Цилиндр

Трёхмерное тело

Цилиндр (от древнегреческого κύλινδρος ( kúlindros )  'ролик, валик') ^[1] традиционно был трёхмерным телом , одной из самых основных криволинейных геометрических фигур . В элементарной геометрии он рассматривается как призма с кругом в основании.

Цилиндр также может быть определен как бесконечная криволинейная поверхность в различных современных разделах геометрии и топологии . Сдвиг в основном значении — твердое тело против поверхности (как в твердом шаре против сферической поверхности) — создал некоторую двусмысленность в терминологии. Эти два понятия можно различить, ссылаясь на твердые цилиндры и цилиндрические поверхности . В литературе неприукрашенный термин цилиндр может относиться к любому из них или к еще более специализированному объекту — прямому круговому цилиндру .

Типы

Определения и результаты в этом разделе взяты из текста « Плоская и стереометрическая геометрия» 1913 года Джорджа А. Вентворта и Дэвида Юджина Смита (Wentworth & Smith 1913).

Цилиндрическая поверхность — это поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной прямой и проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой. Любая прямая в этом семействе параллельных прямых называется элементом цилиндрической поверхности. С точки зрения кинематики , если задана плоская кривая, называемая директрисой , цилиндрическая поверхность — это поверхность, вычерченная линией, называемой образующей , не в плоскости директрисы, движущейся параллельно самой себе и всегда проходящей через директрису. Любое конкретное положение образующей является элементом цилиндрической поверхности.

Прямой и наклонный круговой цилиндр

Тело , ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями , называется (твердым) цилиндром . Отрезки прямых, определяемые элементом цилиндрической поверхности между двумя параллельными плоскостями, называются элементом цилиндра . Все элементы цилиндра имеют одинаковую длину. Область, ограниченная цилиндрической поверхностью в любой из параллельных плоскостей, называется основанием цилиндра . Два основания цилиндра являются конгруэнтными фигурами. Если элементы цилиндра перпендикулярны плоскостям, содержащим основания, цилиндр является прямым цилиндром , в противном случае он называется косым цилиндром . Если основания являются дисками (областями, граница которых является окружностью ), цилиндр называется круговым цилиндром . В некоторых элементарных трактовках цилиндр всегда означает круговой цилиндр. ^[2]

Высота цилиндра — это перпендикулярное расстояние между его основаниями.

Цилиндр, полученный вращением отрезка вокруг фиксированной линии, параллельной ему, является цилиндром вращения . Цилиндр вращения — это прямой круговой цилиндр. Высота цилиндра вращения — это длина образующего отрезка. Линия, вокруг которой вращается отрезок, называется осью цилиндра и проходит через центры двух оснований.

Прямой круговой цилиндр радиусом r и высотой h

Правильные круговые цилиндры

Термин «цилиндр» часто относится к сплошному цилиндру с круглыми концами, перпендикулярными оси, то есть прямому круговому цилиндру, как показано на рисунке. Цилиндрическая поверхность без концов называется открытым цилиндром . Формулы для площади поверхности и объема прямого кругового цилиндра известны с глубокой древности.

Прямой круговой цилиндр можно также рассматривать как тело вращения, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эти цилиндры используются в методе интегрирования («метод диска») для получения объемов тел вращения. ^[3]

Высокий и тонкий игольчатый цилиндр имеет высоту, значительно превышающую его диаметр, тогда как короткий и широкий дисковый цилиндр имеет диаметр, значительно превышающий его высоту.

Характеристики

Цилиндрические сечения

Цилиндрическое сечение

Цилиндрическое сечение — это пересечение поверхности цилиндра с плоскостью . Они, как правило, являются кривыми и являются особыми типами плоских сечений . Цилиндрическое сечение плоскостью, содержащей два элемента цилиндра, является параллелограммом . ^[4] Такое цилиндрическое сечение прямого цилиндра является прямоугольником . [ ^4]

Цилиндрическое сечение, в котором секущая плоскость пересекает и перпендикулярна всем элементам цилиндра, называется прямым сечением . ^[5] Если прямое сечение цилиндра является окружностью, то цилиндр является круговым цилиндром. В более общем случае, если прямое сечение цилиндра является коническим сечением (парабола, эллипс, гипербола), то сплошной цилиндр называется параболическим, эллиптическим и гиперболическим соответственно.

