Плотность носителей заряда

Носители заряда на единицу объема; такие как электроны, ионы, «дырки» и т. д.

Плотность носителей заряда , также известная как концентрация носителей , обозначает количество носителей заряда на единицу объема . В единицах СИ она измеряется в м ⁻³ . Как и любая плотность , в принципе она может зависеть от положения. Однако обычно концентрация носителей задается как одно число и представляет собой среднюю плотность носителей по всему материалу.

Плотности носителей заряда включают уравнения, касающиеся электропроводности , связанных с ней явлений, таких как теплопроводность , и химических связей, таких как ковалентная связь .

Расчет

Плотность носителей обычно получается теоретически путем интегрирования плотности состояний по диапазону энергий носителей заряда в материале (например, интегрирование по зоне проводимости для электронов, интегрирование по валентной зоне для дырок).

Если общее число носителей заряда известно, то плотность носителей можно найти, просто разделив ее на объем. Чтобы показать это математически, плотность носителей заряда — это плотность частиц , поэтому ее интегрирование по объему дает число носителей заряда в этом объеме, где — плотность носителей заряда, зависящая от положения. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle N=\int _{V}n(\mathbf {r} )\,dV.}$$ ${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$

Если плотность не зависит от положения и равна константе, это уравнение упрощается до ${\displaystyle n_{0}}$ $${\displaystyle N=V\cdot n_{0}.}$$

Полупроводники

Плотность носителей важна для полупроводников , где она является важной величиной для процесса химического легирования . Используя зонную теорию , электронная плотность — это число электронов на единицу объема в зоне проводимости. Для дырок — это число дырок на единицу объема в валентной зоне. Чтобы вычислить это число для электронов, мы начинаем с идеи, что общая плотность электронов зоны проводимости, , — это просто сложение плотности электронов проводимости по различным энергиям в зоне, от дна зоны до верха зоны . ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle E_{c}}$ ${\displaystyle E_{\text{top}}}$

$${\displaystyle n_{0}=\int _{E_{c}}^{E_{\text{top}}}N(E)\,dE}$$

Поскольку электроны являются фермионами , плотность электронов проводимости при любой конкретной энергии является произведением плотности состояний , или количества возможных состояний проводимости, на распределение Ферми-Дирака , которое сообщает нам долю этих состояний, которые фактически будут содержать электроны. ${\displaystyle N(E)}$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle f(E)}$ $${\displaystyle N(E)=g(E)f(E)}$$

Для упрощения расчета вместо того, чтобы рассматривать электроны как фермионы, согласно распределению Ферми–Дирака, мы рассматриваем их как классический невзаимодействующий газ, который задается распределением Максвелла–Больцмана . Это приближение имеет пренебрежимо малые эффекты, когда величина , что справедливо для полупроводников вблизи комнатной температуры. Это приближение недействительно при очень низких температурах или чрезвычайно малой ширине запрещенной зоны. ${\displaystyle |E-E_{f}|\gg k_{\text{B}}T}$

$${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}\approx e^{-{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}$$

Трехмерная плотность состояний равна: $${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}}$$

После объединения и упрощения эти выражения приводят к следующему:

$${\displaystyle n_{0}=2\left({\frac {m^{*}k_{\text{B}}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {E_{c}-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}$$

Вот эффективная масса электронов в этом конкретном полупроводнике, а величина представляет собой разницу в энергии между зоной проводимости и уровнем Ферми , которая составляет половину ширины запрещенной зоны : ${\displaystyle m^{*}}$ ${\displaystyle E_{c}-E_{f}}$ ${\displaystyle E_{g}}$

$${\displaystyle E_{g}=2(E_{c}-E_{f})}$$

Аналогичное выражение можно вывести для дырок. Концентрацию носителей можно рассчитать, рассматривая электроны, движущиеся вперед и назад через запрещенную зону , как равновесие обратимой реакции из химии, что приводит к закону действия масс электронов . Закон действия масс определяет величину, называемую собственной концентрацией носителей, которая для нелегированных материалов: ${\displaystyle n_{i}}$

$${\displaystyle n_{i}=n_{0}=p_{0}}$$

В следующей таблице приведены несколько значений собственной концентрации носителей заряда для собственных полупроводников в порядке увеличения ширины запрещенной зоны.

