Погружение (математика)

В математике погружение — это дифференцируемое отображение между дифференцируемыми многообразиями , дифференциал которого всюду сюръективен . Это базовое понятие в дифференциальной топологии . Понятие погружения двойственно понятию погружения .

Определение

Пусть M и N — дифференцируемые многообразия , а — дифференцируемое отображение между ними. Отображение $f$ является погружением в точке, если его дифференциал $f\двоеточие M\to N$ $p\in M$

Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N

является сюръективным линейным отображением . ^[1] В этом случае $p$ называется регулярной точкой отображения $f$ , в противном случае $p$ является критической точкой . Точка является регулярным значением f $,$ если все точки $p$ в прообразе являются регулярными точками. Дифференцируемое отображение $f$ , которое является субмерсией в каждой точке, называется субмерсией . Эквивалентно, $f$ является субмерсией, если ее дифференциал имеет постоянный ранг, равный размерности $N.$ $q\in N$ $f^{-1}(q)$ $p\in M$ $Df_{p}$

Предупреждение: некоторые авторы используют термин критическая точка для описания точки, в которой ранг матрицы Якоби функции $f$ в точке $p$ не является максимальным. ^[2] Действительно, это более полезное понятие в теории особенностей . Если размерность $M$ больше или равна размерности $N$ , то эти два понятия критической точки совпадают. Но если размерность $M$ меньше размерности $N$ , все точки являются критическими согласно определению выше (дифференциал не может быть сюръективным), но ранг якобиана все еще может быть максимальным (если он равен dim $M$ ). Определение, данное выше, используется чаще; например, в формулировке теоремы Сарда .

Теорема погружения

Если задано погружение между гладкими многообразиями размерностей и , для каждого существуют сюръективные карты вокруг , и вокруг , такие, что ограничивается погружением, которое, будучи выражено в координатах как , становится обычной ортогональной проекцией . В качестве приложения, для каждого соответствующий слой , обозначенный , может быть снабжен структурой гладкого подмногообразия размерности которого равна разности размерностей и . $f\двоеточие M\to N$ $м$ $n$ $x\in M$ $\phi :U\to \mathbb {R} ^{m}$ $М$ $x$ $\psi :V\to \mathbb {R} ^{n}$ $N$ $f(x)$ $f$ $f\двоеточие U\to V$ $\psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ $p\in N$ $f$ $M_{p}=f^{-1}(\{p\})$ $М$ $N$ $М$

Теорема является следствием теоремы об обратной функции (см. Теорема об обратной функции#Придание многообразной структуры ).

Например, рассмотрим матрицу Якоби, заданную формулой : $f\двоеточие \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ $f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.$

{\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.

Это имеет максимальный ранг в каждой точке, за исключением . Также волокна $(0,0,0)$

f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}

пусты для и равны точке при . Следовательно , мы имеем только гладкое погружение , а подмножества являются двумерными гладкими многообразиями для . $т<0$ $т=0$ $f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},$ $M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}$ $т>0$

Примеры

Любая проекция $\пи \двоеточие \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}$
Локальные диффеоморфизмы
Римановские погружения
Проекция в гладком векторном расслоении или более общем гладком расслоении . Сюръективность дифференциала является необходимым условием существования локальной тривиализации .

Карты между сферами

Одним из больших классов примеров погружений являются погружения между сферами более высокого измерения, такими как

f:S^{n+k}\to S^{k}

чьи волокна имеют размерность . Это происходит потому, что волокна (обратные образы элементов ) являются гладкими многообразиями размерности . Тогда, если мы возьмем путь $n$ $p\in S^{k}$ $n$

\gamma :I\to S^{k}

и сделайте откат

{\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}

мы получаем пример особого вида бордизма , называемого оснащенным бордизмом. Фактически, группы оснащенных кобордизмов тесно связаны со стабильными гомотопическими группами . $\Омега _{n}^{fr}$