Цилиндрические сечения прямого кругового цилиндра

Для прямого кругового цилиндра существует несколько способов, которыми плоскости могут пересекать цилиндр. Во-первых, плоскости, пересекающие основание не более чем в одной точке. Плоскость касается цилиндра, если она пересекает цилиндр в одном элементе. Правые сечения представляют собой окружности, а все остальные плоскости пересекают цилиндрическую поверхность по эллипсу . ^[6] Если плоскость пересекает основание цилиндра ровно в двух точках, то отрезок прямой, соединяющий эти точки, является частью цилиндрического сечения. Если такая плоскость содержит два элемента, то ее цилиндрическое сечение представляет собой прямоугольник, в противном случае стороны цилиндрического сечения являются частями эллипса. Наконец, если плоскость содержит более двух точек основания, то она содержит все основание, а цилиндрическое сечение представляет собой окружность.

В случае прямого кругового цилиндра с цилиндрическим сечением, представляющим собой эллипс, эксцентриситет e цилиндрического сечения и большая полуось a цилиндрического сечения зависят от радиуса цилиндра r и угла α между секущей плоскостью и осью цилиндра следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}e&=\cos \alpha ,\\[1ex]a&={\frac {r}{\sin \alpha }}.\end{aligned}}}$$

Объем

Если основание кругового цилиндра имеет радиус r , а цилиндр имеет высоту h , то его объем определяется по формуле $${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$$

Эта формула верна независимо от того, является ли цилиндр прямым цилиндром. ^[7]

Эту формулу можно установить, используя принцип Кавальери .

Сплошной эллиптический прямой цилиндр с полуосями a и b основания эллипса и высотой h

В более общем виде, по тому же принципу, объем любого цилиндра является произведением площади основания на высоту. Например, эллиптический цилиндр с основанием, имеющим большую полуось a , малую полуось b и высоту h , имеет объем V = Ah , где A — площадь эллипса основания (= π ab ). Этот результат для прямых эллиптических цилиндров также может быть получен путем интегрирования, где ось цилиндра принимается за положительную ось x , а A ( x ) = A — площадь каждого эллиптического поперечного сечения, таким образом: $${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abdx=\pi ab\int _{0}^{h}dx=\pi abh.}$$

Используя цилиндрические координаты , объем прямого кругового цилиндра можно вычислить путем интегрирования $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz\\[5mu]&=\pi \,r^{2}\,h.\end{aligned}}}$$

Площадь поверхности

Площадь поверхности прямого кругового цилиндра, ориентированного так, что его ось расположена вертикально, имеет радиус r и высоту h и состоит из трех частей:

• площадь верхнего основания: π r ²
• площадь нижнего основания: π r ²
• площадь стороны: 2π rh

Площадь верхнего и нижнего оснований одинакова и называется площадью основания , B. Площадь стороны называется боковой площадью , L.

Открытый цилиндр не включает в себя ни верхний, ни нижний элементы и, следовательно, имеет площадь поверхности (боковую площадь) $${\displaystyle L=2\pi rh}$$

Площадь поверхности сплошного прямого кругового цилиндра складывается из суммы всех трех компонентов: верха, низа и боковины. Площадь его поверхности равна, следовательно, где d = 2 r — диаметр круглой верхушки или низа. $${\displaystyle A=L+2B=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(h+r)=\pi d(r+h)}$$

Для заданного объема, прямой круговой цилиндр с наименьшей площадью поверхности имеет h = 2 r . Эквивалентно, для заданной площади поверхности, прямой круговой цилиндр с наибольшим объемом имеет h = 2 r , то есть цилиндр плотно вписывается в куб с длиной стороны = высоте ( = диаметру окружности основания). ^[8]

Боковая площадь L кругового цилиндра, который не обязательно должен быть прямым цилиндром, в более общем виде определяется как, где e — длина элемента, а p — периметр правой части цилиндра. ^[9] Это дает предыдущую формулу для боковой площади, когда цилиндр является прямым круговым цилиндром. $${\displaystyle L=e\times p,}$$

Полый цилиндр

Прямоугольный полый цилиндр (цилиндрическая оболочка)

Прямой круговой полый цилиндр (или цилиндрическая оболочка ) представляет собой трехмерную область, ограниченную двумя прямыми круговыми цилиндрами, имеющими одну и ту же ось и два параллельных кольцевых основания, перпендикулярных общей оси цилиндров, как показано на диаграмме.

Пусть высота будет h , внутренний радиус r и внешний радиус R. Объем определяется по формуле Таким образом, объем цилиндрической оболочки равен 2π  × средний радиус × высота ×  толщина. [ ^10] $${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)h=2\pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)h(R-r).}$$  

Площадь поверхности, включая верхнюю и нижнюю, определяется по формуле: Цилиндрические оболочки используются в общем методе интегрирования для нахождения объемов тел вращения. ^[11] $${\displaystyle A=2\pi \left(R+r\right)h+2\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$$

О сфере и цилиндре

Объем и площадь поверхности сферы составляют 2/3 объема и площади поверхности описанного вокруг нее цилиндра, включая ее основания.

В трактате с таким названием, написанном около  225 г. до н. э. , Архимед получил результат, которым он больше всего гордился, а именно, получил формулы для объема и площади поверхности сферы , используя соотношение между сферой и описанным вокруг нее прямым круговым цилиндром той же высоты и диаметра . Сфера имеет объем, равный двум третям объема описанного цилиндра, и площадь поверхности, равную двум третям объема цилиндра (включая основания). Поскольку значения для цилиндра были уже известны, он впервые получил соответствующие значения для сферы. Объем сферы радиусом r равен ⁠4/3⁠ π r ³ = ⁠2/3⁠ (2 π r ³ ) . Площадь поверхности этой сферы равна 4 π r ² = ⁠2/3⁠ (6 π r ² ) . Скульптурная сфера и цилиндр были помещены на могилу Архимеда по его просьбе.

Цилиндрические поверхности

В некоторых областях геометрии и топологии термин «цилиндр» относится к тому, что называется цилиндрической поверхностью . Цилиндр определяется как поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной прямой и которые проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой. ^[12] Такие цилиндры иногда называют обобщенными цилиндрами . Через каждую точку обобщенного цилиндра проходит уникальная прямая, которая содержится в цилиндре. ^[13] Таким образом, это определение можно перефразировать, сказав, что цилиндр — это любая линейчатая поверхность, натянутая на однопараметрическое семейство параллельных прямых.

Цилиндр, имеющий правое сечение, которое является эллипсом , параболой или гиперболой, называется эллиптическим цилиндром , параболическим цилиндром и гиперболическим цилиндром соответственно. Это вырожденные квадратичные поверхности . ^[14]

Параболический цилиндр

Когда главные оси квадрики совмещены с системой отсчета (всегда возможно для квадрики), общее уравнение квадрики в трех измерениях задается с коэффициентами, являющимися действительными числами , и не все из A , B и C равны 0. Если хотя бы одна переменная не появляется в уравнении, то квадрика вырождена. Если одна переменная отсутствует, мы можем предположить с помощью соответствующего поворота осей , что переменная z не появляется, и общее уравнение этого типа вырожденной квадрики можно записать как ^[15] где $${\displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$$ $${\displaystyle A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2B}}\right)^{2}=\rho ,}$$ $${\displaystyle \rho =-H+{\frac {D^{2}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.}$$

Эллиптический цилиндр

Если AB > 0, то это уравнение эллиптического цилиндра . ^[15] Дальнейшее упрощение может быть получено путем переноса осей и скалярного умножения. Если имеет тот же знак, что и коэффициенты A и B , то уравнение эллиптического цилиндра можно переписать в декартовых координатах как: Это уравнение эллиптического цилиндра является обобщением уравнения обычного кругового цилиндра ( a = b ). Эллиптические цилиндры также известны как цилиндроиды , но это название неоднозначно, так как оно также может относиться к коноиду Плюккера . ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

