Пирамида Паскаля

Расположение трехчленных чисел

Первые пять слоев пирамиды Паскаля. Каждая грань (оранжевая сетка) — треугольник Паскаля. Стрелки показывают вывод двух примеров терминов.

В математике пирамида Паскаля — это трёхмерное расположение трёхчленных чисел, которые являются коэффициентами трёхчленного разложения и трёхчленного распределения . ^[1] Пирамида Паскаля — это трёхмерный аналог двумерного треугольника Паскаля , который содержит двучленные числа и связан с двучленным разложением и биномиальным распределением . Двучленные и трёхчленные числа, коэффициенты, разложения и распределения являются подмножествами многочленных конструкций с теми же названиями.

Структура тетраэдра

Поскольку тетраэдр является трехмерным объектом, его отображение на листе бумаги, экране компьютера или другом двумерном носителе затруднено. Предположим, что тетраэдр разделен на несколько уровней, этажей, срезов или слоев. Верхний слой (вершина) обозначен как «Слой 0». Другие слои можно рассматривать как виды сверху тетраэдра с удаленными предыдущими слоями. Первые шесть слоев следующие:

Вывод первых пяти уровней пирамиды Паскаля – там, где несколько значений указывают на число, значения суммируются

Слои тетраэдра намеренно показаны вершиной вниз, чтобы их нельзя было спутать с треугольником Паскаля.

Обзор тетраэдра

• В каждом слое наблюдается трехсторонняя симметрия чисел.
• Число членов в n- ^м слое равно ( n +1) ^-му треугольному числу : ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$ .
• Сумма значений чисел в n- ^м слое равна 3 ⁿ .
• Каждое число в любом слое представляет собой сумму трех соседних чисел в слое выше.
• Каждое число в любом слое представляет собой простое целочисленное отношение соседних чисел в том же слое.
• Каждое число в любом слое является коэффициентом триномиального распределения и триномиального расширения. Это нелинейное расположение упрощает:
  • отображать разложение трехчлена в последовательном виде;
  • вычислить коэффициенты триномиального распределения;
  • вычислить количество слоев любого тетраэдра.
• Числа вдоль трех ребер n ^-го слоя являются числами n- ^й линии треугольника Паскаля. И почти все перечисленные выше свойства имеют параллели с треугольником Паскаля и коэффициентами полиномов.

Соединение трехчленного расширения

Числа тетраэдра выводятся из разложения тринома . ^Слой n - это матрица отдельных коэффициентов (без переменных или показателей) трехчленного выражения (например: A + B + C ), возведенного в ^{степень} n . ^{Степень} n трехчлена расширяется путем многократного умножения трехчлена на самого себя:

${\displaystyle (A+B+C)(A+B+C)^{n}=(A+B+C)^{n+1}}$

Слои пирамиды Паскаля, полученные из коэффициентов перевернутой троичной диаграммы членов разложений степеней трехчлена

Каждый член в первом выражении умножается на каждый член во втором выражении; а затем коэффициенты подобных членов (те же переменные и показатели степеней) складываются. Вот расширение ( A + B + C ) ⁴ :

1 А ⁴ В ⁰ С ⁰ + 4 А ³ В ⁰ С ¹ + 6 А ² В ⁰ С ² + 4 А ¹ В ⁰ С ³ + 1 А ⁰ В ⁰ С ⁴ +

4 А ³ В ¹ С ⁰ + 12 А ² В ¹ С ¹ + 12 А ¹ В ¹ С ² + 4 А ⁰ В ¹ С ³ + 6 А ² В ² С ⁰ + 12 А ¹ В ² С ¹ + 6 А ⁰ В ² С ² + 4 А ¹ В ³ С ⁰ + 4 А ⁰ В ³ С ¹ +

