Закон Брэгга

Во многих областях науки закон Брэгга , условие Вульфа -Брэгга или интерференция Лауэ-Брэгга являются частным случаем дифракции Лауэ , определяя углы когерентного рассеяния волн на большой кристаллической решетке. Он описывает, как суперпозиция волновых фронтов, рассеянных плоскостями решетки, приводит к строгой зависимости между длиной волны и углом рассеяния. Этот закон изначально был сформулирован для рентгеновских лучей, но он также применим ко всем типам волн материи, включая нейтронные и электронные волны, если имеется большое количество атомов, а также к видимому свету с искусственными периодическими микромасштабными решетками.

История

Дифракция Брэгга (также называемая брэгговской формулировкой дифракции рентгеновских лучей ) была впервые предложена Лоуренсом Брэггом и его отцом, Уильямом Генри Брэггом , в 1913 году ^[1] после того, как они открыли, что кристаллические твердые тела производят удивительные картины отраженных рентгеновских лучей ( в отличие от тех, которые производятся, например, с жидкостью). Они обнаружили, что эти кристаллы при определенных длинах волн и углах падения производят интенсивные пики отраженного излучения.

Лоуренс Брэгг объяснил этот результат, смоделировав кристалл как набор дискретных параллельных плоскостей, разделенных постоянным параметром $d$ . Он предположил, что падающее рентгеновское излучение будет создавать пик Брэгга, если отражения от различных плоскостей будут конструктивно интерферировать. Интерференция является конструктивной $,$ когда разность фаз волны, отраженной от разных атомных плоскостей, кратна $2π$ ; это условие (см. раздел «Условия Брэгга» ниже) было впервые представлено Лоуренсом Брэггом 11 ноября 1912 года Кембриджскому философскому обществу . ^[2] Несмотря на свою простоту, закон Брэгга подтвердил существование реальных частиц на атомном уровне, а также предоставил новый мощный инструмент для изучения кристаллов . Лоуренс Брэгг и его отец Уильям Генри Брэгг были удостоены Нобелевской премии по физике в 1915 году за работу по определению кристаллических структур, начиная с NaCl , ZnS и алмаза . ^[3] Это единственная команда отца и сына, которая выиграла вместе.

Понятие брэгговской дифракции применимо в равной степени к дифракции нейтронов ^[4] и приблизительно к дифракции электронов . ^[5] В обоих случаях длины волн сравнимы с межатомными расстояниями (~ 150 пм). Также было показано, что многие другие типы материальных волн дифрагируют, ^[6]^[7] , а также свет от объектов с более крупной упорядоченной структурой, таких как опалы . ^[8]

Условие Брэгга

Дифракция Брэгга возникает, когда излучение с длиной волны $λ, сравнимой с расстоянием между атомами,$ зеркально рассеивается (зеркальное отражение) плоскостями атомов в кристаллическом материале и подвергается конструктивной интерференции. ^[10] Когда рассеянные волны падают под определенным углом, они остаются в фазе и конструктивно интерферируют . Угол скольжения $θ$ (см. рисунок справа и обратите внимание, что он отличается от соглашения в законе Снелла , где $θ$ измеряется от нормали к поверхности), длина волны $λ$ и «постоянная решётки» $d$ кристалла связаны отношение: ^[11]^{: 1026}

n\lambda =2d\sin \theta

порядок дифракции^[10]^{: 221}^[11]^{: 1028}θ . ^[12]

п

n=1

n=2

n=3

Карта интенсивностей рассеянных волн в зависимости от их угла называется дифракционной картиной. Сильные интенсивности, известные как пики Брэгга, получаются на дифракционной картине, когда углы рассеяния удовлетворяют условию Брэгга. Это частный случай более общих уравнений Лауэ , и можно показать, что уравнения Лауэ сводятся к условию Брэгга с дополнительными предположениями. ^[13]

Эвристический вывод

Предположим, что плоская волна (любого типа) падает на плоскости узлов решетки с расстоянием между ними под углом, показанным на рисунке. Точки А и С лежат в одной плоскости, а В — в плоскости ниже. Точки ABCC' образуют четырехугольник . $d$ ${\ displaystyle \ theta }$

Будет разница в пути между лучом , который отражается вдоль AC', и лучом, который проходит вдоль AB , а затем отражается вдоль BC . Эта разница в пути

(AB+BC)-\влево(AC'\вправо)\,.

