Регулировка громкости

Воображаемый объем, через который моделируется и анализируется поток вещества

В механике сплошных сред и термодинамике контрольный объем ( КО ) — это математическая абстракция, используемая в процессе создания математических моделей физических процессов. В инерциальной системе отсчета это фиктивная область заданного объема, фиксированная в пространстве или движущаяся с постоянной скоростью потока, через которую протекает континуум ( непрерывная среда, такая как газ , жидкость или твердое тело ). Замкнутая поверхность, охватывающая область, называется контрольной поверхностью . ^[1]

В стационарном состоянии контрольный объем можно рассматривать как произвольный объем, в котором масса континуума остается постоянной. Когда континуум движется через контрольный объем, масса, входящая в контрольный объем, равна массе, выходящей из контрольного объема. В стационарном состоянии и при отсутствии работы и теплопередачи энергия внутри контрольного объема остается постоянной. Это аналогично классической концепции механики диаграммы свободного тела .

Обзор

Обычно, чтобы понять, как данный физический закон применяется к рассматриваемой системе, сначала начинают с рассмотрения того, как он применяется к небольшому контрольному объему или «представительному объему». В конкретном контрольном объеме нет ничего особенного, он просто представляет собой небольшую часть системы, к которой физические законы могут быть легко применены. Это приводит к тому, что называется объемной или объемной формулировкой математической модели.

Тогда можно утверждать, что поскольку физические законы ведут себя определенным образом на определенном контрольном объеме, они ведут себя одинаково на всех таких объемах, поскольку этот конкретный контрольный объем не был каким-либо особенным. Таким образом, может быть разработана соответствующая точечная формулировка математической модели , чтобы она могла описывать физическое поведение всей (и, возможно, более сложной) системы.

В механике сплошной среды уравнения сохранения (например, уравнения Навье-Стокса ) имеют интегральную форму. Поэтому они применяются к объемам. Нахождение форм уравнения, которые не зависят от контрольных объемов, позволяет упростить знаки интегралов. Контрольные объемы могут быть неподвижны или могут двигаться с произвольной скоростью. ^[2]

Существенная производная

Вычисления в механике сплошной среды часто требуют замены оператора регулярной производной по времени на оператор субстантивной производной . Это можно увидеть следующим образом. ${\displaystyle d/dt\;}$ ${\displaystyle D/Dt}$

Рассмотрим насекомое, движущееся через объем, где имеется некоторая скалярная величина , например давление , которое изменяется со временем и положением: . ${\displaystyle p=p(t,x,y,z)\;}$

Если ошибка в течение интервала времени от до перемещается из в, то ошибка испытывает изменение скалярного значения, ${\displaystyle t\;}$ ${\displaystyle t+dt\;}$ ${\displaystyle (x,y,z)\;}$ ${\displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),\;}$ ${\displaystyle dp\;}$

${\displaystyle dp={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz}$

( полный дифференциал ). Если жук движется со скоростью, изменение положения частицы равно и мы можем записать ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dp&={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}dt+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}dt+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}\right)dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla p\right)dt.\\\end{alignedat}}}$

где — градиент скалярного поля p . Итак: ${\displaystyle \nabla p}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla .}$

Если жук просто движется вместе с потоком, применяется та же формула, но теперь вектор скорости v является вектором скорости потока u . Последнее выражение в скобках — это субстантивная производная скалярного давления. Поскольку давление p в этом вычислении является произвольным скалярным полем, мы можем абстрагировать его и записать субстантивный оператор производной как

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$

Смотрите также

• Механика сплошной среды
• Уравнение импульса Коши
• Специальная теория относительности
• Существенная производная

Ссылки

• Джеймс Р. Уэлти, Чарльз Э. Уикс, Роберт Э. Уилсон и Грегори Роррер Основы переноса импульса, тепла и массы ISBN  0-471-38149-7

Примечания

1. GJ Van Wylen и RE Sonntag (1985), Основы классической термодинамики , раздел 2.1 (3-е издание), John Wiley & Sons, Inc., ISBN Нью-Йорка 0-471-82933-1 
2. Nangia, Nishant; Johansen, Hans; Patankar, Neelesh A.; Bhalla, Amneet Pal S. (2017). «Подход с использованием движущегося контрольного объема для вычисления гидродинамических сил и моментов на погруженных телах». Journal of Computational Physics . 347 : 437–462. arXiv : 1704.00239 . Bibcode : 2017JCoPh.347..437N. doi : 10.1016/j.jcp.2017.06.047. S2CID  37560541.

Внешние ссылки

PDF-файлы

• Интегральный подход к анализу контрольного объема потока жидкости