Пифагорейская настройка — это система музыкальной настройки , в которой частотные соотношения всех интервалов определяются выбором последовательности квинт [2] , которые являются « чистыми » или совершенными , с соотношением . Это выбрано потому, что это следующая гармоника вибрирующей струны после октавы (которая является соотношением ), и, следовательно, это следующий наиболее согласный «чистый» интервал, и самый простой для настройки на слух. Как выразился Новалис , «Музыкальные пропорции кажутся мне особенно правильными естественными пропорциями». [3] В качестве альтернативы, это можно описать как настройку синтонической темперации [1] , в которой генератором является соотношение 3:2 (т. е. незатемненная совершенная квинта ), что составляет ≈ 702 цента в ширину.
Система восходит к Древней Месопотамии;. [4] (См. Музыка Месопотамии § Теория музыки .) Она названа и широко ошибочно приписывается древним грекам , в частности Пифагору (шестой век до н. э.) современными авторами теории музыки. Птолемей , а позже Боэций , приписывали разделение тетрахорда только двумя интервалами, называемыми «семитоний» и «тонус» на латыни (256:243 × 9:8 × 9:8), Эратосфену . Так называемая «пифагорейская настройка» использовалась музыкантами вплоть до начала 16-го века. «Пифагорейская система, по-видимому, идеальна из-за чистоты квинт, но некоторые считают другие интервалы, особенно большую терцию, настолько сильно расстроенными, что большие аккорды [могут считаться] диссонансом». [2]
Пифагорейская гамма — это любая гамма , которая может быть построена только из чистых квинт (3:2) и октав (2:1). [5] В греческой музыке она использовалась для настройки тетрахордов , которые были составлены в гаммы, охватывающие октаву. [6] Можно провести различие между расширенной пифагорейской настройкой и 12-тоновой пифагорейской темперацией. Расширенная пифагорейская настройка соответствует 1 к 1 с западной музыкальной нотацией, и нет ограничения на количество квинт. Однако в 12-тоновой пифагорейской темперации человек ограничен 12 тонами на октаву, и он не может играть большую часть музыки в соответствии с пифагорейской системой, соответствующей энгармонической нотации. Вместо этого можно обнаружить, что, например, уменьшенная секста становится «волчьей квинтой».
12-тоновая пифагорейская темперация основана на последовательности чистых квинт, каждая из которых настроена в соотношении 3:2, следующем простейшем соотношении после 2:1 (октава). Начиная, например, с D ( настройка на основе D ), шесть других нот получаются путем перемещения шесть раз в соотношении 3:2 вверх, а оставшиеся — путем перемещения в том же соотношении вниз:
Эта последовательность из одиннадцати интервалов 3:2 охватывает широкий диапазон частот (на клавиатуре фортепиано она охватывает 77 клавиш). Поскольку ноты, отличающиеся по частоте в 2 раза, воспринимаются как похожие и имеют одинаковое название ( октавная эквивалентность ), принято делить или умножать частоты некоторых из этих нот на 2 или на степень 2. Цель этой корректировки — переместить 12 нот в меньший диапазон частот, а именно в интервал между базовой нотой D и нотой D над ней (нотой с удвоенной частотой). Этот интервал обычно называют основной октавой (на клавиатуре фортепиано октава имеет всего 12 клавиш). Это восходит к древности: в Древней Месопотамии вместо того, чтобы накладывать квинт, настройка основывалась на чередовании восходящих квинт и нисходящих кварт (равных восходящей квинте, за которой следует нисходящая октава), в результате чего ноты пентатонической или гептатонической гаммы попадали в октаву.
В формулах соотношения 3:2 или 2:3 представляют восходящую или нисходящую чистую квинту (т.е. увеличение или уменьшение частоты на чистую квинту, тогда как 2:1 или 1:2 представляют восходящую или понижающуюся октаву). Формулы также могут быть выражены в терминах мощностей третьей и второй гармоник .
