В гидродинамике гравитационный поток или поток плотности — это в первую очередь горизонтальный поток в гравитационном поле , который приводится в движение разницей в плотности жидкости или жидкостей и ограничен горизонтальным течением, например, потолком. Обычно разность плотностей достаточно мала, чтобы приближение Буссинеска было действительным. Гравитационные потоки можно рассматривать как конечные по объему, такие как пирокластический поток от извержения вулкана , или как непрерывно поступающие из источника, такие как теплый воздух, выходящий из открытой двери дома зимой. [1] Другие примеры включают пыльные бури , мутные потоки , лавины , сброс сточных вод или промышленных процессов в реки или сброс рек в океан. [2] [3]
Гравитационные течения обычно намного длиннее, чем они высокие. Потоки, которые в основном вертикальны, известны как струи . В результате можно показать (используя размерный анализ ), что вертикальные скорости, как правило, намного меньше горизонтальных скоростей в течении; распределение давления, таким образом, приблизительно гидростатическое , за исключением вблизи передней кромки. Гравитационные течения можно моделировать с помощью уравнений мелкой воды , со специальным разрешением для передней кромки, которая ведет себя как разрыв. [1] Когда гравитационное течение распространяется вдоль плоскости нейтральной плавучести в стратифицированной окружающей жидкости, это известно как вторжение гравитационного течения .
Хотя гравитационные течения представляют собой поток жидкости одной плотности над/под другой, обсуждение обычно сосредоточено на жидкости, которая распространяется. Гравитационные течения могут возникать либо из конечных объемных потоков, либо из непрерывных потоков. В последнем случае жидкость в голове постоянно заменяется, и гравитационный поток, следовательно, может распространяться, в теории, вечно. Распространение непрерывного потока можно рассматривать как то же самое, что и распространение хвоста (или тела) очень длинного конечного объема. Гравитационные потоки описываются как состоящие из двух частей, головы и хвоста. Голова, которая является передним краем гравитационного течения, представляет собой область, в которой вытесняются относительно большие объемы окружающей жидкости . Хвост представляет собой основную часть потока, которая следует за головой. Характеристики потока можно охарактеризовать числами Фруда и Рейнольдса , которые представляют собой отношение скорости потока к гравитации (плавучести) и вязкости соответственно. [3]
Распространение головы обычно происходит в три фазы. На первой фазе распространение гравитационного течения является турбулентным. Поток демонстрирует вздымающиеся узоры, известные как неустойчивости Кельвина-Гельмгольца , которые образуются в результате распространения головы и поглощают окружающую жидкость в хвост: процесс, называемый «увлечением». Прямое смешивание также происходит в передней части головы через доли и щелевые структуры, которые образуются на поверхности головы. Согласно одной парадигме, передний край гравитационного течения «контролирует» поток позади него: он обеспечивает граничное условие для потока. На этой фазе скорость распространения течения приблизительно постоянна со временем. Для многих интересующих потоков передний край движется с числом Фруда около 1; оценки точного значения варьируются от примерно 0,7 до 1,4. [4] По мере того, как движущая жидкость истощается в результате распространения тока в окружающую среду, движущий напор уменьшается до тех пор, пока поток не станет ламинарным. В этой фазе происходит лишь очень слабое перемешивание, и вздымающаяся структура потока исчезает. Начиная с этой фазы скорость распространения со временем уменьшается, и ток постепенно замедляется. Наконец, по мере того, как ток распространяется еще дальше, он становится настолько тонким, что вязкие силы между вторгающейся жидкостью и окружающей средой и границами управляют потоком. В этой фазе перемешивание больше не происходит, и скорость распространения замедляется еще больше. [4] [5]
Распространение гравитационного течения зависит от граничных условий, и обычно различают два случая в зависимости от того, имеет ли начальный выброс ту же ширину, что и окружающая среда, или нет. В случае, когда ширины одинаковы, получается то, что обычно называют потоком «шлюз-обмен» или «коридорным». Это относится к потоку, распространяющемуся вдоль стенок с обеих сторон и фактически сохраняющему постоянную ширину при распространении. В этом случае поток фактически двумерен. Эксперименты по изменению этого потока проводились с потоками шлюз-обмен, распространяющимися в сужающихся/расширяющихся средах. Фактически, сужающаяся среда приведет к увеличению глубины напора по мере продвижения течения и, таким образом, к увеличению скорости его распространения со временем, в то время как в расширяющейся среде будет происходить обратное. В другом случае поток распространяется радиально от источника, образуя «осесимметричный» поток. Угол распространения зависит от условий выброса. В случае точечного выброса, чрезвычайно редкого явления в природе, распространение является идеально осесимметричным, во всех остальных случаях течение будет образовывать сектор.
