В математике , особенно в области теории групп , подгруппа Картера конечной группы G — это самонормализующаяся подгруппа группы G , которая нильпотентна . Эти подгруппы были введены Роджером Картером и положили начало теории разрешимых групп после 1960 года (Wehrfritz 1999).
Картер (1961) доказал, что любая конечная разрешимая группа имеет подгруппу Картера, и все ее подгруппы Картера являются сопряженными подгруппами (и, следовательно, изоморфны). Если группа неразрешима, она не обязана иметь никаких подгрупп Картера: например, знакопеременная группа A 5 порядка 60 не имеет подгрупп Картера. Вдовин (2006, 2007) показал, что даже если конечная группа неразрешима, то любые две подгруппы Картера сопряжены.
Подгруппа Картера является максимальной нильпотентной подгруппой из-за условия нормализатора для нильпотентных групп, но не все максимальные нильпотентные подгруппы являются подгруппами Картера (Ballester-Bolinches & Ezquerro 2006, стр. 100). Например, любая нетождественная собственная подгруппа неабелевой группы шестого порядка является максимальной нильпотентной подгруппой, но только подгруппы второго порядка являются подгруппами Картера. Каждая подгруппа, содержащая подгруппу Картера разрешимой группы, также является самонормализующейся, и разрешимая группа порождается любой подгруппой Картера и ее нильпотентным остатком (Schenkman 1975, VII.4.a).
Гашюц (1962) рассматривал подгруппы Картера как аналоги подгрупп Силова и подгрупп Холла и объединил их трактовку с теорией формаций . На языке формаций силовская p -подгруппа является покрывающей группой для формирования p -групп, холлова π -подгруппа является покрывающей группой для формирования π -групп, а подгруппа Картера является покрывающей группой для формирования нильпотентных групп (Ballester-Bolinches & Ezquerro 2006, стр. 100). Вместе с важным обобщением, классами Шунка , и важной дуализацией, классами Фишера , формации сформировали основные темы исследований конца 20-го века в теории конечных разрешимых групп.
Двойственное понятие подгрупп Картера было введено Берндом Фишером в (Fischer 1966). Подгруппа Фишера группы — это нильпотентная подгруппа, содержащая каждую другую нильпотентную подгруппу, которую она нормализует. Подгруппа Фишера — это максимальная нильпотентная подгруппа, но не каждая максимальная нильпотентная подгруппа является подгруппой Фишера: снова неабелева группа порядка шесть дает пример, поскольку каждая нетождественная собственная подгруппа является максимальной нильпотентной подгруппой, но только подгруппа порядка три является подгруппой Фишера (Wehrfritz 1999, стр. 98).