Теория подъемной линии

Математическая модель для количественной оценки подъема

Теория подъемной линии Прандтля ^[1] представляет собой математическую модель в аэродинамике , которая предсказывает распределение подъемной силы по трехмерному крылу на основе его геометрии. Она также известна как теория крыла Ланчестера-Прандтля . ^[2]

Теория была высказана независимо ^[3] Фредериком В. Ланчестером в 1907 году, ^[4] и Людвигом Прандтлем в 1918–1919 годах ^[5] после работы с Альбертом Бетцем и Максом Мунк .

В этой модели связанный вихрь теряет силу по всему размаху крыла, поскольку он сбрасывается как вихревая полоса с задней кромки, а не как одиночный вихрь с законцовок крыла. ^{[6] [7]}

Введение

Профили в двух измерениях легче понять, но они не сопоставляются напрямую с трехмерными конечными крыльями.

Нереалистичное распределение подъемной силы, пренебрегающее трехмерными эффектами.

Распределение подъемной силы, наблюдаемое над (конечным) трапециевидным крылом

Трудно аналитически предсказать общую подъемную силу, которую будет создавать крыло заданной геометрии. При анализе трехмерного конечного крыла первым приближением к пониманию является рассмотрение разделения крыла на поперечные сечения и анализ каждого сечения независимо как крыла в двумерном мире. Каждый из этих фрагментов называется аэродинамическим профилем , и легче понять аэродинамический профиль, чем полное трехмерное крыло.

Можно было бы ожидать, что понимание полного крыла просто включает в себя сложение независимо рассчитанных сил от каждого сегмента профиля. Однако оказывается, что это приближение совершенно неверно: на реальном крыле подъемная сила над каждым сегментом крыла (локальная подъемная сила на единицу размаха или ) не просто соответствует тому, что предсказывает двумерный анализ. В действительности локальная подъемная сила в каждом поперечном сечении не является независимой и сильно зависит от соседних секций крыла. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\tilde {L}}}$

Теория подъемных линий исправляет некоторые ошибки в наивном двумерном подходе, включая некоторые взаимодействия между срезами крыла. Он обеспечивает распределение подъемной силы по размаху крыла на основе геометрии крыла (распределение хорды, профиля и крутки по размаху) и условий обтекания ( , , ). ${\displaystyle {\tilde {L}}_{(y)}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle \alpha _{\infty }}$

Принцип

Теория подъемных линий применяет концепцию циркуляции и теорему Кутты-Жуковского .

${\displaystyle {\tilde {L}}_{(y)}=\rho V\Gamma _{(y)},}$

так что вместо функции распределения подъемной силы неизвестным фактически становится распределение циркуляции по пролету . ${\displaystyle \Gamma _{(y)}}$

• 
  Распределение подъемной силы по крылу можно смоделировать с помощью концепции циркуляции.
• 
  Вихрь возникает вниз по потоку при каждом изменении подъемной силы по размаху.

Моделирование локального подъема (неизвестного и востребованного) с локальной циркуляцией (также неизвестной) позволяет учесть влияние одного участка на соседние. С этой точки зрения любое изменение подъемной силы по размаху эквивалентно изменению циркуляции по размаху. Согласно теоремам Гельмгольца , вихревая нить не может начинаться или заканчиваться в воздухе. Любое изменение подъемной силы по размаху можно смоделировать как сбрасывание вихревой нити вниз по потоку за крылом.

Этот сбрасываемый вихрь, сила которого является производной (неизвестного) локального распределения циркуляции крыла, влияет на поток слева и справа от секции крыла. ${\displaystyle d\Gamma /dy}$

• 
  Сбрасывающий вихрь можно смоделировать как вертикальное распределение скорости.
• 
  Восходящий и нисходящий потоки, вызванные сбрасывающим вихрем, можно рассчитать в каждом соседнем сегменте.