Две отдельные волны придут в точку (бесконечно далекую от этих плоскостей решетки) с одинаковой фазой и, следовательно, подвергнутся конструктивной интерференции , если и только если эта разность хода равна любому целому значению длины волны , т.е.

n\lambda =(AB+BC)-\left(AC'\right)

где и – целое число и длина волны падающей волны соответственно. $п$ $\lambda$

Следовательно, из геометрии

AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}{\text{ и }}AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,,

из чего следует, что

AC'=AC\cdot \cos \theta = {\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta = {\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta \,.

Собрав все вместе,

n\lambda = {\frac {2d}{\sin \theta }} - {\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta = {\frac {2d}{ \sin \theta }}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta

что упрощает закон Брэгга, показанный выше. $n\lambda =2d\sin \theta \,,$

Если бы дифрагировали только две плоскости атомов, как показано на рисунке, то переход от конструктивной интерференции к деструктивной был бы постепенным в зависимости от угла, с пологими максимумами при углах Брэгга. Однако, поскольку в большинстве реальных материалов участвует множество атомных плоскостей, типичны острые пики. ^[5]^[13]

Доступен строгий вывод из более общих уравнений Лауэ (см. страницу: Уравнения Лауэ ).

За пределами закона Брэгга

Типичная картина электронной дифракции выбранной области. Каждое пятно соответствует разному направлению дифракции.

Условие Брэгга справедливо для очень больших кристаллов. Поскольку рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов относительно слабое, во многих случаях используются довольно крупные кристаллы размером 100 нм и более. Хотя могут быть дополнительные эффекты из-за дефектов кристалла , они часто весьма малы. Напротив, электроны взаимодействуют с твердыми телами в тысячи раз сильнее, чем рентгеновские лучи, ^[5] и также теряют энергию ( неупругое рассеяние ). ^[14] Поэтому образцы, используемые в дифракции электронов на просвечивание, намного тоньше. Типичные дифракционные картины, например рисунок, показывают пятна разных направлений ( плоские волны ) электронов, покидающих кристалл. Углы, предсказываемые законом Брэгга, все еще примерно прямые, но в целом существует решетка пятен, близкая к проекциям обратной решетки , расположенная под прямым углом к направлению электронного луча. (Напротив, закон Брэгга предсказывает, что будет присутствовать только один или, возможно, два, а не десятки или сотни одновременно.) При дифракции низкоэнергетических электронов , где энергия электронов обычно составляет 30-1000 электрон-вольт , результат аналогичен отражению электронов. назад от поверхности. ^[15] Аналогичным образом обстоит дело и с дифракцией быстрых электронов при отражении , которая обычно приводит к образованию колец дифракционных пятен. ^[16]

В рентгеновских лучах эффект наличия мелких кристаллов описывается уравнением Шеррера . ^[13]^[17]^[18] Это приводит к уширению пиков Брэгга, что можно использовать для оценки размера кристаллов.

Брэгговское рассеяние видимого света коллоидами.

