Гомология пересечения

В топологии , разделе математики , гомология пересечений является аналогом сингулярной гомологии, особенно хорошо подходящей для изучения сингулярных пространств , открытой Марком Горески и Робертом Макферсоном осенью 1974 года и развитой ими в течение следующих нескольких лет.

Когомологии пересечения использовались для доказательства гипотез Каждана–Люстига и соответствия Римана–Гильберта . Они тесно связаны с когомологиями L 2 .

Подход Горески–Макферсона

Группы гомологий компактного , ориентированного , связного , n -мерного многообразия X обладают фундаментальным свойством, называемым двойственностью Пуанкаре : существует совершенное спаривание

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Q} )\times H_{n-i}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} .}$

Классически — например, возвращаясь к Анри Пуанкаре — эта двойственность понималась в терминах теории пересечений . Элемент

${\displaystyle H_{j}(X)}$

представлен j -мерным циклом. Если i -мерный и an -мерный циклы находятся в общем положении , то их пересечение представляет собой конечный набор точек. Используя ориентацию X, можно присвоить каждой из этих точек знак; другими словами, пересечение дает 0 -мерный цикл. Можно доказать, что класс гомологии этого цикла зависит только от классов гомологии исходных i - и -мерных циклов; можно также доказать, что это спаривание является совершенным . ${\displaystyle (n-i)}$ ${\displaystyle (n-i)}$

Когда X имеет сингулярности — то есть, когда пространство имеет места, которые не выглядят как — эти идеи рушатся. Например, больше невозможно понять понятие «общего положения» для циклов. Горески и Макферсон ввели класс «допустимых» циклов, для которых общее положение имеет смысл. Они ввели отношение эквивалентности для допустимых циклов (где только «допустимые границы» эквивалентны нулю) и назвали группу ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle IH_{i}(X)}$

i -мерных допустимых циклов по модулю этого отношения эквивалентности "гомология пересечения". Кроме того, они показали, что пересечение i - и -мерного допустимого цикла дает (обычный) нулевой цикл, класс гомологии которого хорошо определен. ${\displaystyle (n-i)}$

Стратификации

Гомологии пересечений изначально были определены на подходящих пространствах со стратификацией , хотя группы часто оказываются независимыми от выбора стратификации. Существует много различных определений стратифицированных пространств. Удобным для гомологии пересечений является n -мерное топологическое псевдомногообразие . Это ( паракомпактное , хаусдорфово ) пространство X , которое имеет фильтрацию

${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots \subset X_{n}=X}$

X замкнутыми подпространствами такими, что :

• Для каждого i и для каждой точки x из существует окрестность x в X , компактное -мерное стратифицированное пространство L и гомеоморфизм , сохраняющий фильтрацию . Вот открытый конус на L. ${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle (n-i-1)}$ ${\displaystyle U\cong \mathbb {R} ^{i}\times CL}$ ${\displaystyle CL}$
• ${\displaystyle X_{n-1}=X_{n-2}}$.
• ${\displaystyle X\setminus X_{n-1}}$плотно в X.

Если X — топологическое псевдомногообразие, то i - мерный слой X — это пространство . ${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$

Примеры:

• Если X является n -мерным симплициальным комплексом , таким, что каждый симплекс содержится в n -симплексе и n −1 симплекс содержится ровно в двух n -симплексах, то базовое пространство X является топологическим псевдомногообразием.
• Если X — любое комплексное квазипроективное многообразие (возможно, с особенностями), то его базовое пространство является топологическим псевдомногообразием со всеми слоями четной размерности.

Извращения

Группы гомологий пересечений зависят от выбора извращенности , которая измеряет, насколько далеко циклы могут отклоняться от трансверсальности. (Происхождение названия «извращенность» было объяснено Горески (2010).) Извращенность — это функция ${\displaystyle I^{\mathbf {p} }H_{i}(X)}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \colon \mathbb {Z} _{\geq 2}\to \mathbb {Z} }$

от целых чисел до целых чисел, таких что ${\displaystyle \geq 2}$

• ${\displaystyle \mathbf {p} (2)=0}$.
• ${\displaystyle \mathbf {p} (k+1)-\mathbf {p} (k)\in \{0,1\}}$.

Второе условие используется для демонстрации инвариантности групп гомологий пересечений при изменении стратификации.

Дополнительная извращенность - это та, у которой ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} (k)+\mathbf {q} (k)=k-2}$.

Группы гомологии пересечения дополнительной размерности и дополнительной извращенности являются дуально парными.

