В математике плоская кривая — это кривая на плоскости , которая может быть евклидовой плоскостью , аффинной плоскостью или проективной плоскостью . Наиболее часто изучаемыми случаями являются гладкие плоские кривые (включая кусочно- гладкие плоские кривые) и алгебраические плоские кривые . Плоские кривые также включают жордановы кривые (кривые, которые ограничивают область плоскости, но не обязательно должны быть гладкими) и графики непрерывных функций .
Плоская кривая часто может быть представлена в декартовых координатах неявным уравнением вида для некоторой конкретной функции f . Если это уравнение может быть решено явно для y или x – то есть, переписано как или для конкретной функции g или h – то это дает альтернативную, явную форму представления. Плоская кривая также часто может быть представлена в декартовых координатах параметрическим уравнением вида для конкретных функций и
Плоские кривые иногда могут быть представлены в альтернативных системах координат , таких как полярные координаты , которые выражают местоположение каждой точки через угол и расстояние от начала координат.
Гладкая плоская кривая — это кривая в действительной евклидовой плоскости и является одномерным гладким многообразием . Это означает, что гладкая плоская кривая — это плоская кривая, которая «локально выглядит как линия » , в том смысле, что вблизи каждой точки она может быть отображена в линию гладкой функцией . Эквивалентно, гладкая плоская кривая может быть задана локально уравнением, где — гладкая функция , а частные производные и никогда не равны 0 одновременно в точке кривой.
Алгебраическая плоская кривая — это кривая в аффинной или проективной плоскости, заданная одним полиномиальным уравнением (или где F — однородный полином , в проективном случае).
Алгебраические кривые активно изучались с XVIII века.
Каждая алгебраическая плоская кривая имеет степень, степень определяющего уравнения, которая в случае алгебраически замкнутого поля равна числу пересечений кривой с прямой в общем положении . Например, окружность, заданная уравнением, имеет степень 2.
Неособые плоские алгебраические кривые степени 2 называются коническими сечениями , а их проективное завершение изоморфно проективному завершению окружности (то есть проективной кривой уравнения ). Плоские кривые степени 3 называются кубическими плоскими кривыми , а если они неособые, то эллиптическими кривыми . Кривые степени 4 называются квартикальными плоскими кривыми .
Многочисленные примеры плоских кривых показаны в Галерее кривых и перечислены в Списке кривых . Здесь показаны алгебраические кривые степени 1 или 2 (алгебраическая кривая степени меньше 3 всегда содержится в плоскости):