Это боковое влияние (восходящий поток на внешнем двигателе, нисходящий поток на внутреннем) является ключом к теории подъемной линии. Теперь, если известно изменение распределения подъемной силы на данном участке подъема, можно предсказать, как этот участок влияет на подъемную силу над соседними: вертикальную индуцированную скорость (восходящий или нисходящий поток ) можно определить количественно, используя распределение скорости внутри вихря . и связано с изменением эффективного угла атаки на соседних участках. ${\displaystyle \omega _{i}}$

В математических терминах локальное изменение угла атаки на данной секции можно выразить количественно с помощью интегральной суммы нисходящего потока, вызванного каждой другой секцией крыла. В свою очередь, целая сумма подъемной силы на каждой опущенной секции крыла равна (известной) общей желаемой величине подъемной силы. ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Это приводит к интегро-дифференциальному уравнению в виде , где выражается исключительно через геометрию крыла и его собственное изменение по размаху . Решением этого уравнения является функция , которая точно описывает распределение циркуляции (и, следовательно, подъемной силы) над конечным крылом известной геометрии. ${\displaystyle L_{\text{total}}=\rho V_{\infty }\int _{\text{tip}}^{\text{tip}}\Gamma _{(y)}\,dy}$ ${\displaystyle \Gamma _{(y)}}$ ${\displaystyle d\Gamma _{(y)}/dy}$ ${\displaystyle \Gamma _{(y)}}$

Вывод

(По материалам ^[8] )

Номенклатура:

• ${\displaystyle \ \Gamma }$— циркуляция по всему крылу (м ² /с)
• ${\displaystyle \ C_{L}}$- коэффициент подъемной силы 3D (для всего крыла)
• ${\displaystyle \ AR}$это соотношение сторон
• ${\displaystyle \ \alpha _{\infty }}$угол атаки набегающего потока (рад)
• ${\displaystyle \ V_{\infty }}$скорость набегающего потока (м/с)
• ${\displaystyle \ C_{D_{i}}}$коэффициент лобового сопротивления для индуцированного сопротивления
• ${\displaystyle \ e}$коэффициент эффективности плана

Ниже приведены все функции станции по размаху крыла (т.е. все они могут меняться вдоль крыла). ${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle \ C_{l}}$- коэффициент подъемной силы 2D (ед./м)
• ${\displaystyle \ \gamma }$— двумерная циркуляция на участке (м/с)
• ${\displaystyle \ c}$длина хорды локального сечения
• ${\displaystyle \ \alpha _{geo}}$- локальное изменение угла атаки из-за геометрического поворота крыла
• ${\displaystyle \ \alpha _{0}}$- угол атаки нулевой подъемной силы этого участка (зависит от геометрии профиля)
• ${\displaystyle \ C_{l_{\alpha }}}$- наклон двумерного коэффициента подъемной силы (единиц / мрад, зависит от геометрии профиля, см. Теорию тонкого профиля )
• ${\displaystyle \ \alpha _{i}}$изменение угла атаки из-за потока воды вниз
• ${\displaystyle \ w_{i}}$- местная скорость нисходящего потока

Чтобы построить модель, мы начинаем с предположения, что циркуляция крыла меняется в зависимости от местоположения по размаху. Предполагаемая функция является функцией Фурье. Во-первых, координата положения по размаху преобразуется на , где y — положение по размаху, а s — полуразмах крыла. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=s\cos(\theta )}$

и поэтому предполагается, что циркуляция равна:

${\displaystyle \Gamma (y)=\Gamma (\theta )=\gamma =4sV_{\infty }\sum _{n}{A_{n}\sin(n\theta })\qquad (1)}$

Поскольку циркуляция секции связана с уравнением: ${\displaystyle C_{l}}$

${\displaystyle C_{l}={\frac {2\gamma }{V_{\infty }c}}\qquad (2)}$

но поскольку коэффициент подъемной силы является функцией угла атаки:

${\displaystyle C_{l}=C_{l_{\alpha }}(\alpha _{\infty }+\alpha _{geo}-\alpha _{0}-\alpha _{i})\qquad (3)}$

следовательно, сила вихря на любой конкретной станции по размаху может быть определена уравнениями:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{2}}V_{\infty }cC_{l_{\alpha }}(\alpha _{\infty }+\alpha _{geo}-\alpha _{0}-\alpha _{i})\qquad (4)}$

