Математическая модель тонкого плоского объекта
В математике плоская пластинка (или плоская пластинка [1] ) — фигура, представляющая собой тонкий, обычно однородный, плоский слой твердого тела. Она также служит идеализированной моделью плоского сечения твердого тела при интегрировании .
Плоские пластины могут быть использованы для определения моментов инерции или центра масс плоских фигур, а также в качестве вспомогательного средства в соответствующих расчетах для трехмерных тел.
Определение Плоская пластинка определяется как фигура ( замкнутое множество ) D конечной площади на плоскости, с некоторой массой m . [2]
Это полезно при вычислении моментов инерции или центра масс для постоянной плотности, поскольку масса пластины пропорциональна ее площади. В случае переменной плотности, заданной некоторой (неотрицательной) функцией поверхностной плотности , масса плоской пластины D является плоским интегралом ρ по фигуре: [3] ρ ( х , у ) , {\displaystyle \rho (x,y),} м {\displaystyle м}
м = ∬ Д ρ ( х , у ) г х г у {\displaystyle m=\iint _{D} \rho (x,y)\,dx\,dy}
Характеристики Центр масс пластинки находится в точке
( М у м , М х м ) {\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)} где — момент всей пластины относительно оси y, а — момент всей пластины относительно оси x: М у {\displaystyle M_{y}} М х {\displaystyle M_{x}}
М у = лим м , н → ∞ ∑ я = 1 м ∑ дж = 1 н х я дж ∗ ρ ( х я дж ∗ , у я дж ∗ ) Δ Д = ∬ Д х ρ ( х , у ) г х г у {\displaystyle M_{y}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\, x{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _ {D}x\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy} М х = лим м , н → ∞ ∑ я = 1 м ∑ дж = 1 н у я дж ∗ ρ ( х я дж ∗ , у я дж ∗ ) Δ Д = ∬ Д у ρ ( х , у ) г х г у {\displaystyle M_{x}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\, y{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _ {D}y\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy} с суммированием и интегрированием, выполненными по плоской области . Д {\displaystyle D}
Пример Найдите центр масс пластины, края которой заданы линиями , а плотность задана как . х = 0 , {\displaystyle х=0,} у = х {\displaystyle у=х} у = 4 − х {\displaystyle y=4-x} ρ ( х , у ) = 2 х + 3 у + 2 {\displaystyle \rho \ (x,y)\,=2x+3y+2}
Для этого необходимо найти массу, а также моменты и . м {\displaystyle м} М у {\displaystyle M_{y}} М х {\displaystyle M_{x}}
Масса может быть эквивалентно выражена как повторный интеграл : м = ∬ Д ρ ( х , у ) г х г у {\displaystyle m=\iint _{D} \rho (x,y)\,dx\,dy}
м = ∫ х = 0 2 ∫ у = х 4 − х ( 2 х + 3 у + 2 ) г у г х {\displaystyle m=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy\,dx} Внутренний интеграл равен:
∫ у = х 4 − х ( 2 х + 3 у + 2 ) г у {\displaystyle \int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy} = ( 2 х у + 3 у 2 2 + 2 у ) | у = х 4 − х {\displaystyle \qquad =\left.\left(2xy+{\frac {3y^{2}}{2}}+2y\right)\right|_{y=x}^{4-x}} = [ 2 х ( 4 − х ) + 3 ( 4 − х ) 2 2 + 2 ( 4 − х ) ] − [ 2 х ( х ) + 3 ( х ) 2 2 + 2 ( х ) ] {\displaystyle \qquad =\left[2x(4-x)+{\frac {3(4-x)^{2}}{2}}+2(4-x)\right]-\left[2x(x)+{\frac {3(x)^{2}}{2}}+2(x)\right]} = − 4 х 2 − 8 х + 32 {\displaystyle \qquad =-4x^{2}-8x+32} Подставляя это во внешний интеграл, получаем:
m = ∫ x = 0 2 ( − 4 x 2 − 8 x + 32 ) d x = ( − 4 x 3 3 − 4 x 2 + 32 x ) | x = 0 2 = 112 3 {\displaystyle {\begin{aligned}m&=\int _{x=0}^{2}\left(-4x^{2}-8x+32\right)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {4x^{3}}{3}}-4x^{2}+32x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {112}{3}}\end{aligned}}} Аналогично рассчитываются оба момента:
M y = ∬ D x ρ ( x , y ) d x d y = ∫ x = 0 2 ∫ y = x 4 − x x ( 2 x + 3 y + 2 ) d y d x {\displaystyle M_{y}=\iint _{D}x\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy\,dx} с внутренним интегралом:
∫ y = x 4 − x x ( 2 x + 3 y + 2 ) d y {\displaystyle \int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy} = ( 2 x 2 y + 3 x y 2 2 + 2 x y ) | y = x 4 − x {\displaystyle \qquad =\left.\left(2x^{2}y+{\frac {3xy^{2}}{2}}+2xy\right)\right|_{y=x}^{4-x}} = − 4 x 3 − 8 x 2 + 32 x {\displaystyle \qquad =-4x^{3}-8x^{2}+32x} что делает:
M y = ∫ x = 0 2 ( − 4 x 3 − 8 x 2 + 32 x ) d x = ( − x 4 − 8 x 3 3 + 16 x 2 ) | x = 0 2 = 80 3 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{y}&=\int _{x=0}^{2}(-4x^{3}-8x^{2}+32x)\,dx\\&=\left.\left(-x^{4}-{\frac {8x^{3}}{3}}+16x^{2}\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {80}{3}}\end{aligned}}} и
M x = ∬ D y ρ ( x , y ) d x d y = ∫ x = 0 2 ∫ y = x 4 − x y ( 2 x + 3 y + 2 ) d y d x = ∫ 0 2 ( x y 2 + y 3 + y 2 ) | y = x 4 − x d x = ∫ 0 2 ( − 2 x 3 + 4 x 2 − 40 x + 80 ) d x = ( − x 4 2 + 4 x 3 3 − 20 x 2 + 80 x ) | x = 0 2 = 248 3 {\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}&=\iint _{D}y\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}y\,(2x+3y+2)\,dy\,dx\\&=\int _{0}^{2}(xy^{2}+y^{3}+y^{2}){\Big |}_{y=x}^{4-x}\,dx\\&=\int _{0}^{2}(-2x^{3}+4x^{2}-40x+80)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {x^{4}}{2}}+{\frac {4x^{3}}{3}}-20x^{2}+80x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {248}{3}}\end{aligned}}} Наконец, центр масс
( M y m , M x m ) = ( 80 3 112 3 , 248 3 112 3 ) = ( 5 7 , 31 14 ) {\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)=\left({\frac {\frac {80}{3}}{\frac {112}{3}}},{\frac {\frac {248}{3}}{\frac {112}{3}}}\right)=\left({\frac {5}{7}},{\frac {31}{14}}\right)}
Ссылки ^ Аткинс, Тони; Эскудье, Марсель (2013), «Plane lamina», Словарь по машиностроению (1-е изд.) , Oxford University Press , doi : 10.1093/acref/9780199587438.001.0001, ISBN 9780199587438 , получено 2021-06-08 ^ "Planar Laminae", WolframAlpha , получено 09.03.2021 ^ "Lamina". MathWorld . Получено 2021-03-09 . 
![{\displaystyle \qquad =\left[2x(4-x)+{\frac {3(4-x)^{2}}{2}}+2(4-x)\right]-\left[2x(x)+{\frac {3(x)^{2}}{2}}+2(x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc174897e803d0dc005ec5aaf9ba3363d2f958d)
