Склон

Математический термин

Склон: ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}$

В математике наклон или градиент линии — это число, которое описывает направление линии на плоскости . ^[1] Часто обозначаемый буквой m , наклон рассчитывается как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению ( « подъем над пробегом») между двумя различными точками на линии, давая одно и то же число для любого выбора точек.

Линия может быть физической – установленной дорожным инспектором , наглядная, как на схеме дороги или крыши, или абстрактная . Применение математической концепции можно найти в уклоне или градиенте в географии и гражданском строительстве .

Крутизна , наклон или уклон линии — это абсолютное значение ее наклона: большее абсолютное значение указывает на более крутую линию. Тренд линии определяется следующим образом:

• «Возрастающая» или «восходящая» линия идет слева направо и имеет положительный наклон: . ${\displaystyle m>0}$
• «Убывающая» или «нисходящая» линия идет слева направо и имеет отрицательный наклон: . ${\displaystyle m<0}$

Специальные направления:

• Линия «(квадратная) диагональ » имеет единичный наклон: ${\displaystyle m=1}$
• «Горизонтальная» линия (график постоянной функции ) имеет нулевой наклон: . ${\displaystyle m=0}$
• «Вертикальная» линия имеет неопределенный или бесконечный наклон (см. ниже).

Если две точки дороги имеют высоты y ₁ и y ₂ , подъем равен разности ( y ₂ − y ₁ ) = Δ y . Пренебрегая кривизной Земли , если две точки имеют горизонтальное расстояние x ₁ и x ₂ от фиксированной точки, пробег равен ( x ₂ − x ₁ ) = Δ x . Наклон между двумя точками равен разностному отношению :

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

В тригонометрии наклон m прямой связан с ее углом наклона θ с помощью тангенса функции

${\displaystyle m=\tan(\theta ).}$

Таким образом, восходящая линия под углом 45° имеет наклон m = +1, а нисходящая линия под углом 45° имеет наклон m = −1.

Обобщая это, дифференциальное исчисление определяет наклон плоской кривой в точке как наклон ее касательной в этой точке. Когда кривая аппроксимируется серией точек, наклон кривой может быть аппроксимирован наклоном секущей линии между двумя близлежащими точками. Когда кривая задана как график алгебраического выражения , исчисление дает формулы для наклона в каждой точке. Таким образом, наклон является одной из центральных идей исчисления и его приложений к проектированию.

Обозначение

Кажется, нет четкого ответа на вопрос, почему буква m используется для обозначения наклона, но впервые она появляется в английском языке у О'Брайена (1844) ^[2], который ввел уравнение прямой как « y = mx + b » , а также ее можно найти у Тодхантера (1888) ^[3], который написал « y = mx + c ». ^[4]

Определение

Наклон проиллюстрирован для y = (3/2) x − 1. Нажмите, чтобы увеличить

Наклон прямой в системе координат от f ( x ) = −12 x + 2 до f ( x ) = 12 x + 2

Наклон линии в плоскости, содержащей оси x и y, обычно обозначается буквой m ^[5] и определяется как изменение координаты y , деленное на соответствующее изменение координаты x , между двумя различными точками на линии. Это описывается следующим уравнением:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertical}}\,{\text{change}}}{{\text{horizontal}}\,{\text{change}}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}.}$

(Греческая буква дельта , Δ, обычно используется в математике для обозначения «разницы» или «изменения».)

При наличии двух точек и изменение от одной до другой равно ( run ), а изменение равно ( raise ). Подстановка обеих величин в приведенное выше уравнение дает формулу: ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Формула не работает для вертикальной линии, параллельной оси (см. Деление на ноль ), где наклон можно принять бесконечным , поэтому наклон вертикальной линии считается неопределенным. ${\displaystyle y}$

Примеры

Предположим, что линия проходит через две точки: P  = (1, 2) и Q  = (13, 8). Разделив разницу в -координатах на разницу в -координатах, можно получить наклон линии: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}.}$

Поскольку наклон положительный, направление линии увеличивается. Поскольку | m | < 1, наклон не очень крутой (наклон < 45°).

В качестве другого примера рассмотрим линию, проходящую через точки (4, 15) и (3, 21). Тогда наклон линии равен

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

Поскольку наклон отрицательный, направление линии убывает. Поскольку | m | > 1, этот спад довольно крутой (спад > 45°).