Примеры извращений

• Минимальная извращенность имеет . Ее дополнением является максимальная извращенность с . ${\displaystyle p(k)=0}$ ${\displaystyle q(k)=k-2}$
• (Нижняя) средняя извращенность m определяется как , целая часть . Ее дополнением является верхняя средняя извращенность со значениями . Если извращенность не указана, то обычно подразумевается нижняя средняя извращенность. Если пространство может быть стратифицировано всеми стратами четной размерности (например, любое комплексное многообразие), то группы гомологий пересечений независимы от значений извращенности на нечетных целых числах, поэтому верхняя и нижняя средняя извращенности эквивалентны. ${\displaystyle m(k)=[(k-2)/2]}$ ${\displaystyle (k-2)/2}$ ${\displaystyle [(k-1)/2]}$

Гомологии сингулярного пересечения

Зафиксируем топологическое псевдомногообразие X размерности n с некоторой стратификацией и извращенностью p .

Отображение σ из стандартного i -симплекса в X (особый симплекс) называется допустимым , если ${\displaystyle \Delta ^{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(X_{n-k}\setminus X_{n-k-1}\right)}$

содержится в скелете . ${\displaystyle i-k+p(k)}$ ${\displaystyle \Delta ^{i}}$

Цепной комплекс является подкомплексом комплекса сингулярных цепей на X , который состоит из всех сингулярных цепей, таких, что и цепь, и ее граница являются линейными комбинациями допустимых сингулярных симплексов. Группы гомологий сингулярного пересечения (с извращенностью p ) ${\displaystyle I^{p}(X)}$

${\displaystyle I^{p}H_{i}(X)}$

являются группами гомологии этого комплекса.

Если X имеет триангуляцию, совместимую со стратификацией, то симплициальные группы гомологий пересечений могут быть определены аналогичным образом и естественным образом изоморфны сингулярным группам гомологий пересечений.

Группы гомологий пересечений не зависят от выбора стратификации X.

Если X — топологическое многообразие, то группы гомологии пересечения (для любой извращенности) совпадают с обычными группами гомологии.

Малые разрешения

Разрешение сингулярностей

${\displaystyle f:X\to Y}$

комплексного многообразия Y называется малым разрешением, если для любого r > 0 пространство точек Y , где слой имеет размерность r, имеет коразмерность больше 2 r . Грубо говоря, это означает, что большинство слоев малы. В этом случае морфизм индуцирует изоморфизм из гомологии (пересечения) X в гомологию пересечения Y (со средней извращенностью).

Существует многообразие с двумя различными малыми разрешениями, которые имеют различные кольцевые структуры на своих когомологиях, что показывает, что в общем случае не существует естественной кольцевой структуры на (ко)гомологиях пересечения.

Теория пучков

Формула Делиня для когомологий пересечения утверждает, что

${\displaystyle I^{p}H_{n-i}(X)=I^{p}H^{i}(X)=H_{c}^{i}(IC_{p}(X))}$

где — комплекс пересечения, некоторый комплекс конструктивных пучков на X (рассматриваемый как элемент производной категории , поэтому когомологии справа означают гиперкогомологии комплекса). Комплекс задается, начиная с постоянного пучка на открытом множестве и многократно расширяя его до больших открытых множеств , а затем усекая его в производной категории; точнее, он задается формулой Делиня ${\displaystyle IC_{p}(X)}$ ${\displaystyle IC_{p}(X)}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-k}}$

${\displaystyle IC_{p}(X)=\tau _{\leq p(n)-n}\mathbf {R} i_{n*}\tau _{\leq p(n-1)-n}\mathbf {R} i_{n-1*}\cdots \tau _{\leq p(2)-n}\mathbf {R} i_{2*}\mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$

где — функтор усечения в производной категории, — включение в , а — постоянный пучок на . ^[1] ${\displaystyle \tau _{\leq p}}$ ${\displaystyle i_{k}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-k}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-k-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$

Заменив постоянный пучок на локальную систему, можно использовать формулу Делиня для определения когомологий пересечения с коэффициентами в локальной системе. ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$