Мажорная гамма, основанная на C, полученная из этой настройки, выглядит следующим образом: [7]
В равномерной темперации пары энгармонических нот, такие как A ♭ и G ♯, считаются абсолютно одной и той же нотой, однако, как показывает приведенная выше таблица, в пифагорейской настройке они имеют разные соотношения относительно D, что означает, что они находятся на разной частоте. Это расхождение, около 23,46 центов, или почти четверть полутона, известно как пифагорейская комма .
Чтобы обойти эту проблему, пифагорейская настройка строит только двенадцать нот, как указано выше, с одиннадцатью квинтами между ними. Например, можно использовать только 12 нот от E ♭ до G ♯ . Это, как показано выше, подразумевает, что для построения всей хроматической гаммы используются только одиннадцать квинт. Оставшийся интервал (уменьшенная секста от G ♯ до E ♭ ) остается сильно расстроенным, что означает, что любая музыка, которая объединяет эти две ноты, не может быть воспроизведена в этой настройке. Очень расстроенный интервал, такой как этот, известен как волчий интервал . В случае пифагорейской настройки все квинты имеют ширину 701,96 цента, в точном соотношении 3:2, за исключением волчьей квинты, которая имеет ширину всего 678,49 цента, почти на четверть полутона ниже .
Если ноты G ♯ и E ♭ должны звучать вместе, можно изменить положение волчьей квинты. Например, пифагорейская настройка на основе C создаст стек квинт, идущих от D ♭ до F ♯ , делая F ♯ -D ♭ волчьим интервалом. Однако в пифагорейской настройке всегда будет одна волчья квинта, что делает невозможным играть во всех тональностях в унисон.
Таблицы выше показывают только частотные соотношения каждой ноты по отношению к базовой ноте. Однако интервалы могут начинаться с любой ноты, и поэтому для каждого типа интервала можно определить двенадцать интервалов – двенадцать унисон, двенадцать полутонов , двенадцать интервалов по 2 полутона и т. д.
Как объяснялось выше, одна из двенадцати квинт (волчья квинта) имеет другой размер по отношению к другим одиннадцати. По той же причине каждый тип интервала, за исключением унисон и октав, имеет два разных размера. Таблица справа показывает их частотные соотношения, с отклонениями пифагорейской запятой, выделенными цветом. [8] Отклонения возникают из-за того, что ноты определяют два разных полутона :
Напротив, в равномерно темперированной хроматической гамме все полутоны измеряются
и интервалы любого типа имеют одинаковый размер, но ни один из них не настроен правильно, за исключением унисон и октав.
По определению, в пифагорейском строе 11 чистых квинт ( P5 в таблице) имеют размер приблизительно 701,955 центов (700+ε центов, где ε ≈ 1,955 центов). Поскольку средний размер 12 квинт должен быть равен точно 700 центам (как в равномерной темперации), другой должен иметь размер 700 − 11 ε центов, что составляет около 678,495 центов (волчья квинта). Как показано в таблице, последний интервал, хотя энгармонически эквивалентен квинте, правильнее называть уменьшенной секстой ( d6 ). Аналогично,
Короче говоря, аналогичные различия в ширине наблюдаются для всех типов интервалов, за исключением унисонных и октавных, и все они кратны ε — разнице между пифагорейской квинтой и средней квинтой.
Как очевидное следствие, каждый увеличенный или уменьшенный интервал ровно на 12 ε (≈ 23,460) центов уже или шире своего энгармонического эквивалента. Например, d6 (или волчья квинта) на 12 ε центов уже, чем каждый P5, а каждый A2 на 12 ε центов шире, чем каждый m3. Этот интервал размером 12 ε известен как пифагорейская комма , в точности равная противоположности уменьшенной секунды (≈ −23,460 центов). Это подразумевает, что ε также может быть определена как одна двенадцатая пифагорейской коммы.
