Усеченный конус

Часть твердого тела, лежащая между двумя параллельными плоскостями, разрезающими это твердое тело.

В геометрии — усеченный конус ( лат. «кусочек»); ^[a] ( мн.: frusta или frustums ) — это часть твердого тела (обычно пирамиды или конуса ), которая лежит между двумя параллельными плоскостями , разрезающими твердое тело. В случае пирамиды грани основания многоугольные , а боковые грани трапециевидные . Правильный усеченный конус — это правильная пирамида или прямой конус, усеченный перпендикулярно ее оси; ^[3] в противном случае это косой усеченный конус . В усеченном конусе или усеченной пирамиде плоскость усечения не обязательно параллельна основанию конуса, как в усеченном конусе. Если все его ребра сделать одинаковой длины, то усеченная пирамида станет призмой ( возможно, наклонной и/или с неровными основаниями).

Элементы, особые случаи и связанные концепции

Усеченный квадрат

Правильный октаэдр можно увеличить на трех гранях, чтобы создать усеченный треугольник.

Ось усеченного конуса — это ось исходного конуса или пирамиды. Усеченная пирамида является круглой, если она имеет круглые основания; правильно, если ось перпендикулярна обоим основаниям, и наклонна в противном случае.

Высота усеченного конуса — это расстояние по перпендикуляру между плоскостями двух оснований.

Конусы и пирамиды можно рассматривать как вырожденные случаи фрусты, когда одна из секущих плоскостей проходит через вершину ( так что соответствующее основание сводится к точке). Пирамидальные фрусты — подкласс призматоидов .

Две усеченные пирамиды с двумя конгруэнтными основаниями, соединенные в этих конгруэнтных основаниях, образуют бифрустум .

Формулы

Объем

Формула объема усеченной пирамиды-квадрата была введена древнеегипетскими математиками в так называемом Московском математическом папирусе , написанном при XIII династии ( ок.  1850 г. до н. э. ):

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),}$

где a и b — длины основания и верхней стороны, а h — высота.

Египтянам была известна правильная формула объема такой усеченной квадратной пирамиды, но доказательства этого уравнения в московском папирусе не приведено.

Объем усеченного конуса или пирамиды — это объем твердого тела до отсечения его «вершины» за вычетом объема этой «вершины» :

${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},}$

где B ₁ и B ₂ — площади основания и верха, а h ₁ и h ₂ — высоты перпендикуляров от вершины к базовой и верхней плоскостям.

Учитывая, что

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,}$

формулу объема можно выразить как треть произведения этой пропорциональности , и только разности кубов высот h ₁ и h _{2 :} ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}=\alpha {\frac {h_{1}^{3}-h_{2}^{3}}{3}}.}$

Используя тождество a ³ − b ³ = ( a − b )( a ² + ab + b ² ) , получаем:

${\displaystyle V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{3}},}$

где h ₁ − h ₂ = h — высота усеченной пирамиды.

Распределяя и подставляя из его определения, получаем героновское среднее площадей B ₁ и B _{2 :} ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}}{3}};}$

альтернативная формула поэтому:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right).}$

Цапля Александрийская известна тем, что вывел эту формулу и вместе с ней встретил воображаемую единицу : квадратный корень из отрицательного. ^[4]

В частности:

• Объем усеченного круглого конуса равен:

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right),}$

где r ₁ и r ₂ — радиусы основания и вершины .

• Объем усеченной пирамиды, основаниями которой являются правильные n -угольники, равен:

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}},}$

где a ₁ и a ₂ — длины нижней и верхней сторон.

Усеченная пирамида

Площадь поверхности

Усеченный конус

3D-модель усеченного конуса.

Для правильного кругового усеченного конуса ^{[5] [6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Lateral surface area}}&=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s\\&=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total surface area}}&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\\&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$

где r ₁ и r ₂ — радиусы основания и вершины соответственно, а s — наклонная высота усеченного конуса.

Площадь поверхности правого усеченного конуса, основания которого представляют собой подобные правильные n -сторонние многоугольники , равна

${\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right)^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}}\right]}$

где 1 и 2 _— стороны двух оснований _.

Примеры

Шоколадные конфеты марки Rolo имеют форму правильного круглого усеченного конуса, но не плоские сверху.

• На оборотной стороне (реверсе) однодолларовой банкноты Соединенных Штатов изображена усеченная пирамида на реверсе Большой печати Соединенных Штатов , увенчанная Оком Провидения .
• Зиккураты , ступенчатые пирамиды и некоторые древние курганы коренных американцев также образуют усеченную форму одной или нескольких пирамид с добавлением дополнительных элементов, таких как лестницы.
• Китайские пирамиды .
• Центр Джона Хэнкока в Чикаго , штат Иллинойс , представляет собой усеченную пирамиду, основания которой представляют собой прямоугольники.
• Монумент Вашингтона представляет собой узкую усеченную пирамиду с квадратным основанием, увенчанную небольшой пирамидой.
• Усеченная пирамида обзора в 3D -компьютерной графике представляет собой поле обзора виртуальной фото- или видеокамеры, смоделированное в виде усеченной пирамиды.
• В английском переводе сборника рассказов Станислава Лема «Кибериада» в стихотворении «Любовь и тензорная алгебра» утверждается, что «каждый усеченный конус стремится быть конусом».
• Ведра и типичные абажуры — повседневные примеры усеченных конусов.
• Стаканы для питья и некоторые космические капсулы также являются примерами.

• 

  Гарсу Гаудикле, Неринга, Литва

  Деревянное строение или статуя Гарсу Гаудикле в Литве.
• сыр Валансе
• конфеты Роло

Смотрите также

• Сферическая усеченная пирамида

Примечания

1. Термин frustum происходит от латинского frustum , что означает «кусок» или «кусок». Английское слово часто пишется с ошибкой как frustrum , другое латинское слово, родственное английскому слову «frustrat». ^[1] Путаница между этими двумя словами заключается в том, что очень старые: предупреждение о них можно найти в Приложении Probi , а в произведениях Плавта есть каламбур по их поводу. ^[2]

Рекомендации

1. Кларк, Джон Спенсер (1895). Пособие для учителя: Книги I–VIII. Полный курс Пранга по формоведению и рисованию, книги 7–8. Образовательная компания Пранг. п. 49.
2. Фонтейн, Майкл (2010). Смешные слова в комедии Плаутина. Издательство Оксфордского университета . стр. 117, 154. ISBN. 9780195341447.
3. Керн, Уильям Ф.; Бланд, Джеймс Р. (1938). Твердые измерения с доказательствами . п. 67.
4. Нахин, Пол. Воображаемая сказка: история √ −1 . Издательство Принстонского университета. 1998 год
5. "Mathwords.com: Усеченная пирамида" . Проверено 17 июля 2011 г.
6. Аль-Саммаррайе, Ахмед Т.; Вафаи, Камбиз (2017). «Усиление теплопередачи за счет углов схождения в трубе». Численная теплопередача, Часть A: Приложения . 72 (3): 197–214. Бибкод : 2017NHTA...72..197A. дои : 10.1080/10407782.2017.1372670. S2CID  125509773.

Внешние ссылки

• Вывод формулы объема усеченных пирамид и конуса (Mathalino.com)
• Вайсштейн, Эрик В. «Усеченная пирамида». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный конус». Математический мир .
• Бумажные модели усеченных пирамид (усеченных пирамид)
• Бумажная модель усеченного конуса (усеченного конуса)
• Конструкторские бумажные модели усеченного конуса (усеченных конусов)