Когда гравитационное течение сталкивается с твердой границей, оно может либо преодолеть границу, обтекая ее или перетекая через нее, либо отразиться от нее. Фактический результат столкновения зависит в первую очередь от высоты и ширины препятствия. Если препятствие мелкое, (часть) гравитационного течения преодолеет препятствие, перетекая через него. Аналогично, если ширина препятствия мала, гравитационное течение будет обтекать его, как река обтекает валун. Если препятствие невозможно преодолеть, при условии, что распространение находится в турбулентной фазе, гравитационное течение сначала будет вертикально подниматься (или опускаться в зависимости от контраста плотности) вдоль препятствия, процесс, известный как «выплескивание». Выплескивание вызывает сильное смешивание между окружающей средой и течением, и это образует накопление более легкой жидкости напротив препятствия. По мере того, как все больше и больше жидкости накапливается напротив препятствия, она начинает распространяться в противоположном направлении первоначальному течению, фактически приводя к возникновению второго гравитационного течения, текущего поверх первоначального гравитационного течения. Этот процесс отражения является общей чертой потоков в дверном проеме (см. ниже), где гравитационный поток втекает в пространство конечного размера. В этом случае поток многократно сталкивается с торцевыми стенками пространства, вызывая серию токов, перемещающихся вперед и назад между противоположными стенками. Этот процесс был подробно описан Лэйном-Серффом. [6]
Первое математическое исследование распространения гравитационных течений можно приписать TB Benjamin. [7] Наблюдения вторжений и столкновений между жидкостями различной плотности были сделаны задолго до исследования TB Benjamin, см., например, работы Ellison и Tuner, [8] MB Abbot [9] или DIH Barr. [10] JE Simpson с кафедры прикладной математики и теоретической физики Кембриджского университета в Великобритании провел многолетние исследования гравитационных течений и опубликовал множество статей по этой теме. Он опубликовал статью [11] в 1982 году для Annual Review of Fluid Mechanics , в которой суммируется состояние исследований в области гравитационных течений в то время. Симпсон также опубликовал более подробную книгу по этой теме. [12]
Гравитационные течения способны переносить материал на большие горизонтальные расстояния. Например, мутные течения на морском дне могут переносить материал на тысячи километров. Гравитационные течения встречаются в природе в различных масштабах. Примерами служат лавины , хаббубы , мутные течения на морском дне , [13] лахары , пирокластические потоки и потоки лавы . Существуют также гравитационные течения с большими изменениями плотности — так называемые сжимаемые потоки с низким числом Маха . Примером такого гравитационного течения является дисперсия тяжелого газа в атмосфере с начальным отношением плотности газа к плотности атмосферы примерно от 1,5 до 5.
Гравитационные потоки часто встречаются в застроенной среде в виде потоков в дверных проемах. Они возникают, когда дверь (или окно) разделяет две комнаты с разной температурой и допускается воздухообмен. Это можно, например, испытать, сидя в отапливаемом вестибюле зимой, когда входная дверь внезапно открывается. В этом случае холодный воздух сначала будет ощущаться ногами в результате распространения наружного воздуха в виде гравитационного потока вдоль пола комнаты. Потоки в дверных проемах представляют интерес в области естественной вентиляции и кондиционирования воздуха/охлаждения и были тщательно исследованы. [14] [15] [16]
Для гравитационного течения конечного объема, возможно, самый простой подход к моделированию — это модель ящика, где для представления течения используется «ящик» (прямоугольник для 2D-задач, цилиндр для 3D). Ящик не вращается и не сдвигается, но меняет соотношение сторон (т. е. растягивается) по мере продвижения потока. Здесь динамика задачи значительно упрощается (т. е. силы, управляющие потоком, не рассматриваются напрямую, а только их эффекты) и обычно сводится к условию, определяющему движение фронта через число Фруда и уравнение, устанавливающее глобальное сохранение массы, т. е. для 2D-задачи
где Fr — число Фруда, u f — скорость на фронте, g ′ — приведенная гравитация , h — высота ящика, l — длина ящика, а Q — объем на единицу ширины. Модель не является хорошим приближением на ранней стадии спада гравитационного течения, где h вдоль течения совсем не является постоянным, или на конечной вязкой стадии гравитационного течения, где трение становится важным и изменяет Fr. Модель хороша на стадии между ними, где число Фруда на фронте постоянно, а форма течения имеет почти постоянную высоту.
Дополнительные уравнения могут быть указаны для процессов, которые изменят плотность вторгающейся жидкости, например, через седиментацию. Фронтальное состояние (число Фруда) обычно не может быть определено аналитически, но может быть найдено из эксперимента или наблюдения за природными явлениями. Число Фруда не обязательно является константой и может зависеть от высоты потока, когда она сопоставима с глубиной вышележащей жидкости.
Решение этой проблемы находится, если заметить, что u f = дл/дт и интегрируя для начальной длины, l 0 . В случае постоянного объема Q и числа Фруда Fr это приводит к