Плотность носителей заряда

Носители заряда за объем; такие как электроны, ионы, «дырки» или другие

Плотность носителей заряда , также известная как концентрация носителей заряда , обозначает количество носителей заряда в объёме . В единицах СИ он измеряется в м ^-3 . Как и любая плотность , в принципе она может зависеть от положения. Однако обычно концентрация носителей выражается одним числом и представляет собой среднюю плотность носителей по всему материалу.

Плотность носителей заряда включает уравнения, касающиеся электропроводности , связанных с ней явлений, таких как теплопроводность , и химических связей, таких как ковалентная связь .

Расчет

Плотность носителей обычно получается теоретически путем интегрирования плотности состояний по энергетическому диапазону носителей заряда в материале (например, интегрирование по зоне проводимости для электронов, интегрирование по валентной зоне для дырок).

Если известно общее количество носителей заряда, плотность носителей можно найти простым делением на объем. Чтобы показать это математически, плотность носителей заряда — это плотность частиц , поэтому интегрирование ее по объему дает количество носителей заряда в этом объеме. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle N=\int _{V}n(\mathbf {r} )\,dV.}$$

${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$

Если плотность не зависит от положения и вместо этого равна константе, это уравнение упрощается до ${\displaystyle n_{0}}$

$${\displaystyle N=V\cdot n_{0}.}$$

Полупроводники

Плотность носителей важна для полупроводников , где она является важной величиной для процесса химического легирования . Используя зонную теорию , электронная плотность — это количество электронов в единице объема в зоне проводимости. Для дырок – это количество дырок в единице объема валентной зоны. Чтобы вычислить это число для электронов, мы начинаем с идеи, что общая плотность электронов зоны проводимости просто складывает плотность электронов проводимости для разных энергий в зоне, от нижней части зоны до верха. группа . ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle E_{c}}$ ${\displaystyle E_{\text{top}}}$

$${\displaystyle n_{0}=\int _{E_{c}}^{E_{\text{top}}}N(E)\,dE}$$

Поскольку электроны являются фермионами , плотность электронов проводимости при любой конкретной энергии является произведением плотности состояний или количества возможных проводящих состояний на распределение Ферми-Дирака , которое сообщает нам долю тех состояний, которые фактически будут в них есть электроны ${\displaystyle N(E)}$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle f(E)}$

$${\displaystyle N(E)=g(E)f(E)}$$

Чтобы упростить расчет, вместо того, чтобы рассматривать электроны как фермионы в соответствии с распределением Ферми-Дирака, мы вместо этого рассматриваем их как классический невзаимодействующий газ, который задается распределением Максвелла -Больцмана . Это приближение оказывает незначительное влияние при величине , что справедливо для полупроводников при температуре, близкой к комнатной. Это приближение недействительно при очень низких температурах или чрезвычайно малой запрещенной зоне. ${\displaystyle |E-E_{f}|\gg k_{\text{B}}T}$

$${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}\approx e^{-{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}$$

Трехмерная плотность состояний равна:

$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}}$$

После объединения и упрощения эти выражения приводят к:

$${\displaystyle n_{0}=2\left({\frac {m^{*}k_{\text{B}}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {E_{c}-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}$$

Вот эффективная масса электронов в этом конкретном полупроводнике, а величина представляет собой разность энергий между зоной проводимости и уровнем Ферми , который составляет половину запрещенной зоны : ${\displaystyle m^{*}}$ ${\displaystyle E_{c}-E_{f}}$ ${\displaystyle E_{g}}$

$${\displaystyle E_{g}=2(E_{c}-E_{f})}$$

Аналогичное выражение можно получить и для дырок. Концентрацию носителей можно рассчитать, рассматривая движение электронов вперед и назад через запрещенную зону , как равновесие обратимой химической реакции , что приводит к закону действия электронных масс . Закон действия масс определяет величину , называемую собственной концентрацией носителей заряда, которая для нелегированных материалов: ${\displaystyle n_{i}}$

$${\displaystyle n_{i}=n_{0}=p_{0}}$$

В следующей таблице перечислены несколько значений концентрации собственных носителей тока для собственных полупроводников в порядке увеличения запрещенной зоны.

