Извращенный сноп

Математический термин «извращенные пучки» относится к объектам определенных абелевых категорий , связанных с топологическими пространствами , которые могут быть действительными или комплексными многообразиями , или более общими топологически стратифицированными пространствами , возможно, сингулярными.

Понятие было введено в работе Джозефа Бернштейна , Александра Бейлинсона и Пьера Делиня (1982) как следствие соответствия Римана-Гильберта , которое устанавливает связь между производными категориями регулярных голономных D-модулей и конструктивных пучков . Извращенные пучки являются объектами в последнем, которые соответствуют отдельным D-модулям (а не более общим их комплексам); извращенный пучок в общем случае представлен комплексом пучков. Понятие извращенных пучков уже подразумевается в статье 75-х годов Кашивары о конструктивности решений голономных D-модулей.

Ключевым наблюдением было то, что гомологии пересечения Марка Горески и Роберта Макферсона можно было бы описать с помощью комплексов пучков, которые на самом деле являются извращенными пучками. С самого начала было ясно, что извращенные пучки являются фундаментальными математическими объектами на стыке алгебраической геометрии , топологии , анализа и дифференциальных уравнений . Они также играют важную роль в теории чисел , алгебре и теории представлений .

Предварительные замечания

Название извращенный пучок происходит от грубого перевода французского "faisceaux pervers". ^[1] Обоснованием является то, что извращенные пучки являются комплексами пучков, которые имеют несколько общих черт с пучками: они образуют абелеву категорию, у них есть когомологии , и чтобы построить один, достаточно построить его локально везде. Прилагательное "извращенный" берет свое начало в теории пересечений гомологий , ^[2] и его происхождение было объяснено Горески (2010).

Определение Бейлинсона–Бернштейна–Делиня извращенного пучка проходит через механизм триангулированных категорий в гомологической алгебре и имеет очень сильный алгебраический оттенок, хотя основные примеры, возникающие из теории Горески–Макферсона, являются топологическими по своей природе, поскольку простые объекты в категории извращенных пучков являются комплексами пересечений когомологий. Это побудило Макферсона переформулировать всю теорию в геометрических терминах на основе теории Морса . Для многих приложений в теории представлений извращенные пучки можно рассматривать как «черный ящик», категорию с определенными формальными свойствами.

Определение и примеры

Извращенный пучок — это объект C ограниченной производной категории пучков с конструктивными когомологиями на пространстве X, такой что множество точек x с

${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{*}C)\neq 0}$или ${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{!}C)\neq 0}$

имеет вещественную размерность не более 2 i для всех i . Здесь j _x — отображение включения точки x .

Если X — гладкое комплексное алгебраическое многообразие и всюду имеет размерность d , то

${\displaystyle {\mathcal {F}}[d]}$

является извращенным пучком для любой локальной системы . ^[3] Если X является плоской, локально полной схемой пересечения (например, регулярной) над гензелевым дискретным нормирующим кольцом , то постоянный пучок, сдвинутый на , является этальным извращенным пучком. ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \dim X+1}$

Простой пример

Пусть X — диск вокруг начала координат, стратифицированный так, что начало координат — единственный сингулярный слой. Тогда категория извращенных пучков на X эквивалентна категории диаграмм векторных пространств, где и обратимы. ^[5] В более общем смысле, колчаны можно использовать для описания извращенных пучков. ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V{\overset {u}{\underset {v}{\rightleftarrows }}}W}$ ${\displaystyle \operatorname {id} -u\circ v}$ ${\displaystyle \operatorname {id} -v\circ u}$

Характеристики

Категория извращенных пучков является абелевой подкатегорией (неабелевой) производной категории пучков, равной ядру подходящей t-структуры , и сохраняется двойственностью Вердье .