1 А ⁰ Б ⁴ В ⁰    

Запись расширения таким нелинейным способом показывает расширение более понятным способом. Это также делает связь с тетраэдром очевидной — коэффициенты здесь соответствуют коэффициентам слоя 4. Все неявные коэффициенты, переменные и показатели степеней, которые обычно не записываются, также показаны для иллюстрации другой связи с тетраэдром. (Обычно "1 A " — это " A "; " B ¹ " — это " B "; а " C ⁰ " — это "1"; и т. д.) Показатели степеней каждого члена в сумме дают номер слоя ( n ), или 4, в данном случае. Что еще более важно, значение коэффициентов каждого члена можно вычислить непосредственно из показателей степеней. Формула имеет вид ⁠( х + у + z )!/х ! у ! з !⁠ , где x, y, z — показатели степеней A, B, C соответственно, а «!» — факториал, т.е.:. Формулы показателей для 4-го слоя: ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n}$

Показатели степени каждого члена разложения можно ясно увидеть, и эти формулы упрощаются до коэффициентов разложения и коэффициентов тетраэдра слоя 4.

Трехчленное распределение связи

Числа тетраэдра также можно найти в триномиальном распределении . Это дискретное распределение вероятностей, используемое для определения шанса на то, что произойдет некоторая комбинация событий при трех возможных результатах — количество способов, которыми могут произойти события, умножается на вероятности того, что они произойдут. Формула для триномиального распределения:

${\displaystyle {\frac {n!}{x!y!z!}}(P_{A})^{x}(P_{B})^{y}(P_{C})^{z}}$

где x, y, z — количество раз, когда происходит каждый из трех результатов; n — количество испытаний, равное сумме x+y+z ; а P _A , P _B , P _C — вероятности того, что каждое из трех событий может произойти.

Например, в трехсторонних выборах кандидаты получили следующие голоса: A, 16%; B, 30%; C, 54%. Какова вероятность того, что случайно выбранная фокус-группа из четырех человек будет содержать следующих избирателей: 1 за A, 1 за B, 2 за C? Ответ:

${\displaystyle {\frac {4!}{1!1!2!}}(16\,\%)^{1}(30\,\%)^{1}(54\,\%)^{2}=12\cdot 0.0140=17\,\%}$

Число 12 является коэффициентом этой вероятности, и это число комбинаций, которые могут заполнить эту фокус-группу "112". Существует 15 различных расположений фокус-групп из четырех человек, которые могут быть выбраны. Выражения для всех 15 этих коэффициентов следующие:

${\displaystyle \textstyle {4! \over 4!\cdot 0!\cdot 0!}\ {4! \over 3!\cdot 0!\cdot 1!}\ {4! \over 2!\cdot 0!\cdot 2!}\ {4! \over 1!\cdot 0!\cdot 3!}\ {4! \over 0!\cdot 0!\cdot 4!}}$

${\displaystyle \textstyle {4! \over 3!\cdot 1!\cdot 0!}\ {4! \over 2!\cdot 1!\cdot 1!}\ {4! \over 1!\cdot 1!\cdot 2!}\ {4! \over 0!\cdot 1!\cdot 3!}}$

${\displaystyle \textstyle {4! \over 2!\cdot 2!\cdot 0!}\ {4! \over 1!\cdot 2!\cdot 1!}\ {4! \over 0!\cdot 2!\cdot 2!}}$

${\displaystyle \textstyle {4! \over 1!\cdot 3!\cdot 0!}\ {4! \over 0!\cdot 3!\cdot 1!}}$

${\displaystyle \textstyle {4! \over 0!\cdot 4!\cdot 0!}}$

Числитель этих дробей (над чертой) одинаков для всех выражений. Это размер выборки — группа из четырех человек — и он указывает, что коэффициенты этих расположений можно найти на слое 4 тетраэдра. Три числа знаменателя (под чертой) — это количество членов фокус-группы, которые проголосовали за A, B, C соответственно.

Сокращение обычно используется для выражения комбинаторных функций в следующем формате «выбрать» (который читается как «4 выбрать 4, 0, 0» и т. д.).

${\displaystyle \textstyle {4 \choose 4,0,0}\ {4 \choose 3,0,1}\ {4 \choose 2,0,2}\ {4 \choose 1,0,3}\ {4 \choose 0,0,4}}$

${\displaystyle \textstyle {4 \choose 3,1,0}\ {4 \choose 2,1,1}\ {4 \choose 1,1,2}\ {4 \choose 0,1,3}}$

${\displaystyle \textstyle {4 \choose 2,2,0}\ {4 \choose 1,2,1}\ {4 \choose 0,2,2}}$

${\displaystyle \textstyle {4 \choose 1,3,0}\ {4 \choose 0,3,1}}$

${\displaystyle \textstyle {4 \choose 0,4,0}}$

Но значение этих выражений по-прежнему равно коэффициентам 4-го слоя тетраэдра. И их можно обобщить на любой слой, изменив размер выборки ( n ).