Алгебра и геометрия

Наклоны параллельных и перпендикулярных линий

• Если является линейной функцией , то коэффициент при является наклоном линии, созданной путем построения графика функции. Поэтому, если уравнение линии задано в виде ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

  ${\displaystyle y=mx+b}$

  тогда - наклон. Эта форма уравнения прямой называется формой наклона-пересечения , потому что может быть интерпретирована как y-пересечение прямой, то есть -координата, где прямая пересекает -ось. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$
• Если известны наклон прямой и точка на прямой, то уравнение прямой можно найти с помощью формулы наклона точки : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

  ${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}).}$

• Наклон линии, определяемой линейным уравнением
  ${\displaystyle ax+by+c=0}$
  является

  ${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$.

• Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не являются одной и той же прямой (не совпадают) и либо их наклоны равны, либо они обе вертикальны и, следовательно, обе имеют неопределенные наклоны.
• Две прямые перпендикулярны, если произведение их наклонов равно −1 или одна из них имеет наклон 0 (горизонтальная прямая), а другая имеет неопределенный наклон (вертикальная прямая).
• Угол θ между −90° и 90°, который линия образует с осью x, связан с наклоном m следующим образом:
  ${\displaystyle m=\tan(\theta )}$
  и

  ${\displaystyle \theta =\arctan(m)}$   (это обратная функция тангенса; см. обратные тригонометрические функции ).

Примеры

Например, рассмотрим линию, проходящую через точки (2,8) и (3,20). Эта линия имеет наклон, м , равный

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}=12.}$

Затем можно записать уравнение линии в форме точки-наклона:

${\displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24.}$

или:

${\displaystyle y=12x-16.}$

Угол θ между −90° и 90°, который эта линия образует с осью x, равен

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }.}$

Рассмотрим две прямые: y = −3 x + 1 и y = −3 x − 2 . Обе прямые имеют наклон m = −3 . Это не одна и та же линия. Поэтому они параллельные прямые.

Рассмотрим две прямые y = −3 x + 1 и y = ⁠х/3⁠ − 2 . Наклон первой линии равен m ₁ = −3 . Наклон второй линии равен m ₂ = ⁠1/3⁠ . Произведение этих двух наклонов равно −1. Таким образом, эти две линии перпендикулярны.

Статистика

В статистике градиент линии регрессии наименьших квадратов, наиболее точно соответствующей заданной выборке данных, можно записать как:

${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$,

Эта величина m называется наклоном регрессии для линии . Величина является коэффициентом корреляции Пирсона , является стандартным отклонением значений y и является стандартным отклонением значений x. Это также может быть записано как отношение ковариаций : ^[6] ${\displaystyle y=mx+c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s_{y}}$ ${\displaystyle s_{x}}$

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}}$

Уклон дороги или железной дороги

Существует два распространенных способа описания крутизны дороги или железной дороги . Один из них — это угол между 0° и 90° (в градусах), а другой — уклон в процентах. См. также крутая железная дорога и зубчатая железная дорога .

Формулы для преобразования уклона, заданного в процентах, в угол в градусах и наоборот:

${\displaystyle {\text{angle}}=\arctan \left({\frac {\text{slope}}{100\%}}\right)}$(это обратная функция тангенса; см. тригонометрию )

и

${\displaystyle {\mbox{slope}}=100\%\times \tan({\mbox{angle}}),}$

где угол измеряется в градусах, а тригонометрические функции работают в градусах. Например, наклон в 100 % или 1000 ‰ — это угол в 45°.

Третий способ — дать одну единицу подъема, скажем, в 10, 20, 50 или 100 горизонтальных единицах, например, 1:10. 1:20, 1:50 или 1:100 (или «1 из 10», «1 из 20» и т. д.) 1:10 круче, чем 1:20. Например, крутизна 20% означает 1:5 или уклон с углом 11,3°.

Автомобильные и железные дороги имеют как продольные, так и поперечные уклоны.

• 
  Предупреждающий знак о склоне в Нидерландах
• 
  Предупреждающий знак о склоне в Польше
• 
  Участок железной дороги длиной 1371 метр с уклоном 20 ‰ . Чешская Республика
• 
  Уклонный столб паровой железной дороги, указывающий уклон в обоих направлениях на железнодорожной станции Меолс , Великобритания

Исчисление

В каждой точке производная — это наклон линии , касательной к кривой в этой точке. Примечание: производная в точке A положительна там, где зеленая и штрихпунктирная, отрицательна там , где красная и штриховая, и нуль там, где черная и сплошная.

Понятие наклона является центральным в дифференциальном исчислении . Для нелинейных функций скорость изменения меняется вдоль кривой. Производная функции в точке — это наклон касательной к кривой в этой точке и, таким образом, равна скорости изменения функции в этой точке.

Если мы допустим, что Δ x и Δ y будут расстояниями (вдоль осей x и y соответственно) между двумя точками на кривой, то наклон, заданный приведенным выше определением,

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$,

это наклон секущей линии к кривой. Для линии секущая между любыми двумя точками является самой линией, но это не относится к любому другому типу кривой.

