Кольцо дискретной оценки

Понятие в абстрактной алгебре

В абстрактной алгебре кольцо дискретного оценивания ( DVR ) — это область главных идеалов (PID) с ровно одним ненулевым максимальным идеалом .

Это означает, что DVR представляет собой целостную область R , которая удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. R — локальная область главных идеалов , а не поле .
2. R — кольцо значений с группой значений, изоморфной целым числам при сложении.
3. R — это локальный домен Дедекинда , а не поле.
4. R — нётерова локальная область , максимальный идеал которой является главным, а не полем. ^[1]
5. R — целозамкнутое нётерово локальное кольцо с размерностью Крулля один.
6. R — область главных идеалов с единственным ненулевым простым идеалом .
7. R — область главных идеалов с единственным неприводимым элементом ( с точностью до умножения на единицы ).
8. R — уникальная факторизационная область с единственным неприводимым элементом (с точностью до умножения на единицы).
9. R является нётеровым, а не полем, и каждый ненулевой дробный идеал R неприводим в том смысле , что его нельзя записать как конечное пересечение дробных идеалов, содержащих его должным образом.
10. Существует некоторая дискретная оценка ν на поле дробей K числа R такая, что R = {0} { x K  : ν( x ) ≥ 0}. ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \in }$

Примеры

Алгебраический

Локализация колец Дедекинда

Пусть . Тогда поле дробей равно . Для любого ненулевого элемента из мы можем применить уникальную факторизацию к числителю и знаменателю r, чтобы записать r как ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}:=\{z/n\mid z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{ is odd}}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$2 ^к з/н⁠ где z , n , и k — целые числа, причем z и n нечетные. В этом случае мы определяем ν( r )= k . Тогда — кольцо дискретного нормирования, соответствующее ν. Максимальный идеал — это главный идеал, порожденный 2, т. е. , а «единственный» неприводимый элемент (с точностью до единиц) — это 2 (это также известно как униформизирующий параметр). Обратите внимание, что — это локализация области Дедекинда в простом идеале, порожденном 2. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В более общем смысле, любая локализация дедекиндовой области на ненулевом простом идеале является кольцом дискретного оценивания; на практике часто именно так возникают кольца дискретного оценивания. В частности, мы можем определить кольца

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}:=\left.\left\{{\frac {z}{n}}\,\right|z,n\in \mathbb {Z} ,p\nmid n\right\}}$

для любого простого числа p в полной аналогии.

п-адические целые числа

Кольцо p -адических целых чисел является DVR, для любого простого числа . Здесь — неприводимый элемент ; оценка присваивает каждому -адическому целому числу наибольшее целое число, такое, что делит . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle x}$

Формальный степенной ряд

Другим важным примером DVR является кольцо формальных степенных рядов с одной переменной над некоторым полем . «Уникальным» неприводимым элементом является , максимальный идеал — это главный идеал, порожденный , а оценка присваивает каждому степенному ряду индекс (т.е. степень) первого ненулевого коэффициента. ${\displaystyle R=k[[T]]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$

Если ограничиться действительными или комплексными коэффициентами, то можно рассмотреть кольцо степенных рядов с одной переменной, которые сходятся в окрестности 0 (при этом окрестность зависит от степенного ряда). Это кольцо дискретной оценки. Это полезно для построения интуиции с оценочным критерием правильности .

Кольцо в функциональном поле

Для примера более геометрического характера возьмем кольцо R = { f / g  : f , g полиномы в R [ X ] и g (0) ≠ 0}, рассматриваемое как подкольцо поля рациональных функций R ( X ) от переменной X . R можно отождествить с кольцом всех действительнозначных рациональных функций, определенных (т. е. конечных) в окрестности 0 на действительной оси (с окрестностью, зависящей от функции). Это кольцо дискретного оценивания; «единственный» неприводимый элемент — X , а оценивание присваивает каждой функции f порядок (возможно, 0) нуля f в 0. Этот пример дает шаблон для изучения общих алгебраических кривых вблизи неособых точек, причем алгебраическая кривая в этом случае является действительной прямой.