Эта запись позволяет легко выразить сумму всех коэффициентов слоя n :

${\displaystyle \textstyle \sum _{x,y,z}{n \choose x,y,z}=3^{n}}$.

Добавление коэффициентов между слоями

Числа на каждом слое ( n ) тетраэдра являются суммой трех соседних чисел в слое ( n −1) "выше" него. Эту связь довольно трудно увидеть, не смешивая слои. Ниже приведены курсивные числа слоя 3, перемежающиеся жирными числами слоя 4:

Связь иллюстрируется нижним, центральным числом 12 4-го слоя. Оно «окружено» тремя числами 3-го слоя: 6 на «севере», 3 на «юго-западе», 3 на «юго-востоке». (Числа по краю имеют только два смежных числа в слое «выше», а три угловых числа имеют только одно смежное число в слое выше, поэтому они всегда равны «1». Отсутствующие числа можно считать равными «0», поэтому нет потери общности.) Эта связь между смежными слоями возникает посредством двухэтапного процесса трехчленного расширения.

Продолжая этот пример, на шаге 1 каждый член ( A + B + C ) ³ умножается на каждый член ( A + B + C ) ^1. В этом примере интерес представляют только три из этих умножений:

Затем на шаге 2 суммирование подобных членов (одинаковых переменных и показателей степеней) дает: 12 A ¹ B ² C ¹ , что является членом ( A + B + C ) ⁴ ; в то время как 12 является коэффициентом 4-го слоя тетраэдра.

Символически аддитивное отношение можно выразить так:

${\displaystyle C(x,y,z)=C(x-1,y,z)+C(x,y-1,z)+C(x,y,z-1)}$

где C( x,y,z ) — коэффициент при члене с показателями степеней x, y, z , а ⁠ ⁠ ${\displaystyle x+y+z=n}$ — слой тетраэдра.

Это соотношение будет работать только в том случае, если трехчленное разложение представлено нелинейным образом, как это показано в разделе «Связь трехчленного разложения».

Соотношение между коэффициентами одного и того же слоя

На каждом слое тетраэдра числа являются простыми целочисленными отношениями соседних чисел. Это соотношение иллюстрируется для горизонтально смежных пар на 4-м слое следующим образом:

1   ⟨1:4⟩   4   ⟨2:3⟩ 6 ⟨3:2⟩ 4 ⟨4:1⟩   1 4   ⟨1   :   3⟩ 12 ⟨2 :   2⟩ 12 ⟨3:1⟩ 4 6 ⟨1:2⟩ 12 ⟨2:1⟩ 6 4 ⟨1:1⟩ 4 1
           
       
   

Поскольку тетраэдр обладает трехсторонней симметрией, соотношение также справедливо для диагональных пар в обоих направлениях, а также для показанных горизонтальных пар.

Отношения контролируются показателями соответствующих смежных членов трехчленного разложения. Например, одно отношение на иллюстрации выше:

4   ⟨1:3⟩   12

Соответствующие члены трехчленного разложения:

${\displaystyle 4A^{3}B^{1}C^{0}}$и ${\displaystyle 12A^{2}B^{1}C^{1}}$

Следующие правила применяются к коэффициентам всех соседних пар членов трехчленного разложения:

• Показатель степени одной из переменных остается неизменным ( в данном случае B ) и может быть проигнорирован.
• Для двух других переменных один показатель степени увеличивается на 1, а другой уменьшается на 1.
  • Показатели степени A равны 3 и 2 (больший показатель находится в левом члене).
  • Показатели степени C равны 0 и 1 (больший показатель находится в правом члене).
• Коэффициенты и большие показатели связаны:
  • 4 × 3 = 12 × 1
  • 4 / 12 = 1 / 3
• Эти уравнения дают соотношение: «1:3».

Правила одинаковы для всех горизонтальных и диагональных пар. Переменные A, B, C будут меняться.