В этом уравнении есть два неизвестных: значение для и значение для . Однако нисходящий поток является исключительно функцией циркуляции. Таким образом, мы можем определить значение через , перенести этот член в левую часть уравнения и решить. Нисходящий поток на любой данной станции является функцией всей вихревой системы навеса. Это определяется путем интегрирования влияния каждого дифференциального вихря на размах крыла. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \Gamma (y)}$

Дифференциальный элемент циркуляции:

${\displaystyle d\Gamma =4sV_{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }nA_{n}\cos(n\theta )d\theta \qquad (5)}$

Дифференциальный нисходящий поток из-за дифференциального элемента циркуляции (действует как половина бесконечной вихревой линии):

${\displaystyle dw_{i}={\frac {d\Gamma }{4\pi r}}\qquad (6)}$

Интегральное уравнение для размаха крыла для определения нисходящего потока в определенном месте:

${\displaystyle w_{i}=\int _{-s}^{s}{\frac {1}{y-y_{0}}}d\Gamma \qquad (7)}$

После соответствующих замен и интегрирований получим:

${\displaystyle w_{i}=V_{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nA_{n}\sin(n\theta )}{\sin(\theta )}}\qquad (8)}$

Итак, изменение угла атаки определяется ( при условии малых углов ):

${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {w_{i}}{V_{\infty }}}\qquad (9)}$

Подставив уравнения 8 и 9 в правую часть уравнения 4 и уравнение 1 в левую часть уравнения 4, мы получим:

${\displaystyle 4sV_{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin(n\theta )={\frac {1}{2}}V_{\infty }cC_{l_{\alpha }}\left[\alpha _{\infty }+\alpha _{geo}-\alpha _{0}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nA_{n}\sin(n\theta )}{\sin(\theta )}}\right]\qquad (10)}$

После перестановки получим ряд одновременных уравнений:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin(n\theta ){\bigg (}\sin(\theta )+{\frac {nC_{l\alpha }c}{8s}}{\bigg )}={\frac {C_{l\alpha }c}{8s}}\sin(\theta )(\alpha _{\infty }+\alpha _{geo}-\alpha _{0})\qquad (11)}$

Взяв конечное число членов, уравнение 11 можно выразить в матричной форме и решить для коэффициентов A. Обратите внимание, что левая часть уравнения представляет каждый элемент в матрице, а члены в правой части уравнения 11 представляют правую часть матрицы. матричной формы. Каждая строка в матричной форме представляет собой различную станцию ​​по пролету, а каждый столбец представляет различное значение n.

Подходящим выбором является линейное изменение между . Обратите внимание, что этот диапазон не включает значения 0 и , поскольку это приводит к сингулярной матрице, которую невозможно решить. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (0,\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$

Подъем и сопротивление из коэффициентов

Подъемную силу можно определить путем интегрирования условий циркуляции:

${\displaystyle {\text{Lift}}=\rho V_{\infty }\int _{-s}^{s}\Gamma (y)\cos {(\alpha _{i}(y))}dy\approx \rho V_{\infty }\int _{-s}^{s}\Gamma (y)dy}$

который можно свести к:

${\displaystyle C_{L}=\pi A\!RA_{1}}$

где – первый член решения уравнений, показанных выше. ${\displaystyle A_{1}}$

Индуцированное сопротивление можно определить по формуле

${\displaystyle {\text{D}}_{\text{i}}=\rho V_{\infty }\int _{-s}^{s}\Gamma (y)\sin {(\alpha _{i}(y))}dy\approx \rho V_{\infty }\int _{-s}^{s}\Gamma (y)\alpha _{i}(y)dy}$

который также можно свести к:

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}=\pi A\!R\sum _{n=1}^{\infty }nA_{n}^{2}}$

где - все члены решения одновременных уравнений, показанных выше. ${\displaystyle A_{n}}$

Более того, это выражение можно представить как функцию следующим образом: ${\displaystyle C_{L}}$

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}=\pi A\!RA_{1}^{2}+\pi A\!R\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}}$