Примеры

Если задана гладкая эллиптическая кривая , определяемая кубическим однородным многочленом , ^[2] таким как , аффинный конус имеет изолированную особенность в начале координат , так как и все частные производные исчезают. Это происходит потому, что он однороден степени , а производные однородны степени 2. Задавая и отображение включения, комплекс пересечения задается как Это можно явно вычислить, посмотрев на стебли когомологий. В , где полученный прямой прогон является тождественным отображением в гладкой точке, следовательно, единственная возможная когомология сосредоточена в степени . Для когомологии более интересны, так как для , где замыкание содержит начало координат . Поскольку любое такое можно уточнить, рассмотрев пересечение открытого диска в с , мы можем просто вычислить когомологии . Это можно сделать, наблюдая, что есть расслоение над эллиптической кривой , расслоение гиперплоскости , а последовательность Вана дает группы когомологий , следовательно, пучки когомологий на стебле являются усеченными, это дает нетривиальные пучки когомологий , следовательно, комплекс пересечения имеет пучки когомологий. ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {V} (f)\subset \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle \partial _{i}f(0)=0}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle U=\mathbb {V} (f)-\{0\}}$ ${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$ $${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}}$$ ${\displaystyle p\in \mathbb {V} (f)}$ ${\displaystyle p\neq 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p=0}$ $${\displaystyle \mathbf {R} ^{k}i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}=\mathop {\underset {V\subset U}{\text{colim}}} H^{k}(V;\mathbb {Q} )}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i(V)}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H^{k}(U;\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{0}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\H^{1}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{2}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{3}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{2}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p=0}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{2}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\\{\mathcal {H}}^{1}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{0}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0},{\mathcal {H}}^{1}}$ ${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{0}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{\mathbb {V} (f)}\\{\mathcal {H}}^{1}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{i}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&0&{\text{for }}i\neq 0,1\end{matrix}}}$$

Свойства комплекса IC(Х)

Комплекс IC _p ( X ) обладает следующими свойствами

• На дополнении некоторого замкнутого множества коразмерности 2 имеем

${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$равен 0 при i + m ≠ 0, а при i = − m группы образуют постоянную локальную систему C

• ${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$равно 0 для i  +  m  < 0
• Если i  > 0, то равен нулю, за исключением множества коразмерности не менее a для наименьшего a с p ( a ) ≥  m  −  i ${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$
• Если i > 0, то равно нулю, за исключением множества коразмерности не менее a для наименьшего a с q ( a ) ≥ ( i ) ${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{!}IC_{p})}$

Как обычно, q — дополнительная извращенность к p . Более того, комплекс однозначно характеризуется этими условиями, с точностью до изоморфизма в производной категории. Условия не зависят от выбора стратификации, так что это показывает, что когомологии пересечения также не зависят от выбора стратификации.

Двойственность Вердье переводит IC _p в IC _q , сдвинутый на n  = dim( X ) в производной категории.

Смотрите также

• Теорема разложения
• Гомология Бореля–Мура
• Топологически стратифицированное пространство
• Теория пересечений
• Извращенный сноп
• Смешанная структура Ходжа

Ссылки

1. Предупреждение: существует несколько соглашений о том, как извращенность входит в конструкцию Делиня: числа иногда записываются как . ${\displaystyle p(k)-n}$ ${\displaystyle p(k)}$
2. Теория Ходжа (PDF) . Э. Каттани, Фуад Эль Зейн, Филип Гриффитс, Дунг Транг Ле., ред. Принстон. 21 июля 2014 г. ISBN 978-0-691-16134-1. OCLC  861677360. Архивировано из оригинала 15 августа 2020 г.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: others (link), стр. 281-282

• Арманд Борель , Когомологии пересечения . Прогресс в математике, Биркхаузер Бостон ISBN 0-8176-3274-3 
• Марк Горески и Роберт Макферсон, Двойственность Пуанкаре для особых пространств. ЧР акад. наук. т. 284 (1977), стр. 1549–1551 Серия А.
• Горески, Марк (2010), Какова этимология термина «извращенный сноп»?
• Горески, Марк; Макферсон, Роберт, Теория гомологии пересечений , Топология 19 (1980), № 2, 135–162. doi :10.1016/0040-9383(80)90003-8
• Горески, Марк; Макферсон, Роберт, Гомологии пересечений. II , Inventiones Mathematicae 72 (1983), № 1, 77–129. 10.1007/BF01389130 MR 0696691 Это дает подход теории пучков к когомологиям пересечений.
• Фрэнсис Кирван, Джонатан Вульф, Введение в теорию гомологии пересечений ISBN 1-58488-184-4 
• Клейман, Стивен. Развитие теории гомологии пересечений. Век математики в Америке, часть II, Hist. Math. 2, Amer. Math. Soc., 1989, стр. 543–585.
• «Пересечение гомологии», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Какова этимология термина «извращенный пучок»? (включая обсуждение этимологии термина «гомология пересечения») – MathOverflow