная волна частотой 220 Гц, создаваемая гармониками, добавляемыми каждую секунду к синусоиде.

Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

Пилообразную волну можно построить с помощью аддитивного синтеза . Для периода p и амплитуды a следующие бесконечные ряды Фурье сходятся к пилообразной волне и обратной (обратной) пилообразной волне:

$f={\frac {1}{p}}$ $x_{\text{пилообразная форма}}(t)=a\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}\right)$ $x_{\text{обратная пила}}(t)={\frac {2a}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k} {\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}$

В цифровом синтезе эти ряды суммируются только по k таким образом, что наивысшая гармоника, N _max , меньше частоты Найквиста (половина частоты дискретизации ). Это суммирование обычно может быть более эффективно рассчитано с помощью быстрого преобразования Фурье . Если форма волны создается в цифровом виде непосредственно во временной области с использованием формы без ограничения полосы пропускания , такой как y = x − floor ( x ), то дискретизируются бесконечные гармоники, и результирующий тон содержит искажение наложения спектров .

Ниже представлена аудиодемонстрация пилообразного сигнала, воспроизводимого на частотах 440 Гц (A ₄ ), 880 Гц (A ₅ ) и 1760 Гц (A ₆ ). Представлены как ограниченные по полосе (неналоженные), так и наложенные тоны.

Демонстрация пилообразного алиасинга

Пилообразные волны воспроизводятся с ограниченной полосой пропускания и наложением на частотах 440 Гц, 880 Гц и 1760 Гц

Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

Приложения

Пилообразные волны известны своим использованием в музыке. Пилообразные и квадратные волны являются одними из самых распространенных форм волн, используемых для создания звуков с помощью субтрактивных аналоговых и виртуальных аналоговых музыкальных синтезаторов.
Пилообразные волны используются в импульсных источниках питания . В микросхеме регулятора сигнал обратной связи с выхода непрерывно сравнивается с высокочастотным пилообразным сигналом для генерации нового сигнала ШИМ рабочего цикла на выходе компаратора .
В области компьютерных наук, в частности в автоматизации и робототехнике, позволяет вычислять суммы и разности углов, избегая разрывов на 360° и 0°. $\mathrm {пилообразная} (\theta )=2\arctan(\tan({\frac {\theta }{2}}))$
Пилообразная волна — это форма сигналов вертикального и горизонтального отклонения , используемых для генерации растра на экранах телевизоров или мониторов на основе ЭЛТ . Осциллографы также используют пилообразную волну для своего горизонтального отклонения, хотя обычно они используют электростатическое отклонение.
- На «рампе» волны магнитное поле, создаваемое отклоняющим ярмом, перемещает электронный луч по поверхности ЭЛТ, создавая линию сканирования .
- На «обрыве» волны магнитное поле внезапно разрушается, заставляя электронный луч максимально быстро вернуться в исходное положение.
- Ток, подаваемый на отклоняющее ярмо, регулируется различными способами (трансформаторами, конденсаторами, обмотками с центральным отводом) так, чтобы среднее напряжение на обрыве пилообразного сигнала находилось на нулевой отметке, что означает, что отрицательный ток вызовет отклонение в одном направлении, а положительный ток — в другом; таким образом, отклоняющее ярмо, установленное в центре, может использовать всю площадь экрана для отображения следа. Горизонтальная частота составляет 15,734 кГц для NTSC , 15,625 кГц для PAL и SECAM .
- Система вертикального отклонения работает так же, как и горизонтальная, хотя и на гораздо более низкой частоте (59,94 Гц для NTSC , 50 Гц для PAL и SECAM).
- Нарастающая часть волны должна выглядеть как прямая линия. В противном случае это указывает на то, что ток не увеличивается линейно, и, следовательно, магнитное поле, создаваемое отклоняющим ярмом, не является линейным. В результате электронный луч будет ускоряться во время нелинейных участков. Это приведет к тому, что телевизионное изображение будет «сплющено» в направлении нелинейности. В крайних случаях будет наблюдаться заметное увеличение яркости, поскольку электронный луч проводит больше времени на этой стороне изображения.
- Первые телевизионные приемники имели элементы управления, позволяющие пользователям регулировать вертикальную или горизонтальную линейность изображения. Такие элементы управления отсутствовали в более поздних моделях, поскольку стабильность электронных компонентов улучшилась.

Смотрите также

Синусоидальные , квадратные , треугольные и пилообразные формы волн

Ссылки

^ Крафт, Себастьян; Цёльцер, Удо (5 сентября 2017 г.). «LP-BLIT: синтез импульсных последовательностей с ограниченной полосой пропускания низкочастотных фильтрованных волн». Труды 20-й Международной конференции по цифровым аудиоэффектам (DAFx-17) . 20-я Международная конференция по цифровым аудиоэффектам (DAFx-17). Эдинбург. С. 255–259.
^ "Ряд Фурье-Треугольная волна - из Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com . 2012-07-02 . Получено 2012-07-11 .
^ Дэйв Бенсон. «Музыка: Математическое предложение» (PDF) . Homepages.abdn.ac.uk . стр. 42 . Получено 26 ноября 2021 г. .

Внешние ссылки

Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том 97. С. 536–537. ISBN 978-0-521-84903-6.