Четыре из вышеупомянутых интервалов имеют особое название в пифагорейской настройке. В следующей таблице приведены эти особые названия, а также альтернативные названия, используемые в общем для некоторых других интервалов. Пифагорейская комма не совпадает с уменьшенной секундой, так как ее размер (524288:531441) является обратной величиной пифагорейской уменьшенной секунды (531441:524288). Также дитон и полудитон являются специфическими для пифагорейской настройки, в то время как тон и тритон используются в общем для всех систем настройки. Несмотря на свое название, полудитон (3 полутона, или около 300 центов) вряд ли можно рассматривать как половину дитона (4 полутона, или около 400 центов). Все интервалы с префиксом sesqui- настроены справедливо , и их частотное соотношение , показанное в таблице, является суперчастным числом (или эпиморическим соотношением). То же самое верно и для октавы.
Система восходит к Древней Месопотамии, [4] и состояла из чередующихся восходящих квинт и нисходящих кварт; см. Музыка Месопотамии § Теория музыки . В древнегреческой музыке система в основном приписывалась Пифагору (который жил около 500 г. до н. э.) современными авторами музыкальной теории; Древние греки заимствовали большую часть своей музыкальной теории из Месопотамии, включая диатоническую гамму, пифагорейскую настройку и лады. Китайская гамма Shí-èr-lǜ использует те же интервалы, что и пифагорейская гамма, и была изобретена между 600 г. до н. э. и 240 г. н. э. [2] [9]
Из-за волчьего интервала при использовании 12-тоновой пифагорейской темперации эта настройка сегодня используется редко, хотя считается, что она была широко распространена. В музыке, которая не слишком часто меняет тональность или которая не очень гармонически авантюрна, волчий интервал вряд ли будет проблемой, так как не все возможные квинты будут слышны в таких произведениях. В расширенной пифагорейской настройке волчий интервал отсутствует, все чистые квинты составляют ровно 3:2.
Поскольку большинство квинт в 12-тоновой пифагорейской темперации находятся в простом соотношении 3:2, они звучат очень «гладко» и консонансно. Терции, напротив, большинство из которых находятся в относительно сложных соотношениях 81:64 (для больших терций) и 32:27 (для малых терций), звучат менее гладко в зависимости от инструмента. [10]
Начиная примерно с 1510 года, когда терции стали рассматриваться как консонансы, meanone темперация и, в частности, quarter-comma meanone , которая настраивает терции в относительно простом соотношении 5:4 , стали самой популярной системой настройки клавиатур. В то же время, синтонико-диатоническая простая интонация была предложена сначала Рамосом , а затем Царлино в качестве нормальной настройки для певцов.
Однако meanone представлял свои собственные гармонические проблемы. Его волчьи интервалы оказались даже хуже, чем в пифагорейской настройке (настолько, что часто требовалось 19 ключей на октаву, а не 12 в пифагорейской настройке). Как следствие, meanone не подходил для всей музыки. Примерно с 18 века, по мере того как росло желание, чтобы инструменты меняли тональность, и, следовательно, избегали волчьего интервала, это привело к широкому использованию хорошо темперированных строев и, в конечном итоге, равномерно темперированных .
Пифагорейскую темперацию все еще можно услышать в некоторых частях современной классической музыки у певцов и инструментов без фиксированной настройки, таких как семейство скрипок . Когда у исполнителя есть несопровождаемый пассаж, основанный на гаммах, он будет склонен использовать пифагорейскую интонацию, поскольку это заставит гамму звучать лучше всего в тональности, а затем возвращаться к другим темперациям для других пассажей (просто интонация для аккордовых или арпеджированных фигур и равномерная темперация в сопровождении фортепиано или оркестра). Такие изменения никогда явно не записываются и едва заметны для публики, просто звуча «в тональности».
![{\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{ центов}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50bf0d2901461be5393a3b513729b1a5a0d84c9)
{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)