Эти концентрации носителей изменятся, если эти материалы легированы. Например, легирование чистого кремния небольшим количеством фосфора увеличит плотность носителей электронов, n . Тогда, поскольку n > p , легированный кремний будет примесным полупроводником n-типа . Легирование чистого кремния небольшим количеством бора увеличит плотность носителей дырок, поэтому p > n , и он будет примесным полупроводником p-типа.

Металлы

Плотность носителей также применима к металлам , где ее можно оценить с помощью простой модели Друде . В этом случае плотность носителей (в этом контексте также называемая плотностью свободных электронов) можно оценить по формуле: ^[5]

$${\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{m}}{m_{a}}}}$$

Где — постоянная Авогадро , Z — число валентных электронов , — плотность материала, — атомная масса . Поскольку металлы могут проявлять несколько степеней окисления , точное определение того, сколько «валентных электронов» должен иметь элемент в элементарной форме, несколько произвольно, но в следующей таблице перечислены плотности свободных электронов, приведенные в работе Эшкрофта и Мермина , которые были рассчитаны с использованием приведенной выше формулы на основе разумных предположений о валентности, и с массовыми плотностями, рассчитанными из экспериментальных данных кристаллографии . ^[5] ${\displaystyle N_{\text{A}}}$ ${\displaystyle \rho _{m}}$ ${\displaystyle m_{a}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \rho _{m}}$

Значения n среди металлов, полученные, например, с помощью эффекта Холла , часто имеют одинаковый порядок величины, но эта простая модель не может предсказать плотность носителей с очень высокой точностью.

Измерение

Плотность носителей заряда во многих случаях можно определить с помощью эффекта Холла ^[6] , напряжение которого обратно пропорционально плотности носителей.

Ссылки

1. O. Madelung, U. Rössler, M. Schulz (2002). "Германий (Ge), собственная концентрация носителей". Элементы IV группы, соединения IV-IV и III-V. Часть b – Электронные, транспортные, оптические и другие свойства . Ландольт-Бёрнштейн – Конденсированное вещество III группы. стр. 1–3. doi :10.1007/10832182_503. ISBN 978-3-540-42876-3.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
2. Пьетро П. Альтерматт, Андреас Шенк, Франк Гилхаар, Гернот Хейзер (2003). «Переоценка собственной плотности носителей заряда в кристаллическом кремнии с учетом сужения запрещенной зоны». Журнал прикладной физики . 93 (3): 1598. Bibcode : 2003JAP....93.1598A. doi : 10.1063/1.1529297.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
3. Рёсслер, У. (2002). "Арсенид галлия (GaAs), собственная концентрация носителей, электро- и теплопроводность". Элементы IV группы, соединения IV-IV и III-V. Часть b – Электронные, транспортные, оптические и другие свойства . Ландольт-Бёрнштейн – Конденсированное вещество III группы. стр. 1–8. doi :10.1007/10832182_196. ISBN 978-3-540-42876-3.
4. Гачовска, Таня К.; Хадгинс, Джерри Л. (2018). "SiC и GaN силовые полупроводниковые приборы". Справочник по силовой электронике . Elsevier. стр. 98. doi :10.1016/b978-0-12-811407-0.00005-2. ISBN 9780128114070.
5. Эшкрофт, Мермин. Физика твердого тела . С. 4–5.
6. Эдвин Холл (1879). «О новом действии магнита на электрические токи». American Journal of Mathematics . 2 (3): 287–92. doi :10.2307/2369245. JSTOR  2369245. S2CID  107500183. Архивировано из оригинала 27 июля 2011 г.