Коллоидный кристалл представляет собой высокоупорядоченный массив частиц, образующийся на большом расстоянии (от нескольких миллиметров до одного сантиметра в длину); Коллоидные кристаллы имеют внешний вид и свойства, примерно аналогичные своим атомным или молекулярным аналогам. ^[8] Уже много лет известно, что из-за отталкивающих кулоновских взаимодействий электрически заряженные макромолекулы в водной среде могут проявлять дальнодействующие кристаллоподобные корреляции, причем расстояния между частицами часто значительно превышают диаметр отдельной частицы. Периодические массивы сферических частиц создают межузельные пустоты (пространства между частицами), которые действуют как естественная дифракционная решетка для видимых световых волн , когда межузельное расстояние имеет тот же порядок величины , что и падающая световая волна. ^[19]^[20]^[21] В этих случаях блестящая переливчатость (или игра цветов) объясняется дифракцией и конструктивной интерференцией видимых световых волн в соответствии с законом Брэгга, что аналогично рассеянию рентгеновских лучей в кристаллическом твердом теле. . Эффекты происходят в видимых длинах волн, поскольку межплоскостное расстояние $d$ намного больше, чем в настоящих кристаллах. Драгоценный опал — один из примеров коллоидного кристалла с оптическими эффектами.

Объемные решетки Брэгга

Объемные брэгговские решетки (ВБГ) или объемные голографические решетки (ВГР) состоят из объема, в котором происходит периодическое изменение показателя преломления . В зависимости от ориентации модуляции показателя преломления VBG может использоваться либо для передачи , либо для отражения небольшой полосы длин волн . ^[22] Закон Брэгга (адаптированный для объемной голограммы) определяет, какая длина волны будет дифрагировать: ^[23]

2\Lambda \sin(\theta +\varphi)=m\lambda _{B}\,,

где $m$ — порядок Брэгга (положительное целое число), $λ B —$ дифрагированная длина волны , Λ — расстояние между полосами решетки, $θ —$ угол между падающим лучом и нормалью ( $N$ ) входной поверхности и $φ —$ угол между нормалью и вектор решетки ( $K G$ ). Излучение, не подчиняющееся закону Брэгга, пройдет через ВБГ без дифрагии. Выходную длину волны можно настроить на несколько сотен нанометров, изменяя угол падения ( $θ$ ). VBG используются для создания широко настраиваемых лазерных источников или для создания глобальных гиперспектральных изображений (см. «Фотон» и т. д. ). ^[23]

Правила отбора и практическая кристаллография

Измерение углов можно использовать для определения кристаллической структуры; более подробную информацию см. в рентгеновской кристаллографии . ^[5]^[13] В качестве простого примера можно использовать закон Брэгга, как указано выше, для получения шага решетки конкретной кубической системы с помощью следующего соотношения:

d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}\,,

где — период решетки кубического кристалла , а $h$ , $k$ и $ℓ$ — индексы Миллера плоскости Брэгга. Объединение этого соотношения с законом Брэгга дает: $а$

\left({\frac {\lambda }{2a}}\right)^{2} =\left({\frac {\lambda }{2d}}\right)^{2}{\frac { 1}{h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}

Можно вывести правила выбора индексов Миллера для различных кубических решеток Браве , а также для многих других, некоторые из правил выбора приведены в таблице ниже.

Эти правила отбора можно использовать для любого кристалла с заданной кристаллической структурой. KCl имеет гранецентрированную кубическую решетку Браве . Однако ион K ⁺ и Cl- имеют одинаковое число электронов и достаточно близки по размерам, так что картина дифракции становится практически такой же, как и для простой кубической структуры с половиной параметра решетки ^. На правила выбора для других структур можно ссылаться в другом месте или на их основе . Шаг решеток для других кристаллических систем можно найти здесь .

Смотрите также

дальнейшее чтение

Нил В. Эшкрофт и Н. Дэвид Мермин, Физика твердого тела (Harcourt: Орландо, 1976).
Брэгг В. (1913). «Дифракция коротких электромагнитных волн на кристалле». Труды Кембриджского философского общества . 17 : 43–57.

Внешние ссылки

Нобелевская премия по физике – 1915 г.
https://web.archive.org/web/20110608141639/http://www.physicals.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf
Изучение кристаллографии