Это соотношение дает еще один (несколько громоздкий) способ расчета коэффициентов тетраэдра:

Коэффициент при соседнем члене равен коэффициенту при текущем члене, умноженному на показатель степени текущего члена убывающей переменной, деленный на показатель степени соседнего члена возрастающей переменной.

Соотношение смежных коэффициентов может быть немного понятнее, если выразить его символически. Каждый член может иметь до шести смежных членов:

Для х = 0: ${\displaystyle C(x,y,z-1)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {z}{y}},\quad C(x,y-1,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {y}{z}}}$

Для у = 0: ${\displaystyle C(x-1,y,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {x}{z}},\quad C(x,y,z-1)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {z}{x}}}$

Для z = 0: ${\displaystyle C(x,y-1,z)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {y}{x}},\quad C(x-1,y,z)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {x}{y}}}$

где C( x,y,z ) — коэффициент, а x, y, z — показатели степеней. До появления карманных калькуляторов и персональных компьютеров этот подход использовался школьниками в качестве сокращенного варианта для записи биномиальных разложений без утомительных алгебраических разложений или неуклюжих факториальных вычислений.

Это соотношение будет работать только в том случае, если трехчленное разложение представлено нелинейным образом, как это показано в разделе «Связь трехчленного разложения».

Связь с треугольником Паскаля

Хорошо известно, что числа вдоль трех внешних ребер n ^-го слоя тетраэдра являются теми же числами, что и n ^-я линия треугольника Паскаля. Однако связь на самом деле гораздо более обширна, чем просто один ряд чисел. Эту связь лучше всего проиллюстрировать, сравнив треугольник Паскаля до линии 4 со слоем 4 тетраэдра.

Треугольник Паскаля
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Тетраэдр Слой 4
1 4 6 4 1
4 12 12 4
6 12 6
4 4
1

Умножение чисел каждой линии треугольника Паскаля вплоть до n- ^й линии на числа n- ^й линии генерирует n- ^й слой тетраэдра. В следующем примере линии треугольника Паскаля выделены курсивом , а строки тетраэдра — жирным шрифтом. ^[2]

1

× 1 =
1

1 1
× 4 =                        
4 4

1 2 1
× 6 =                             
6 12 6

1 3 3 1
× 4 =                                         
4 12 12 4

1 4 6 4 1
× 1 =                                                

1 4 6 4 1

Множители (1 4 6 4 1) составляют строку 4 треугольника Паскаля.

Это соотношение демонстрирует самый быстрый и простой способ вычисления чисел для любого слоя тетраэдра без вычисления факториалов, которые быстро становятся огромными числами. (Калькуляторы повышенной точности становятся очень медленными после слоя тетраэдра 200.)

Если коэффициенты треугольника Паскаля обозначены как C( i,j ), а коэффициенты тетраэдра обозначены как C( n,i,j ), где n — слой тетраэдра, i — строка, а j — столбец, то соотношение можно выразить символически как:

${\displaystyle C(i,j)\times C(n,i)=C(n,i,j),\quad 0\leq i\leq n,\ 0\leq j\leq i}$

[ i, j, n здесь не являются показателями степени, а просто последовательными индексами маркировки.]

Параллели к треугольнику Паскаля и полиномиальным коэффициентам

В этой таблице суммированы свойства триномиального разложения и триномиального распределения. Она сравнивает их с биномиальными и полиномиальными разложениями и распределениями:

• ^1 Симплекс — простейшая линейная геометрическая форма, существующая в любом измерении. Тетраэдры и треугольники являются примерами в 3 и 2 измерениях соответственно.
• ^2 Формула для биномиального коэффициента обычно выражается как ⁠н !/х !( н − х )!⁠ , где n − x = y .

Другие свойства

Экспоненциальная конструкция

Произвольный слой n можно получить за один шаг, используя следующую формулу:

${\displaystyle \left(b^{d\left(n+1\right)}+b^{d}+1\right)^{n},}$

где b — основание системы счисления, а d — количество цифр любого из центральных многочленных коэффициентов , то есть

${\displaystyle \textstyle d=1+\left\lfloor \log _{b}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}\right\rfloor ,\ \sum _{i=1}^{3}{k_{i}}=n,\ \left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor \leq k_{i}\leq \left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil ,}$

затем переносим цифры результата на d ( n +1), добавляем интервал d и удаляем начальные нули.