Ограниченная производная категория извращенных l-адических пучков на схеме X эквивалентна производной категории конструктивных пучков и аналогично для пучков на комплексном аналитическом пространстве, связанном со схемой X / C. [ ^6]

Приложения

Извращенные пучки являются фундаментальным инструментом для геометрии сингулярных пространств. Поэтому они применяются в различных областях математики. В соответствии Римана-Гильберта извращенные пучки соответствуют регулярным голономным D-модулям . Это приложение устанавливает понятие извращенного пучка как встречающегося «в природе». Теорема разложения , далеко идущее расширение жесткой теоремы разложения Лефшеца , требует использования извращенных пучков. Модули Ходжа , грубо говоря, являются уточнением извращенных пучков в теории Ходжа . Геометрическая эквивалентность Сатаке отождествляет эквивариантные извращенные пучки на аффинном грассманиане с представлениями двойственной группы Ленглендса редуктивной группы G - см. Mirković & Vilonen (2007). Доказательство гипотез Вейля с использованием извращенных пучков приведено в Kiehl & Weissauer (2001). ${\displaystyle Gr_{G}}$

Теория струн

Безмассовые поля в суперструнных компактификациях были идентифицированы с когомологическими классами на целевом пространстве (т. е. четырехмерном пространстве Минковского с шестимерным многообразием Калаби-Яу (CY) ). Определение содержания материи и взаимодействия требует детального анализа (ко)гомологии этих пространств: почти все безмассовые поля в эффективной физической модели представлены определенными элементами (ко)гомологии.

Однако, тревожное следствие возникает, когда целевое пространство является сингулярным . Сингулярное целевое пространство означает, что только часть многообразия CY является сингулярной, поскольку фактор пространства Минковского является гладким. Такое сингулярное многообразие CY называется конифолдом , поскольку это многообразие CY, которое допускает конические сингулярности .

Эндрю Стромингер заметил (A. Strominger, 1995), что конифолды соответствуют безмассовым черным дырам . Конифолды являются важными объектами в теории струн: Брайан Грин объясняет физику конифолдов в главе 13 своей книги «Элегантная Вселенная» — включая тот факт, что пространство может разорваться вблизи конуса, и его топология может измениться. Эти сингулярные целевые пространства, т. е. конифолды, соответствуют определенным мягким вырождениям алгебраических многообразий , которые появляются в большом классе суперсимметричных теорий, включая теорию суперструн (E. Witten, 1982).

По сути, различные теории когомологий на сингулярных целевых пространствах дают разные результаты, тем самым затрудняя определение того, какая физика теории может быть предпочтительнее. Несколько важных характеристик когомологий, которые соответствуют безмассовым полям, основаны на общих свойствах теорий поля, в частности, на (2,2)-суперсимметричных 2-мерных теориях поля мирового листа . Эти свойства, известные как пакет Кэлера (T. Hubsch, 1992), должны выполняться для сингулярных и гладких целевых пространств. Пол Грин и Тристан Хабш (P. Green & T. Hubsch, 1988) определили, что способ, которым вы перемещаетесь между сингулярными CY-целевыми пространствами, требует перемещения либо через малое разрешение, либо через деформацию сингулярности (T. Hubsch, 1992), и назвали это «конифолдным переходом».

Тристан Хабш (T. Hubsch, 1997) предположил, какой должна быть эта теория когомологий для сингулярных целевых пространств. Тристан Хабш и Абдул Рахман (T. Hubsch и A. Rahman, 2005) работали над решением гипотезы Хабша, анализируя нетрансверсальный случай калиброванной линейной сигма-модели Виттена (E. Witten, 1993), которая индуцирует стратификацию этих алгебраических многообразий (называемых многообразием основного состояния) в случае изолированных конических сингулярностей .