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}=\pi A\!RA_{1}^{2}*{\frac {\pi A\!R}{\pi A\!R}}+\pi A\!R\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}*{\frac {\pi A\!RA_{1}^{2}}{\pi A\!RA_{1}^{2}}}}$

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}={\frac {\pi ^{2}A\!R^{2}A_{1}^{2}}{\pi A\!R}}+{\frac {\pi ^{2}A\!R^{2}A_{1}^{2}}{\pi A\!R}}*{\frac {\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}}{A_{1}^{2}}}}$

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}(1+{\frac {\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}}{A_{1}^{2}}})={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!Re}}}$

где

${\displaystyle \delta ={\frac {\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}}{A_{1}^{2}}}}$

${\displaystyle e={\frac {1}{1+\delta }}}$коэффициент эффективности пролета

Симметричное крыло

Для симметричного крыла четные члены коэффициентов ряда тождественно равны 0, поэтому их можно отбросить.

Катящиеся крылья

Когда самолет катится, можно добавить дополнительный термин, который добавляет расстояние между станциями крыла, умноженное на скорость крена, чтобы получить дополнительное изменение угла атаки. Уравнение 3 тогда принимает вид:

${\displaystyle C_{l}=C_{l_{\alpha }}\left(\alpha _{\infty }+\alpha _{geo}-\alpha _{0}-\alpha _{i}+{\frac {py}{s}}\right)\qquad (3)}$

где

• ${\displaystyle \ p}$- скорость крена в рад/сек,

Обратите внимание, что y может быть отрицательным, что приводит к появлению в уравнении ненулевых четных коэффициентов, которые необходимо учитывать.

Когда крыло вращается, индуцированное сопротивление изменяется, поскольку вектор подъемной силы вращается на каждом участке размаха из-за скорости вращения. ^[9] Результирующее индуцированное сопротивление для крыла со скоростью качения равно

${\displaystyle C_{D_{\text{induced}}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}(1+{\frac {\sum _{n=2}^{\infty }nA_{n}^{2}}{A_{1}^{2}}})-{\frac {\pi A\!R{\bar {p}}}{2}}A_{2}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!Re}}-{\frac {\pi A\!R{\bar {p}}}{2}}A_{2}}$

где

• ${\displaystyle {\bar {p}}={\frac {pb}{2V}}}$– безразмерная скорость прокатки.

Аналогичное изменение индуцированного сопротивления также присутствует, когда крыло машет, и составляет основную часть тяги для махающих крыльев. ^[9]

Контроль отклонения

Эффект отклонения поверхности управления можно учесть, просто изменив член в уравнении 3. Для несимметричных органов управления, таких как элероны, этот член меняется на каждой стороне крыла. ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$

Эллиптические крылья

Для эллиптического крыла без крутки:

${\displaystyle y(\theta )=s\cos(\theta )}$

Длина хорды определяется как функция положения пролета следующим образом:

${\displaystyle c(\theta )=c_{root}\sin(\theta )}$

Также,

${\displaystyle e=1}$

Это дает знаменитое уравнение для коэффициента эллиптического индуцированного сопротивления:

${\displaystyle C_{D_{induced}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}}$

где

• ${\displaystyle s}$- значение размаха крыла,
• ${\displaystyle y(\theta )}$- положение на размахе крыла, а
• ${\displaystyle c(\theta )}$это аккорд.

Разложенное решение Фурье

Решение с разложением ряда Фурье можно использовать для индивидуального изучения влияния формы в плане, скручивания, отклонения управления и скорости качения. ^{[10] [11]}

Полезные приближения

Полезное приближение ^{[ нужна ссылка ]} состоит в том, что

${\displaystyle \ C_{L}=C_{l_{\alpha }}\left({\frac {\text{AR}}{{\text{AR}}+2}}\right)\alpha }$

где

• ${\displaystyle \ C_{\text{L}}}$— трехмерный коэффициент подъемной силы для эллиптического распределения циркуляции,
• ${\displaystyle \ C_{l_{\alpha }}}$- наклон коэффициента подъемной силы 2D (см. Теорию тонкого профиля ),
• ${\displaystyle \ {\text{AR}}}$это соотношение сторон , и
• ${\displaystyle \ \alpha }$— угол атаки в радианах.

