В математике теория сингулярностей изучает пространства, которые являются почти многообразиями , но не совсем. Струна может служить примером одномерного многообразия, если пренебречь ее толщиной. Сингулярность можно создать, скатав ее в шарик, уронив на пол и расплющив. В некоторых местах плоская струна пересечет сама себя в приблизительной форме «X». Точки на полу, где она это делает, являются одним видом сингулярности , двойной точкой: один кусочек пола соответствует более чем одному кусочку струны. Возможно, струна также коснется сама себя, не пересекаясь, как подчеркнутая « U ». Это другой вид сингулярности. В отличие от двойной точки, она нестабильна , в том смысле, что небольшой толчок поднимет нижнюю часть «U» от «подчеркивания».
Владимир Арнольд определяет основную цель теории сингулярностей как описание того, как объекты зависят от параметров, особенно в случаях, когда свойства претерпевают внезапное изменение при небольшом изменении параметров. Эти ситуации называются перестройкой ( русский : перестройка ), бифуркациями или катастрофами. Классификация типов изменений и характеристика наборов параметров, которые вызывают эти изменения, являются некоторыми из основных математических целей. Сингулярности могут возникать в широком диапазоне математических объектов, от матриц, зависящих от параметров, до волновых фронтов. [1]
В теории сингулярностей изучается общее явление точек и множеств сингулярностей как часть концепции, согласно которой многообразия (пространства без сингулярностей) могут приобретать особые, сингулярные точки несколькими путями. Проекция является односторонним процессом, очень очевидным в визуальном плане, когда трехмерные объекты проецируются в два измерения (например, в один из наших глаз ); при взгляде на классическую скульптуру складки драпировки являются одними из самых очевидных особенностей. Сингулярности такого рода включают каустики , очень знакомые как световые узоры на дне бассейна.
Другие способы возникновения сингулярностей — это вырождение структуры многообразия. Наличие симметрии может быть веской причиной для рассмотрения орбифолдов , которые являются многообразиями, которые приобрели «углы» в процессе складывания, напоминающего складку салфетки.
Исторически сингулярности были впервые замечены при изучении алгебраических кривых . Двойная точка в точке (0, 0) кривой
и там вершина
качественно различны, как видно из простого наброска. Исаак Ньютон провел детальное исследование всех кубических кривых , общего семейства, к которому принадлежат эти примеры. В формулировке теоремы Безу было отмечено , что такие особые точки должны учитываться с кратностью (2 для двойной точки, 3 для точки возврата), при учете пересечений кривых.
Затем оставался лишь небольшой шаг к определению общего понятия особой точки алгебраического многообразия , то есть к допущению более высоких размерностей.
Такие сингулярности в алгебраической геометрии в принципе проще всего изучать, поскольку они определяются полиномиальными уравнениями и, следовательно, в терминах системы координат . Можно сказать, что внешний смысл особой точки не вызывает сомнений; просто во внутренних терминах координаты в окружающем пространстве не переводят напрямую геометрию алгебраического многообразия в точке. Интенсивные исследования таких сингулярностей привели в конце концов к фундаментальной теореме Хейсуке Хиронаки о разрешении сингулярностей (в бирациональной геометрии в характеристике 0). Это означает, что простой процесс «поднятия» куска струны над собой посредством «очевидного» использования кроссинговера в двойной точке по сути не вводит в заблуждение: все сингулярности алгебраической геометрии могут быть восстановлены как некий очень общий коллапс (через несколько процессов). Этот результат часто неявно используется для расширения аффинной геометрии до проективной геометрии : для аффинного многообразия совершенно типично приобретать особые точки на гиперплоскости в бесконечности , когда берется его замыкание в проективном пространстве . Разрешение говорит, что такие особенности можно обрабатывать скорее как (сложный) вид компактификации , заканчивая компактным многообразием (для сильной топологии, а не топологии Зарисского , то есть).
Примерно в то же время, что и работа Хиронаки, теория катастроф Рене Тома привлекала большое внимание. Это еще одна ветвь теории сингулярности, основанная на более ранней работе Хасслера Уитни по критическим точкам . Грубо говоря, критическая точка гладкой функции — это то место, где множество уровня образует особую точку в геометрическом смысле. Эта теория имеет дело с дифференцируемыми функциями в целом, а не только с многочленами. Чтобы компенсировать это, рассматриваются только устойчивые явления. Можно утверждать, что в природе все, что разрушается крошечными изменениями, не будет наблюдаться; видимое является устойчивым. Уитни показал, что при небольшом числе переменных устойчивая структура критических точек очень ограничена в локальных терминах. Том основывался на этом и на своей собственной более ранней работе, чтобы создать теорию катастроф, предположительно учитывающую прерывистые изменения в природе.
Хотя Том был выдающимся математиком, последующая мода на элементарную теорию катастроф , пропагандируемую Кристофером Зееманом, вызвала реакцию, в частности, со стороны Владимира Арнольда . [2] Он, возможно, был в значительной степени ответственен за применение термина теория особенностей к области, включающей вклад алгебраической геометрии, а также вытекающий из работ Уитни, Тома и других авторов. Он писал в терминах, ясно показывающих его неприязнь к слишком разрекламированному акценту на небольшой части территории. Основополагающая работа по гладким особенностям сформулирована как построение отношений эквивалентности на особых точках и ростках . Технически это включает в себя групповые действия групп Ли на пространствах струй ; в менее абстрактных терминах ряды Тейлора исследуются с точностью до замены переменной, фиксируя особенности с достаточным количеством производных . Приложения, согласно Арнольду, следует рассматривать в симплектической геометрии как геометрической форме классической механики .
Важной причиной, по которой сингулярности вызывают проблемы в математике, является то, что при отказе от многообразной структуры также не допускается обращение к двойственности Пуанкаре . Крупным достижением стало введение когомологий пересечений , которые изначально возникли из попыток восстановить двойственность с помощью страт. Многочисленные связи и приложения вытекали из первоначальной идеи, например, концепция извращенного пучка в гомологической алгебре .
Упомянутая выше теория не имеет прямого отношения к концепции математической сингулярности как значения, при котором функция не определена. Для этого см., например, изолированную сингулярность , существенную сингулярность , устранимую сингулярность . Теория монодромии дифференциальных уравнений в комплексной области вокруг сингулярностей, однако, вступает в связь с геометрической теорией. Грубо говоря, монодромия изучает способ, которым может вырождаться накрывающее отображение , в то время как теория сингулярности изучает способ, которым может вырождаться многообразие ; и эти поля связаны.