При определенных условиях было определено, что это многообразие основного состояния является конифолдом ( P. Green & T.Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) с изолированными коническими особенностями над определенной базой с одномерной экзокривой (называемой экзостратой), прикрепленной к каждой особой точке. T. Hubsch и A. Rahman определили (ко)гомологии этого многообразия основного состояния во всех измерениях, нашли ее совместимой с зеркальной симметрией и теорией струн , но обнаружили препятствие в среднем измерении (T. Hubsch и A. Rahman, 2005). Это препятствие потребовало пересмотра гипотезы Хабша о струнных сингулярных когомологиях (T. Hubsch, 1997). Зимой 2002 года Т. Хабш и А. Рахман встретились с Р. М. Горески, чтобы обсудить это препятствие , и в обсуждениях между Р. М. Горески и Р. Макферсоном Р. Макферсон сделал наблюдение, что существует такой извращенный пучок, который может иметь когомологии, удовлетворяющие гипотезе Хабша и разрешающие препятствие . Р. М. Горески и Т. Хабш консультировали А. Рахмана по докторской диссертации о построении самодвойственного извращенного пучка (А. Рахман, 2009) с использованием зигзагообразной конструкции Макферсона - Вилонена (Р. Макферсон и К. Вилонен, 1986). Этот извращенный пучок доказал гипотезу Хюбша для изолированных конических особенностей , удовлетворял двойственности Пуанкаре и соответствовал некоторым свойствам пакета Кэлера. Удовлетворение всего пакета Кэлера этим извращенным пучком для страт более высокой коразмерности все еще остается открытой проблемой. Маркус Банагл (M. Banagl, 2010; M. Banagl, et al., 2014) обратился к гипотезе Хабша через пространства пересечений для страт более высокой коразмерности , вдохновленный работой Хабша (T. Hubsch, 1992, 1997; P. Green и T. Hubsch, 1988) и оригинальным анзацем А. Рахмана (A. Rahman, 2009) для изолированных особенностей .

Смотрите также

• Смешанный модуль Ходжа
• Смешанный извращенный пучок
• Гомология пересечения
• L² когомологии
• Конифолд
• Теория струн
• Суперсимметрия

Примечания

1. Les faisceaux pervers n'etant ni des faisceaux, ni pervers, терминология требует объяснения. ББД, с. 10
2. Какова этимология термина «извращенный пучок»? – MathOverflow
3. Бейлинсон, Бернстайн и Делинь (1982, Предложение 2.2.2, §4.0)
4. Иллюзия (2003, следствие 2.7)
5. Следствие 3.2. А. Бейлинсона. Как склеивать извращенные пучки. В: K-теория, арифметика и геометрия (Москва, 1984), Lecture Notes in Math. 1289, Springer-Verlag, 1987, 42 – 51.
6. Бейлинсон (1987, Теорема 1.3)

Ссылки

• de Cataldo, Mark Andrea ; Migliorini, Luca (2010). «Что такое извращенный пучок?» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 57 (5): 632–634. MR  2664042.

• Аринкин, Дмитрий; Безрукавников, Роман (2010). «Извращенные когерентные пучки». Московский математический журнал . 10 (1): 3–29. arXiv : 0902.0349 . Bibcode :2009arXiv0902.0349A. doi :10.17323/1609-4514-2010-10-1-3-29. MR  2668828. S2CID  14409918.
• Бейлинсон, Александр А. (1987), «О производной категории извращенных пучков», K-теория, арифметика и геометрия (Москва, 1984–1986) , Lecture Notes in Mathematics, т. 1289, Berlin: Springer, стр. 27–41, doi :10.1007/BFb0078365, ISBN 978-3-540-18571-0, МР  0923133

• Бейлинсон, Александр А. ; Бернштейн, Джозеф ; Делинь, Пьер (1982). «Фаисские извращенцы». Астериск (на французском языке). 100 . Париж: Математическое общество Франции . МР  0751966.

• Брасселе, Жан-Поль (2009), Введение в гомологию пересечений и перверсивные пучки , Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), MR  2533465

• Бремер, Кристофер Л.; Сейдж, Дэниел С. (2013), «Обобщенные условия Серра и извращенные когерентные пучки», Журнал алгебры , 392 : 85–96, arXiv : 1106.2616 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2013.06.018, MR  3085024, S2CID  14754630

