Подвеска (топология)

Подвеска круга . Исходное пространство обозначено синим цветом, а свернутые конечные точки — зеленым.

В топологии , разделе математики , подвеска топологического пространства X интуитивно получается путем растяжения X в цилиндр и последующего сжатия обоих торцов в точки. X рассматривается как «подвешенный» между этими конечными точками. Подвеска X обозначается как SX ^[1] или susp( X ) . ^{[2] : 76}

Существует разновидность подвески для заостренного пространства , которая называется редуцированной подвеской и обозначается Σ X. «Обычную» подвеску SX иногда называют нередуцированной подвеской , небазовой подвеской или свободной подвеской X , чтобы отличать ее от Σ X.

Бесплатная приостановка

(Свободную) подвеску топологического пространства можно определить несколькими способами. ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X}$

1. является факторпространством. Другими словами, его можно построить следующим образом: ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle (X\times [0,1])/(X\times \{0\}){\big /}(X\times \{1\}).}$

• Постройте цилиндр . ${\displaystyle X\times [0,1]}$
• Рассматривайте все множество как одну точку («склеивайте» все его точки вместе). ${\displaystyle X\times \{0\}}$
• Рассматривайте все множество как одну точку («склеивайте» все его точки вместе). ${\displaystyle X\times \{1\}}$

2. Другой способ записать это:

${\displaystyle SX:=v_{0}\cup _{p_{0}}(X\times [0,1])\cup _{p_{1}}v_{1}\ =\ \varinjlim _{i\in \{0,1\}}{\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{i\})\xrightarrow {p_{i}} v_{i}{\bigr )},}$

Где две точки , и для каждого i в {0,1}, является проекцией на точку (функция, которая отображает все в ). Это означает, что подвеска является результатом построения цилиндра , а затем прикрепления его гранями и , к точкам вдоль проекций . ${\displaystyle v_{0},v_{1}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$ ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle X\times \{1\}}$ ${\displaystyle v_{0},v_{1}}$ ${\displaystyle p_{i}:{\bigl (}X\times \{i\}{\bigr )}\to v_{i}}$

3. Можно рассматривать как два конуса на X, склеенных у основания. ${\displaystyle SX}$

4. также может быть определено как соединение , где — дискретное пространство с двумя точками. ^{[2] : 76} ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X\star S^{0},}$ ${\displaystyle S^{0}}$

5. В теории гомотопических типов определяется как высший индуктивный тип, порожденный ${\displaystyle SX}$

С: ${\displaystyle SX}$

Н: ${\displaystyle SX}$

${\displaystyle Merid:{\bigl (}X{\bigr )}\to (N=S)}$^[3]

Характеристики

Грубо говоря, S увеличивает размерность пространства на единицу: например, преобразует n - мерную сферу в ( n + 1)-мерную сферу при n ≥ 0.

При наличии непрерывного отображения существует непрерывное отображение, определяемое как где квадратные скобки обозначают классы эквивалентности . Это превращает в функтор из категории топологических пространств в себя. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y,}$ ${\displaystyle Sf:SX\rightarrow SY}$ ${\displaystyle Sf([x,t]):=[f(x),t],}$ ${\displaystyle S}$

Уменьшенная подвеска

Если X — это заостренное пространство с точкой отсчета x ₀ , то существует вариация подвески, которая иногда более полезна. Редуцированная подвеска или базовая подвеска Σ X пространства X — это фактор-пространство:

${\displaystyle \Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)}$.

Это эквивалентно взятию SX и стягиванию линии ( x ₀ × I  ), соединяющей два конца, в одну точку. Базовая точка отмеченного пространства Σ X принимается за класс эквивалентности ( x ₀ , 0).

Можно показать , что редуцированная подвеска X гомеоморфна сжатому произведению X с единичной окружностью S ¹ .

${\displaystyle \Sigma X\cong S^{1}\wedge X}$

Для хорошо ведущих себя пространств, таких как комплексы CW , редуцированная подвеска X гомотопически эквивалентна небазовой подвеске.

Присоединение функторов редуцированной подвески и пространства циклов

Σ порождает функтор из категории выделенных пространств в себя. Важным свойством этого функтора является то, что он является левым сопряженным к функтору, переводящему выделенное пространство в его пространство петель . Другими словами, мы имеем естественный изоморфизм ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}\left(\Sigma X,Y\right)\cong \operatorname {Maps} _{*}\left(X,\Omega Y\right)}$

где и являются точечными пространствами и обозначают непрерывные отображения, которые сохраняют базовые точки. Это присоединение можно понять геометрически следующим образом: возникает из , если точечный круг присоединен к каждой не базовой точке , и базовые точки всех этих кругов идентифицированы и склеены с базовой точкой . Теперь, чтобы указать точечное отображение из в , нам нужно задать точечные отображения из каждого из этих точечных кругов в . Это означает, что нам нужно связать с каждым элементом цикла в (элемент пространства циклов ), и тривиальный цикл должен быть связан с базовой точкой : это точечное отображение из в . (Необходимо проверить непрерывность всех задействованных отображений.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Maps} _{*}}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega Y}$

Таким образом, присоединение похоже на каррирование , переводя отображения декартовых произведений в их каррированную форму, и является примером двойственности Экмана–Хилтона .

Это дополнение является частным случаем дополнения, описанного в статье о продуктах smash .

Приложения

Редуцированная подвеска может быть использована для построения гомоморфизма гомотопических групп , к которому применима теорема Фрейденталя о подвеске . В гомотопической теории явления, которые сохраняются при подвеске, в подходящем смысле, составляют стабильную гомотопическую теорию .

Примеры

Вот несколько примеров отстранений: ^{[4] : 77, Упражнение 1}

• Подвеска n-шара гомеоморфна (n+1)-шару.

Десуспензия

Десуспензия — операция, частично обратная суспензии. ^[5]

Смотрите также

• Теорема о двойной подвеске
• Конус (топология)
• Присоединиться (топология)

Ссылки

1. Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Cambridge University Presses, Кембридж, 2002. xii+544 стр. ISBN  0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0 
2. Matoušek, Jiří (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером.
3. "тип подвески в nLab". ncatlab.org . Получено 2024-08-20 .
4. Матоушек, Йиржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером., Раздел 4.3
5. Уолкотт, Люк. «Воображение отрицательно-мерного пространства» (PDF) . forhelukeofmath.com . Получено 23.06.2015 .

• В данной статье использованы материалы Suspension on PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .