Плотный сам по себе

Топологическое подмножество без изолированной точки

В общей топологии подмножество топологического пространства называется плотным в себе ^{[1] [2]} или переполненным ^{[3] [4],} если не имеет изолированной точки . Эквивалентно, является плотным в себе, если каждая точка является предельной точкой . Таким образом , является плотным в себе тогда и только тогда , когда , где — производное множество . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq A'}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$

Плотное в себе замкнутое множество называется совершенным множеством . (Другими словами, совершенное множество — это замкнутое множество без изолированной точки.)

Понятие плотного множества отличается от плотного-в-себе . Иногда это может сбивать с толку, так как « X плотно в X » (всегда верно) не то же самое, что « X плотно в себе» (нет изолированной точки).

Примеры

Простым примером множества, которое плотно само по себе, но не замкнуто (и, следовательно, не является совершенным множеством), является множество иррациональных чисел (рассматриваемое как подмножество действительных чисел ). Это множество плотно само по себе, поскольку каждая окрестность иррационального числа содержит по крайней мере одно другое иррациональное число . С другой стороны, множество иррациональных чисел не замкнуто, поскольку каждое рациональное число лежит в его замыкании . Аналогично, множество рациональных чисел также плотно само по себе, но не замкнуто в пространстве действительных чисел. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\neq x}$

Приведенные выше примеры, иррациональные и рациональные числа, также являются плотными множествами в своем топологическом пространстве, а именно . В качестве примера, который является плотным в себе, но не плотным в своем топологическом пространстве, рассмотрим . Это множество не является плотным в , но является плотным в себе. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Характеристики

Одноэлементное подмножество пространства никогда не может быть плотным в себе , поскольку его единственная точка изолирована в нем. ${\displaystyle X}$

Плотные в себе подмножества любого пространства замкнуты относительно объединений . ^[5] В плотном в себе пространстве они включают все открытые множества . ^[6] В плотном в себе пространстве T 1 они включают все плотные множества . ^[7] Однако пространства, не являющиеся T _1, могут иметь плотные подмножества, которые не являются плотными в себе: например, в плотном в себе пространстве с индискретной топологией множество является плотным, но не является плотным в себе. ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ ${\displaystyle A=\{a\}}$

Замыкание любого плотного в себе множества является совершенным множеством . ^[8]

В общем случае пересечение двух плотных в себе множеств не является плотным в себе. Но пересечение плотного в себе множества и открытого множества является плотным в себе.

Смотрите также

• Нигде плотный набор
• Глоссарий топологии
• Плотный порядок

Примечания

1. Стин и Зеебах, стр. 6
2. Энгелькинг, стр. 25
3. Леви, Ронни; Портер, Джек (1996). «О двух вопросах Архангельского и Коллинза относительно субмаксимальных пространств» (PDF) . Топологические труды . 21 : 143–154.
4. Дончев, Джулиан; Ганстер, Максимилиан; Роуз, Дэвид (1977). «α-Рассеянные пространства II».
5. Энгелькинг, 1.7.10, стр. 59
6. Куратовский, стр. 78
7. Куратовский, стр. 78
8. Куратовский, стр. 77

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Куратовский, К. (1966). Топология, т. I. Academic Press. ISBN 012429202X.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1978). Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.

В данной статье использованы материалы из Dense in-itself на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .