Гравитационный поезд

Теоретические средства передвижения

Концепция гравитационного поезда Цереры . Добыча полезных ископаемых в поясе астероидов может использовать гравитационные поезда для транспортировки сырья в центральный пункт переработки и точку запуска / космический лифт

Гравитационный поезд — это теоретическое средство передвижения , предназначенное для поездок между двумя точками на поверхности сферы по прямолинейному туннелю , соединяющему эти две точки через внутреннюю часть сферы.

В большом теле, таком как планета , этот поезд мог бы разгоняться только силой тяжести , поскольку в течение первой половины пути (от точки отправления до середины) тяга вниз к центру тяжести будет тянуть его к месту назначения. Во время второй половины пути ускорение будет иметь противоположное направление относительно траектории, но, игнорируя эффекты трения , скорость, приобретенная ранее, преодолеет это замедление, и в результате скорость поезда достигнет нуля примерно в тот момент, когда поезд достигнет места назначения. ^{[1] [ нужен лучший источник ]}

Происхождение концепции

В 17 веке британский ученый Роберт Гук представил идею объекта, ускоряющегося внутри планеты, в письме Исааку Ньютону . Проект гравитационного поезда был серьезно представлен Французской академии наук в 19 веке. Та же идея была предложена, без расчетов, Льюисом Кэрроллом в 1893 году в Сильви и Бруно Заключение . Идея была заново открыта в 1960-х годах, когда физик Пол Купер опубликовал статью в Американском журнале физики, в которой предлагалось рассмотреть гравитационные поезда для будущего транспортного проекта. ^[2]

Математические соображения

При допущении о сферической планете с однородной плотностью и игнорировании релятивистских эффектов , а также трения, гравитационный поезд имеет следующие свойства: ^[3]

• Продолжительность путешествия зависит только от плотности планеты и гравитационной постоянной , но не от диаметра планеты.
• Максимальная скорость достигается в средней точке траектории.

Для гравитационных поездов между точками, которые не являются антиподами друг друга, справедливо следующее:

• Кратчайшим временным туннелем через однородную Землю является гипоциклоида ; в частном случае двух антиподных точек гипоциклоида вырождается в прямую линию.
• Все прямолинейные гравитационные поезда на данной планете тратят одинаковое количество времени на завершение путешествия (то есть, независимо от того, где на поверхности находятся две конечные точки их траектории).

Конкретно на планете Земля , поскольку движение гравитационного поезда является проекцией движения спутника на сверхнизкой орбите на прямую, оно имеет следующие параметры:

• Время в пути составляет 2530,30 секунд (почти 42,2 минуты, половина периода обращения спутника на низкой околоземной орбите), если предположить, что Земля представляет собой идеальную сферу однородной плотности.
• Принимая во внимание реалистичное распределение плотности внутри Земли, известное из предварительной эталонной модели Земли , ожидаемое время падения сокращается с 42 до 38 минут. ^[4]

Если представить некоторые цифры в перспективе, то самая глубокая текущая скважина — это Кольская сверхглубокая скважина с истинной глубиной 12 262 метра; чтобы преодолеть расстояние между Лондоном и Парижем (350 км) по гипоциклоидальному пути, потребовалось бы создание скважины глубиной 111 408 метров. Такая глубина не только в девять раз больше, но и потребовала бы туннеля, проходящего через мантию Земли .

Математическое выведение

Используя приближения, что Земля идеально сферична и имеет равномерную плотность , и тот факт, что внутри однородной полой сферы нет гравитации, гравитационное ускорение, испытываемое телом внутри Земли, пропорционально отношению расстояния от центра к радиусу Земли . Это происходит потому, что под землей на расстоянии от центра находится как бы на поверхности планеты радиусом , внутри полой сферы, которая ничего не дает. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle a={\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {G\rho V}{r^{2}}}={\frac {G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r^{3}}{r^{2}}}=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r}$

На поверхности, , поэтому гравитационное ускорение равно . Следовательно, гравитационное ускорение при равно ${\displaystyle r=R}$ ${\displaystyle g=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,R}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle a={\frac {r}{R}}\,g}$

Диаметральный путь к антиподам

В случае прямой линии, проходящей через центр Земли, ускорение тела равно ускорению силы тяжести: оно свободно падает прямо вниз. Мы начинаем падать на поверхности, поэтому в момент времени (считая ускорение и скорость положительными по направлению вниз): ${\displaystyle t}$

${\displaystyle r_{t}=R-\int _{0}^{t}v_{t}\,dt=R-\int _{0}^{t}\int _{0}^{t}a_{t}\,dt\,dt}$

Дифференцируем дважды:

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=-a_{t}=-{\frac {r}{R}}\,g=-\omega ^{2}\,r}$

где . Этот класс задач, где имеется восстанавливающая сила, пропорциональная смещению от нуля, имеет общие решения вида и описывает простое гармоническое движение , например, в пружине или маятнике . ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$ ${\displaystyle r=k\cos(\omega t+\varphi )}$

В этом случае мы начинаем на поверхности в нулевой момент времени и колеблемся вперед и назад вечно. ${\displaystyle r_{t}=R\cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$ ${\displaystyle r_{0}=R}$

Время путешествия до антиподов составляет половину одного цикла этого осциллятора, то есть время, за которое аргумент должен вымести радианы. Используя простые приближения этого времени, ${\displaystyle \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$ ${\displaystyle {\pi }}$ ${\displaystyle g=10{\text{ m}}/{\text{s}}^{2},R=6500{\text{ km}}}$

${\displaystyle T={\frac {\pi }{\omega }}={\frac {\pi }{\sqrt {\frac {g}{R}}}}\approx {\frac {3.1415926}{\sqrt {\frac {10}{6500000}}}}\approx 2532{\text{ s}}}$

Прямой путь между двумя произвольными точками

Путь гравитационного поезда

Для более общего случая прямолинейного пути между любыми двумя точками на поверхности сферы мы вычисляем ускорение тела, движущегося без трения по прямолинейному пути.

Тело движется по AOB, где O — середина пути и ближайшая к центру Земли точка на этом пути. На расстоянии вдоль этого пути сила тяжести зависит от расстояния до центра Земли, как указано выше. Используя сокращение для длины OC: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b=R\sin \theta }$

${\displaystyle g_{r}={\frac {x}{R}}\,g={\frac {\sqrt {r^{2}+b^{2}}}{R}}\,g}$

Результирующее ускорение тела, поскольку оно находится на наклонной поверхности без трения , равно : ${\displaystyle g_{r}\cos \varphi }$

Схема сил, действующих на гравитационный поезд на недиаметрально прямолинейном пути

${\displaystyle a_{r}=g_{r}\cos \varphi ={\frac {\sqrt {r^{2}+b^{2}}}{R}}\,g\cos \varphi }$

Но есть , поэтому подставим: ${\displaystyle \cos \varphi }$ ${\displaystyle r/x={\frac {r}{\sqrt {r^{2}+b^{2}}}}}$

${\displaystyle a_{r}={\frac {\sqrt {r^{2}+b^{2}}}{R}}\,g\,{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+b^{2}}}}={\frac {r}{R}}\,g}$

что для этого нового , расстояние вдоль AOB от O точно такое же , как и для в диаметральном случае вдоль ACD. Таким образом, оставшийся анализ тот же, учитывая начальное условие, что максимальное есть полное уравнение движения ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R\cos \theta =AO}$

${\displaystyle r_{t}=R\cos \theta \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$

Постоянная времени та же, что и в диаметральном случае, поэтому время в пути по-прежнему составляет 42 минуты; просто все расстояния и скорости масштабируются с использованием постоянной . ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$ ${\displaystyle \cos \theta }$

Зависимость от радиуса планеты

Постоянная времени зависит только от , поэтому, если мы расширим это, то получим ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\frac {g}{R}}}$

${\displaystyle {\frac {g}{R}}={\frac {GM/R^{2}}{R}}={\frac {GM}{R^{3}}}={\frac {G\rho \,V}{R^{3}}}={\frac {G\rho \,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3}}{R^{3}}}=G\rho \,{\frac {4}{3}}\pi }$

которая зависит только от гравитационной постоянной и плотности планеты. Размер планеты не имеет значения ; время путешествия одинаково, если плотность одинакова. ${\displaystyle \rho }$

В художественной литературе

В фильме 2012 года « Вспомнить всё » гравитационный поезд под названием «Падение» проходит через центр Земли, совершая поездки между Западной Европой и Австралией. ^{[5] [6]}

Смотрите также

• кривая брахистохроны
• Фуникулер
• Гиперлуп
• Хранение энергии на железной дороге
• настройка Шулера
• Колонизация пояса астероидов
• Космический лифт

Ссылки

1. Ньютон, Исаак. Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
2. «Всюду за 42 минуты». Time . 11 февраля 1966 г.
3. Робин Дэвис: несбыточная мечта физика ^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}
4. Клотц, Александр Р. (2015). «Гравитационный туннель в неоднородной Земле». American Journal of Physics . 83 (3): 231–237. arXiv : 1308.1342 . Bibcode : 2015AmJPh..83..231K. doi : 10.1119/1.4898780. S2CID  118572386.
5. Мартинес, Джейсон (13 августа 2012 г.). «Наука полного вспоминания». Блог Wolfram-Alpha . Получено 30 марта 2018 г.
6. Ротман, Лили (6 августа 2012 г.). «Осторожно, спойлер: дыра в 8000 миль в «Вспомнить все». Time . Получено 30 марта 2018 г. .

• Описание концепции гравитационного поезда и математического решения ( веб-страница Александра Еременко в Университете Пердью ).

Внешние ссылки

• Симуляция этого движения; включает туннели, которые не проходят через центр Земли. Также показывает спутник с тем же периодом.
• Гравитационный Экспресс
• Везде за 42 минуты