Семейства алгебраических многообразий

Другой большой класс погружений задается семействами алгебраических многообразий , чьи слои являются гладкими алгебраическими многообразиями. Если мы рассмотрим базовые многообразия этих многообразий, мы получим гладкие многообразия. Например, семейство эллиптических кривых Вейерштрасса является широко изучаемым погружением, поскольку оно включает в себя множество технических сложностей, используемых для демонстрации более сложной теории, такой как гомология пересечения и извращенные пучки . Это семейство задается как $\pi :{\mathfrak {X}}\to S$ $\pi :{\mathcal {W}} \to \mathbb {A} ^{1}$

${\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(xt)\}$

где — аффинная прямая, а — аффинная плоскость. Поскольку мы рассматриваем комплексные многообразия, то это эквивалентно пространствам комплексной прямой и комплексной плоскости. Обратите внимание, что на самом деле мы должны удалить точки , поскольку есть сингулярности (поскольку есть двойной корень). $\mathbb {A} ^{1}$ $\mathbb {A} ^{2}$ $\mathbb {C},\mathbb {C} ^{2}$ $t=0,1$

Локальная нормальная форма

Если $f : M \to N$ — погружение в точке $p$ и $f (p) = q \in N$ , то существует открытая окрестность $U$ точки $p$ в $M$ , открытая окрестность $V$ точки $q$ в $N$ и локальные координаты $(x 1, \dots, x m)$ в точке $p$ и $(x 1, \dots, x n)$ в точке $q$ такие, что $f (U) = V$ , а отображение $f$ в этих локальных координатах является стандартной проекцией

f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).

Отсюда следует, что полный прообраз $f -1 (q)$ в $M$ регулярного значения $q$ в $N$ при дифференцируемом отображении $f : M \to N$ либо пуст, либо является дифференцируемым многообразием размерности $dim M - dim N$ , возможно, несвязным . Это содержание теоремы о регулярном значении (также известной как теорема о погружении ). В частности, заключение справедливо для всех $q$ в $N,$ если отображение $f$ является погружением.

Топологические многообразные погружения

Погружения также хорошо определены для общих топологических многообразий . ^[3] Погружение топологического многообразия — это непрерывная сюръекция $f : M \to N$ такая, что для всех $p$ в $M$ для некоторых непрерывных карт $ψ$ в точке $p$ и $φ$ в точке $f(p)$ отображение $ψ -1 \circ f \circ φ$ равно отображению проекции из $R m$ в $R$ $n$ , где $m$ $= dim($ $M$ $) \geq$ $n$ $= dim($ $N$ $)$ .

Смотрите также

Теорема Эресмана о расслоении

Примечания

^ Крампин и Пирани 1994, с. 243. ду Карму 1994, с. 185. Франкель 1997, с. 181. Галло, Хулин и Лафонтен 2004, с. 12. Косински 2007, с. 27. Ланг 1999, с. 27. Штернберг 2012, с. 378.
^ Арнольд, Гусейн-Заде и Варченко 1985.
^ Ланг 1999, стр. 27.

Ссылки

Арнольд Владимир Иванович ; Гусейн-Заде, Сабир М .; Варченко, Александр Н. (1985). Особенности дифференцируемых отображений: Том 1 . Биркхойзер. ISBN 0-8176-3187-9.
Брюс, Джеймс В.; Гиблин, Питер Дж. (1984). Кривые и особенности . Cambridge University Press . ISBN 0-521-42999-4. МР 0774048.
Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия . Кембридж, Англия: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-23190-9.
ду Карму, Манфредо Пердигао (1994). Риманова геометрия . ISBN 978-0-8176-3490-2.
Франкель, Теодор (1997). Геометрия физики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-38753-1. МР 1481707.
Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
Косински, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
Стернберг, Шломо Цви (2012). Кривизна в математике и физике . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47855-5.

Дальнейшее чтение

https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1