Теоретическое значение составляет 2 . Обратите внимание, что это уравнение становится уравнением тонкого профиля , если AR стремится к бесконечности. ^[12] ${\displaystyle \ C_{l_{\alpha }}}$ ${\displaystyle \pi }$

Как видно выше, теория подъемной линии также формулирует уравнение для индуцированного сопротивления : ^{[13] [14]}

${\displaystyle \ C_{D_{i}}={\frac {{C_{L}}^{2}}{\pi {\text{AR}}e}}}$

где

• ${\displaystyle \ C_{D_{i}}}$- компонент вынужденного сопротивления коэффициента сопротивления ,
• ${\displaystyle \ C_{L}}$- коэффициент подъемной силы 3D ,
• ${\displaystyle \ {\text{AR}}}$это соотношение сторон ,
• ${\displaystyle \ e}$- число эффективности Освальда (или коэффициент эффективности пролета). Оно равно 1 для распределения эллиптической циркуляции и обычно указывается в таблице для других распределений.

Интересные решения

Согласно теории подъемной линии, любую форму крыла в плане можно скрутить, чтобы получить эллиптическое распределение подъемной силы. ^[11]

Ограничения теории

Теория подъемной линии не учитывает следующее:

• Сжимаемый поток
• Вязкий поток
• стреловидные крылья
• Крылья с малым удлинением
• Нестационарные потоки

Смотрите также

• Подковообразный вихрь
• Состояние Кутты
• Теория тонкого профиля
• Метод вихревой решетки

Примечания

1. Андерсон, Джон Д. (2001), Основы аэродинамики , стр. 360. МакГроу-Хилл, Бостон. ISBN  0-07-237335-0 .
2. Хоутон, Эл.; Карпентер, PW (2003). Баттерворт Хейнманн (ред.). Аэродинамика для студентов-инженеров (5-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-5111-3.
3. Карман, Теодор фон (2004) [1954]. Аэродинамика: избранные темы в свете их исторического развития . Дувр. ISBN 0-486-43485-0.
4. Ланчестер, Фредерик В. (1907). Констебль (ред.). Аэродинамика.
5. Прандтль, Людвиг (1918). Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (ред.). Трагфлюгельная теория .
6. Эбботт, Ира Х. и Фон Дёнхофф, Альберт Э., Теория секций крыла , Раздел 1.4.
7. Клэнси, LJ, Аэродинамика , Раздел 8.11.
8. Аэродинамика Сиднейского университета для студентов (pdf)
9. Филлипс, WF (28 февраля 2014 г.). «Аналитическое разложение крена и взмахов крыльев с использованием теории подъемной линии». Журнал самолетов . 51 (3): 761–778. дои : 10.2514/1.C032399.
10. Филлипс, Уоррен; Элли, Николас; Гудрич, Уэйн (23 июня 2003 г.), «Анализ подъемной линии управления креном и переменным кручением», 21-я конференция AIAA по прикладной аэродинамике , гидродинамики и совмещенные конференции, Американский институт аэронавтики и астронавтики, номер документа : 10.2514/6.2003 -4061, ISBN 978-1-62410-092-5, получено 2 декабря 2020 г.
11. Филлипс, WF (1 января 2004 г.). «Анализ подъемной линии для скрученных крыльев и крыльев, оптимизированных для вымывания». Журнал самолетов . 41 (1): 128–136. дои : 10.2514/1.262.
12. Объяснение коэффициента подъемной силы на сайте Aerospace Web.
13. Эбботт, Айра Х. и Фон Дёнхофф, Альберт Э., Теория секций крыла , Раздел 1.3
14. Клэнси, Л.Дж., Аэродинамика , Уравнение 5.7.

Рекомендации

• Л. Дж. Клэнси (1975), Аэродинамика , Pitman Publishing Limited, Лондон. ISBN 0-273-01120-0 
• Эбботт, Ира Х. и Фон Дёнхофф, Альберт Э. (1959), Теория секций крыла , Dover Publications Inc., Нью-Йорк. Стандартный номер книги 486-60586-8