Этот метод, обобщенный на произвольную размерность, можно использовать для получения срезов любого симплекса Паскаля .

Примеры

Для основания b = 10, n = 5, d = 2:

${\displaystyle \textstyle \left(10^{12}+10^{2}+1\right)^{5}}$

= 1000000000101 5= 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501 1 1 1 000000000505 00 00 00 00 05 05 .. .. .. .. .5 .5 000000102010 00 00 00 10 20 10 .. .. .. 10 20 10~ 000010303010 ~ 00 00 10 30 30 10 ~ .. .. 10 30 30 10 000520302005 00 05 20 30 20 05 .. .5 20 30 20 .5 010510100501 01 05 10 10 05 01 .1 .5 10 10 .5 .1 обернут в d(n+1) с интервалом d, начальные нули удалены

Для основания b = 10, n = 20, d = 9:

${\displaystyle \textstyle \left(10^{189}+10^{9}+1\right)^{20}}$

Слой пирамиды Паскаля №20.

Сумма коэффициентов слоя по строкам

Суммирование чисел в каждой строке слоя n пирамиды Паскаля дает

${\displaystyle \left(b^{d}+2\right)^{n},}$

где b — основание системы счисления , а d — количество цифр суммы «центральной» строки (с наибольшей суммой).

Для основания b = 10:

1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1--- 1\1~02\2\2~04\3\3~06\4\4~08 1 ----- 1 \ 2 \ 1 ~ 04 \ 3 \ 6 \ 3 ~ 12 \ 6 \ 12 \ 6 ~ 24 1 02 --------- 1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08 \ 4 \ 12 \ 12 \ 4 ~ 32 1 04 04 ------------- 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16 1 06 12 08 ------------------ 1 08 24 32 16102 0 102 1 102 2 102 3 102 4

Сумма коэффициентов слоя по столбцам

Суммирование чисел в каждом столбце слоя n пирамиды Паскаля дает

${\displaystyle \left(b^{2d}+b^{d}+1\right)^{n},}$

где b — основание системы счисления , а d — количество цифр суммы «центрального» столбца (с наибольшей суммой).

Для основания b = 10:

1 |1| |1| |1| | 1| | 1|--- 1| |1 |2| |2| |3| |3| | 4| | 4| | 5| | 5| 1 ----- 1| |2| |1 |3| |6| |3| | 6| |12| | 6| |10| |20| |10| 1 1 1 --------- 1| |3| |3| |1 | 4| |12| |12| | 4| |10| |30| |30| |10| 1 2 3 2 1 ------------- 1| | 4| | 6| | 4| | 1 | 5| |20| |30| |20| | 5| 1 3 6 7 6 3 1 -------------------------- 1| | 5| |10| |10| | 5| | 1 1 04 10 16 19 16 10 04 01 -------------------------------- 1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 01111 0 111 1 111 2 111 3 10101 4 10101 5

Использование

В генетике принято использовать пирамиду Паскаля, чтобы узнать пропорцию между различными генотипами в одном скрещивании. Это делается путем проверки линии, которая эквивалентна числу фенотипов (генотипы + 1). Эта линия и будет пропорцией. ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]}

Смотрите также

• Теорема о многочлене
• Трехчленное разложение
• Треугольник Паскаля
• симплекс Паскаля

Ссылки

1. Staib, J.; Staib, L. (1978). «Пирамида Паскаля». Учитель математики . 71 (6): 505–510. doi :10.5951/MT.71.6.0505. JSTOR  27961325.
2. Педерсен, Джин ; Хилтон, Питер ; Холтон, Дерек (2002). Математические перспективы: из комнаты со многими окнами . Нью-Йорк, Нью-Йорк [ua]: Springer. ISBN 978-0387950648.

Внешние ссылки

• За пределами Флатландии: Геометрия для 21 века. ЧАСТЬ I: Тетраэдр Паскаля
• Пирамида Паскаля или тетраэдр Паскаля?
• Симплексы Паскаля