Если имеет знак, отличный от коэффициентов, то мы получаем воображаемые эллиптические цилиндры : на которых нет действительных точек. ( дает единственную действительную точку.) ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1,}$$ ${\displaystyle \rho =0}$

Гиперболический цилиндр

Если A и B имеют разные знаки и , то мы получаем гиперболические цилиндры , уравнения которых можно переписать как: ${\displaystyle \rho \neq 0}$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$$

Параболический цилиндр

Наконец, если AB = 0, предположим, без потери общности , что B = 0 и A = 1, чтобы получить параболические цилиндры с уравнениями, которые можно записать как: ^[16] $${\displaystyle x^{2}+2ay=0.}$$

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус, вершина которого находится в бесконечности, что визуально соответствует цилиндру в перспективе, кажущемуся конусом, направленным в небо.

Проективная геометрия

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус , вершина которого лежит на плоскости в бесконечности . Если конус является квадратным конусом, плоскость в бесконечности (которая проходит через вершину) может пересекать конус по двум действительным линиям, по одной действительной линии (фактически совпадающей паре прямых) или только по вершине. Эти случаи приводят к гиперболическому, параболическому или эллиптическому цилиндру соответственно. ^[17]

Эта концепция полезна при рассмотрении вырожденных коник , которые могут включать цилиндрические коники.

Призмы

Здание планетария Тихо Браге в Копенгагене представляет собой пример усеченного цилиндра.

Сплошной круговой цилиндр можно рассматривать как предельный случай n -угольной призмы, где n стремится к бесконечности . Связь очень сильная, и многие старые тексты рассматривают призмы и цилиндры одновременно. Формулы для площади поверхности и объема выводятся из соответствующих формул для призм путем использования вписанных и описанных призм, а затем позволяют числу сторон призмы увеличиваться без ограничений. ^[18] Одной из причин раннего акцента (а иногда и исключительного рассмотрения) круговых цилиндров является то, что круглое основание является единственным типом геометрической фигуры, для которой этот метод работает с использованием только элементарных соображений (без обращения к исчислению или более сложной математике). Терминология, касающаяся призм и цилиндров, идентична. Так, например, поскольку усеченная призма является призмой, основания которой не лежат в параллельных плоскостях, сплошной цилиндр, основания которой не лежат в параллельных плоскостях, будет называться усеченным цилиндром .

С точки зрения многогранника цилиндр также можно рассматривать как дуал биконуса как бесконечностороннюю бипирамиду .

Смотрите также

• Список фигур
• Тело Штейнмеца , пересечение двух или трех перпендикулярных цилиндров

Примечания

1. κύλινδρος. Архивировано 30 июля 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее.
2. Якобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman and Co., стр. 607, ISBN 0-7167-0456-0
3. Своковски 1983, стр. 283.
4. Wentworth & Smith 1913, стр. 354.
5. Вентворт и Смит 1913, стр. 357.
6. "Цилиндрическое сечение", MathWorld
7. Вентворт и Смит 1913, стр. 359.
8. Лакс, Питер Д .; Террелл, Мария Ши (2013), Исчисление с приложениями, Springer, стр. 178, ISBN 9781461479468.
9. Вентворт и Смит 1913, стр. 358.
10. Своковски 1983, стр. 292.
11. Своковски 1983, стр. 291.
12. Альберт 2016, стр. 43.
13. Альберт 2016, стр. 49.
14. Браннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1999), Геометрия , Издательство Кембриджского университета, стр. 34, ISBN 978-0-521-59787-6
15. Albert 2016, стр. 74.
16. Альберт 2016, стр. 75.
17. Педоу, Дэн (1988) [1970], Геометрия: всеобъемлющий курс , Довер, стр. 398, ISBN 0-486-65812-0
18. Slaught, HE ; ​​Lennes, NJ (1919), Геометрия тела с проблемами и приложениями (PDF) (переиздание), Allyn and Bacon, стр. 79–81

Ссылки

• Альберт, Авраам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативная редакция), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Уэнтворт, Джордж; Смит, Дэвид Юджин (1913), Плоская и стереометрия , Ginn and Co.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Цилиндр». Математический мир .
• Площадь поверхности цилиндра в MATHguide
• Объем цилиндра в MATHguide