• Горески, Марк (2010). «Какова этимология термина «извращенный сноп»?».
• Иллюзи, Люк (2003). «Извращения и вариации». Манускрипта Математика . 112 (3): 271–295. doi : 10.1007/s00229-003-0407-z. MR  2067039. S2CID  122652995.
• Киль, Райнхардт ; Вайсауэр, Райнер (2001), гипотезы Вейля, извращенные пучки и адическое преобразование Фурье , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 42, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41457-5, г-н  1855066
• Макферсон, Роберт (15 декабря 1990 г.). «Гомология пересечений и извращенные пучки» (PDF) (неопубликованная рукопись).
• Миркович, Иван; Вилонен, Кари (2007), «Геометрическая двойственность Ленглендса и представления алгебраических групп над коммутативными кольцами», Annals of Mathematics , Вторая серия, 166 (1): 95–143, arXiv : math/0401222 , doi :10.4007/annals.2007.166.95, ISSN  0003-486X, MR  2342692, S2CID  14127684
• Ритч, Констанце (2003). «Введение в извращенные связки». arXiv : math.RT/0307349 .
• Бейлинсон, Александр; Бернштейн, Джозеф; Делинь, Пьер; Габбер, Офер (2018). Фейсо извращенцы. Астериск. Том. 100 (2-е изд.). ISBN 978-2-85629-878-7.
• Стромингер, Эндрю (1995). «Безмассовые черные дыры и конифолды в теории струн». Nuclear Physics B. 451 ( 1–2): 96–108. arXiv : hep-th/9504090 . Bibcode : 1995NuPhB.451...96S. doi : 10.1016/0550-3213(95)00287-3. S2CID  6035714.
• Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса». Журнал дифференциальной геометрии . 17 (4): 661–692. doi : 10.4310/jdg/1214437492 .
• Виттен, Эдвард (1993). "Фазы теорий n = 2 в двух измерениях". Nuclear Physics B . 403 (1–2): 159–222. arXiv : hep-th/9301042 . Bibcode :1993NuPhB.403..159W. doi :10.1016/0550-3213(93)90033-L. S2CID  16122549.
• Грин, Пол С.; Хюбш, Тристан (1988). «Связь пространств модулей трехмерных многообразий Калаби-Яу». Сообщения по математической физике . 119 (3): 431–441. Bibcode :1988CMaPh.119..431G. doi :10.1007/BF01218081. S2CID  119452483.
• Хюбш, Тристан (1997). «О струнных сингулярных когомологиях». Modern Physics Letters A . A12 (8): 521–533. arXiv : hep-th/9612075 . Bibcode :1997MPLA...12..521H. doi :10.1142/S0217732397000546. S2CID  11779832.
• Хюбш, Тристан (1994). Многообразия Калаби-Яу: Бестиарий для физиков. World Scientific. ISBN 978-981-02-1927-7.
• Хюбш, Тристан; Рахман, Абдул (2005). «О геометрии и гомологии некоторых простых стратифицированных многообразий». Журнал геометрии и физики . 53 (1): 31–48. arXiv : math.AG/0210394 . Bibcode :2005JGP....53...31H. doi :10.1016/j.geomphys.2004.04.010. ISSN  0393-0440. MR  2102048. S2CID  119584805.
• Макферсон, Роберт; Вилонен, Кари (1986). «Элементарные конструкции извращенных пучков». Математические изобретения . 84 (2): 403–435. Бибкод : 1986InMat..84..403M. дои : 10.1007/BF01388812. S2CID  120183452.
• Грин, Брайан (2003). Элегантная Вселенная . Нортон. ISBN 0-393-05858-1.
• Рахман, Абдул (2009). «Подход извращенного пучка к теории когомологий для теории струн». Успехи теоретической и математической физики . 13 (3): 667–693. arXiv : 0704.3298 . doi : 10.4310/ATMP.2009.v13.n3.a3. S2CID  14787272.
• Банагл, Маркус (2010). Пространства пересечений, пространственное гомологическое усечение и теория струн. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1997. Springer. ISBN 978-3-642-12588-1.
• Banagl, Markus; Budur, Nero; Maxim, Laurențiu (2014). «Пространства пересечений, извращенные пучки и теория струн типа IIB». Advances in Theoretical and Mathematical Physics . 18 (2): 363–399. arXiv : 1212.2196 . doi :10.4310/ATMP.2014.v18.n2.a3. MR  3273317. S2CID  62773026.

Дальнейшее чтение

• Гомологии пересечений и извращенные пучки, заметки Бруно Клинглера.