Теоретико-схематический

Гензелевская черта

Для DVR поле дроби принято записывать как и поле остатка. Они соответствуют общим и закрытым точкам Например, закрытая точка есть , а общая точка есть . Иногда это обозначается как ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K={\text{Frac}}(R)}$ ${\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle S={\text{Spec}}(R).}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

${\displaystyle \eta \to S\leftarrow s}$

где — общая точка, а — замкнутая точка. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle s}$

Локализация точки на кривой

При наличии алгебраической кривой локальное кольцо в гладкой точке является дискретным кольцом оценки, поскольку оно является главным кольцом оценки. Обратите внимание , что поскольку точка гладкая, пополнение локального кольца изоморфно пополнению локализации в некоторой точке . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Параметр унификации

При наличии DVR R любой неприводимый элемент R является генератором для единственного максимального идеала R и наоборот. Такой элемент также называется униформизирующим параметром R ( или униформизирующим элементом , униформизатором или простым элементом ).

Если мы фиксируем униформизирующий параметр t , то M =( t ) является единственным максимальным идеалом кольца R , а любой другой ненулевой идеал является степенью кольца M , т.е. имеет вид ( t ^k ) для некоторого k ≥0. Все степени кольца t различны, как и степени кольца M . Каждый ненулевой элемент x кольца R можно записать в виде α t ^k , где α — единица в R , а k ≥0, оба однозначно определяются x . Оценка задается выражением ν ( x ) = kv ( t ). Таким образом, чтобы полностью понять кольцо, нужно знать группу единиц кольца R и то, как единицы аддитивно взаимодействуют со степенями кольца t .  

Функция v также преобразует любое дискретное кольцо оценки в евклидову область . ^{[ требуется ссылка ]}

Топология

Каждое дискретное кольцо оценки, будучи локальным кольцом , несет естественную топологию и является топологическим кольцом . Мы также можем придать ему структуру метрического пространства , где расстояние между двумя элементами x и y может быть измерено следующим образом:

${\displaystyle |x-y|=2^{-\nu (x-y)}}$

(или с любым другим фиксированным действительным числом > 1 вместо 2). Интуитивно: элемент z является «малым» и «близким к 0» тогда и только тогда, когда его оценка ν( z ) велика. Функция |xy|, дополненная |0|=0, является ограничением абсолютного значения, определенного на поле дробей кольца дискретной оценки.

DVR компактен тогда и только тогда, когда он полон и его поле вычетов R / M является конечным полем .

Примеры полных DVR включают в себя:

• кольцо целых p -адических чисел и
• кольцо формальных степенных рядов над любым полем

Для заданного DVR часто переходят к его завершению , полному DVR, содержащему заданное кольцо, которое часто легче изучать. Эту процедуру завершения можно рассматривать геометрически как переход от рациональных функций к степенным рядам или от рациональных чисел к действительным числам .

Возвращаясь к нашим примерам: кольцо всех формальных степенных рядов от одной переменной с действительными коэффициентами является пополнением кольца рациональных функций, определенных (т.е. конечных) в окрестности 0 на действительной прямой; оно также является пополнением кольца всех действительных степенных рядов, сходящихся вблизи 0. Пополнение (которое можно рассматривать как множество всех рациональных чисел, являющихся p -адическими целыми числами) является кольцом всех p -адических целых чисел Z _p . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\mathbb {Q} \cap \mathbb {Z} _{p}}$

Смотрите также

• Категория:Локализация (математика)
• Местное кольцо
• Разветвление местных полей
• Кольцо Коэна
• Кольцо оценки

Ссылки

1. "ac.commutative algebra - Условие нётеровости локального кольца, максимальный идеал которого является главным". MathOverflow .

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-43334-7, г-н  2286236
• Кольцо дискретного оценивания, Энциклопедия математики .