Например, наклон секущей, пересекающей y = x ² в точках (0,0) и (3,9), равен 3. (Наклон касательной в точке x = 3 ⁄ 2 также равен 3 —  следствие теоремы о среднем значении .)

При сближении двух точек так, чтобы Δ y и Δ x уменьшались, секущая линия более точно приближается к касательной к кривой, и, таким образом, наклон секущей приближается к наклону касательной. Используя дифференциальное исчисление , мы можем определить предел или значение, к которому Δ y /Δ x приближается по мере того, как Δ y и Δ x приближаются к нулю ; отсюда следует, что этот предел является точным наклоном касательной. Если y зависит от x , то достаточно взять предел, где только Δ x приближается к нулю. Следовательно, наклон касательной является пределом Δ y /Δ x по мере того, как Δ x приближается к нулю, или d y /d x . Мы называем этот предел производной .

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Значение производной в определенной точке функции дает нам наклон касательной в этом точном месте. Например, пусть y = x ² . Точка на этой функции — это (−2,4). Производная этой функции — это d y ⁄ d x = 2 x . Таким образом, наклон касательной к y в точке (−2,4) равен 2 ⋅ (−2) = −4 . Уравнение этой касательной: y − 4 = (−4)( x − (−2)) или y = −4 x − 4 .

Разница уклонов

Иллюзия парадокса площадей рассеивается путем сравнения наклонов в местах пересечения синих и красных треугольников.

Расширение идеи угла следует из разности наклонов. Рассмотрим отображение сдвига

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Затем отображается в . Наклон равен нулю, а наклон равен . Отображение сдвига добавило наклон . Для двух точек на с наклонами и изображение ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (1,v)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (1,v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \{(1,y):y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

имеет наклон, увеличенный на , но разность наклонов одинакова до и после сдвига. Эта инвариантность разностей наклонов делает наклон угловой инвариантной мерой , наравне с круговым углом (инвариантным относительно вращения) и гиперболическим углом, с группой инвариантности отображений сжатия . ^{[7] [8]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n-m}$

Другие применения

Понятие наклона или градиента также используется в качестве основы для разработки других приложений в математике:

• Градиентный спуск , итерационный алгоритм оптимизации первого порядка для нахождения минимума функции
• Теорема о градиенте , теорема о том, что линейный интеграл через градиентное поле может быть оценен путем оценки исходного скалярного поля в конечных точках кривой.
• Метод градиента , алгоритм решения задач с направлениями поиска, определяемыми градиентом функции в текущей точке.
• Метод сопряженных градиентов , алгоритм численного решения частных систем линейных уравнений.
• Нелинейный метод сопряженных градиентов , обобщает метод сопряженных градиентов для нелинейной оптимизации.
• Стохастический градиентный спуск , итерационный метод оптимизации дифференцируемой целевой функции

Смотрите также

• Евклидово расстояние
• Оценка
• Наклонная плоскость
• Линейная функция
• Линия наибольшего наклона
• Медиант
• Определения уклона
• Оценка Тейла–Сена , линия со средним наклоном среди набора точек выборки

Ссылки

1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient" (PDF) . Addison-Wesley. стр. 348. Архивировано из оригинала (PDF) 29 октября 2013 г. . Получено 1 сентября 2013 г. .
2. О'Брайен, М. (1844), Трактат о плоской координатной геометрии или применение метода координат в решении задач плоской геометрии , Кембридж, Англия: Deightons
3. Тодхантер, И. (1888), Трактат о плоской координатной геометрии в применении к прямой линии и коническим сечениям , Лондон: Macmillan
4. Weisstein, Eric W. "Slope". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Архивировано из оригинала 6 декабря 2016 года . Получено 30 октября 2016 года .
5. Ранний пример этого соглашения можно найти в Salmon, George (1850). A Treatise on Conic Sections (2nd ed.). Dublin: Hodges and Smith. pp. 14–15.
6. Дальнейшие математические единицы 3 и 4 VCE (пересмотренные) . Cambridge Senior Mathematics. 2016. ISBN 9781316616222– через физическую копию.
7. Болт, Майкл; Фердинандс, Тимоти; Кавли, Лэндон (2009). «Самые общие плоские преобразования, которые отображают параболы в параболы». Involve: A Journal of Mathematics . 2 (1): 79–88. doi : 10.2140/involve.2009.2.79 . ISSN  1944-4176. Архивировано из оригинала 2020-06-12 . Получено 2021-05-22 .
8. Абстрактная алгебра/Сдвиг и наклон в Wikibooks

Внешние ссылки

• «Наклон прямой (координатная геометрия)». Math Open Reference. 2009. Получено 30 октября 2016 .интерактивный