В математике алгебраическая поверхность — это алгебраическое многообразие размерности два . В случае геометрии над полем комплексных чисел алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два (как комплексное многообразие , когда оно невырождено ) и, следовательно, размерность четыре как гладкое многообразие .
Теория алгебраических поверхностей гораздо сложнее теории алгебраических кривых (включая компактные римановы поверхности , которые являются настоящими поверхностями (действительной) размерности два). Многие результаты были получены, но в итальянской школе алгебраической геометрии , и им около 100 лет.
В случае размерности один многообразия классифицируются только по топологическому роду , но в размерности два необходимо различать арифметический род и геометрический род , поскольку невозможно бирационально различать только топологический род. Затем вводится нерегулярность для классификации многообразий. Ниже приводится сводка результатов (подробно, для каждого вида поверхности, относящейся к каждому перенаправлению):
Примерами алгебраических поверхностей являются (κ — размерность Кодаиры ):
Дополнительные примеры см. в списке алгебраических поверхностей .
Первые пять примеров фактически бирационально эквивалентны . То есть, например, кубическая поверхность имеет функциональное поле , изоморфное полю проективной плоскости , являясь рациональными функциями от двух неизвестных. Декартово произведение двух кривых также дает примеры.
Бирациональная геометрия алгебраических поверхностей богата благодаря раздутию (также известному как моноидальное преобразование ), при котором точка заменяется кривой всех предельных касательных направлений, входящих в нее ( проективная прямая ). Некоторые кривые также могут быть раздуты , но есть ограничение (число самопересечений должно быть равно −1).
Одной из основных теорем бирациональной геометрии поверхностей является теорема Кастельнуово . Она утверждает, что любое бирациональное отображение между алгебраическими поверхностями задается конечной последовательностью раздутий и сдутий.
Критерий Накаи гласит:
Обильные дивизоры обладают хорошим свойством, таким как пулбэк некоторого гиперплоского расслоения проективного пространства, свойства которого очень хорошо известны. Пусть будет абелевой группой, состоящей из всех дивизоров на S . Тогда из-за теоремы о пересечении
рассматривается как квадратичная форма . Пусть
тогда становится числовой эквивалентной группой классов S и
также становится квадратичной формой на , где — изображение дивизора D на S . (Ниже изображение сокращено до D .)
Для обильного линейного расслоения H на S определение
используется в поверхностной версии теоремы Ходжа об индексе :
Эта теорема доказана с использованием критерия Накаи и теоремы Римана-Роха для поверхностей. Теорема Ходжа об индексе используется в доказательстве Делиня гипотезы Вейля .
Основные результаты по алгебраическим поверхностям включают теорему Ходжа об индексе и разделение на пять групп классов бирациональной эквивалентности, называемое классификацией алгебраических поверхностей . Общий тип класса, размерность Кодаиры 2, очень велик (степень 5 или выше для неособой поверхности в P 3 лежит в нем, например).
Существует три основных инварианта числа Ходжа поверхности. Из них h 1,0 классически назывался нерегулярностью и обозначался q ; а h 2,0 назывался геометрическим родом p g . Третий, h 1,1 , не является бирациональным инвариантом , поскольку раздутие может добавлять целые кривые с классами в H 1,1 . Известно, что циклы Ходжа являются алгебраическими и что алгебраическая эквивалентность совпадает с гомологической эквивалентностью, так что h 1,1 является верхней границей для ρ, ранга группы Нерона-Севери . Арифметический род p a является разностью
Это объясняет, почему эта нерегулярность получила свое название как своего рода «ошибочный термин».
Теорема Римана-Роха для поверхностей была впервые сформулирована Максом Нётером . Семейства кривых на поверхностях можно классифицировать, в некотором смысле, и они дают начало многим из их интересных геометрических форм.