Эти концентрации носителей будут меняться, если эти материалы будут легированы. Например, легирование чистого кремния небольшим количеством фосфора увеличит плотность носителей электронов n . Тогда, поскольку n > p , легированный кремний будет примесным полупроводником n-типа . Легирование чистого кремния небольшим количеством бора увеличит плотность носителей дырок, поэтому тогда p > n , и это будет внешний полупроводник p-типа.

Металлы

Плотность носителей применима и к металлам , где ее можно оценить с помощью простой модели Друде . В этом случае плотность носителей (в данном контексте также называемая плотностью свободных электронов) можно оценить по формуле: ^[5]

$${\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{m}}{m_{a}}}}$$

Где – постоянная Авогадро , Z – количество валентных электронов , – плотность материала, – атомная масса . Поскольку металлы могут иметь несколько степеней окисления , точное определение того, сколько «валентных электронов» должен иметь элемент в элементарной форме, является несколько произвольным, но в следующей таблице перечислены плотности свободных электронов, данные Эшкрофтом и Мермином , которые были рассчитаны по формуле выше, на основе разумных предположений о валентности, и с массовыми плотностями, рассчитанными по данным экспериментальной кристаллографии . ^[5] ${\displaystyle N_{\text{A}}}$ ${\displaystyle \rho _{m}}$ ${\displaystyle m_{a}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \rho _{m}}$

Значения n среди металлов, полученные, например, с помощью эффекта Холла , часто имеют один и тот же порядок величины, но эта простая модель не может предсказать плотность носителей с очень высокой точностью.

Измерение

Плотность носителей заряда во многих случаях можно определить с помощью эффекта Холла , ^[6] напряжение которого обратно пропорционально плотности носителей заряда.

Рекомендации

1. О. Маделунг, У. Рёсслер, М. Шульц (2002). «Германий (Ge), собственная концентрация носителей». Элементы IV группы, соединения IV-IV и III-V. Часть б – Электронные, транспортные, оптические и другие свойства . Ландольт-Бёрнштейн - Конденсированные вещества III группы. стр. 1–3. дои : 10.1007/10832182_503. ISBN 978-3-540-42876-3.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
2. Пьетро П. Альтерматт, Андреас Шенк, Франк Геелхаар, Гернот Хейзер (2003). «Переоценка собственной плотности носителей заряда в кристаллическом кремнии с учетом сужения запрещенной зоны». Журнал прикладной физики . 93 (3): 1598. Бибкод : 2003JAP....93.1598A. дои : 10.1063/1.1529297.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
3. Рёсслер, У. (2002). «Арсенид галлия (GaAs), собственная концентрация носителей, электро- и теплопроводность». Элементы IV группы, соединения IV-IV и III-V. Часть б – Электронные, транспортные, оптические и другие свойства . Ландольт-Бёрнштейн - Конденсированные вещества III группы. стр. 1–8. дои : 10.1007/10832182_196. ISBN 978-3-540-42876-3.
4. Гачовска, Таня К.; Хаджинс, Джерри Л. (2018). «Силовые полупроводниковые устройства SiC и GaN». Справочник по силовой электронике . Эльзевир. п. 98. дои : 10.1016/b978-0-12-811407-0.00005-2. ISBN 9780128114070.
5. Эшкрофт, Мермин. Физика твердого тела . стр. 4–5.
6. Эдвин Холл (1879). «О новом действии магнита на электрический ток». Американский журнал математики . 2 (3): 287–92. дои : 10.2307/2369245. JSTOR  2369245. S2CID  107500183. Архивировано из оригинала 27 июля 2011 года . Проверено 28 февраля 2008 г.