анализ Фурье

Раздел математики

Сигнал тактового сигнала открытой струны ля бас-гитары (55 Гц).

Преобразование Фурье временного сигнала бас-гитары открытой струны A (55 Гц). Анализ Фурье выявляет колебательные компоненты сигналов и функций .

В математике анализ Фурье ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ) [ ^1] — это изучение того, как общие функции могут быть представлены или аппроксимированы суммами более простых тригонометрических функций . Анализ Фурье вырос из изучения рядов Фурье и назван в честь Жозефа Фурье , который показал, что представление функции в виде суммы тригонометрических функций значительно упрощает изучение теплопередачи .

Предмет анализа Фурье охватывает широкий спектр математики. В науке и технике процесс разложения функции на колебательные компоненты часто называется анализом Фурье, в то время как операция восстановления функции из этих частей известна как синтез Фурье . Например, определение того, какие частоты компонентов присутствуют в музыкальной ноте, будет включать вычисление преобразования Фурье сэмплированной музыкальной ноты. Затем можно было бы повторно синтезировать тот же звук, включив частотные компоненты, как показано в анализе Фурье. В математике термин анализ Фурье часто относится к изучению обеих операций.

Сам процесс разложения называется преобразованием Фурье . Его выход, преобразование Фурье , часто получает более конкретное название, которое зависит от области определения и других свойств преобразуемой функции. Более того, исходная концепция анализа Фурье со временем была расширена для применения ко все более абстрактным и общим ситуациям, а общая область часто известна как гармонический анализ . Каждое преобразование, используемое для анализа (см. список преобразований, связанных с Фурье ), имеет соответствующее обратное преобразование, которое можно использовать для синтеза.

Для использования анализа Фурье данные должны быть равномерно распределены. Были разработаны различные подходы для анализа неравномерно распределенных данных, в частности, методы спектрального анализа наименьших квадратов (LSSA), которые используют метод наименьших квадратов для подгонки синусоид к выборкам данных, аналогичный анализу Фурье. ^{[2] [3]} Анализ Фурье, наиболее используемый спектральный метод в науке, обычно усиливает длиннопериодический шум в записях с большими пробелами; LSSA смягчает такие проблемы. ^[4]

Приложения

Анализ Фурье имеет множество научных приложений — в физике , уравнениях с частными производными , теории чисел , комбинаторике , обработке сигналов , цифровой обработке изображений , теории вероятностей , статистике , криминалистике , ценообразовании опционов , криптографии , численном анализе , акустике , океанографии , гидролокации , оптике , дифракции , геометрии , анализе структуры белков и других областях.

Такая широкая применимость обусловлена ​​многими полезными свойствами преобразований :

• Преобразования являются линейными операторами и при надлежащей нормализации также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем смысле, как теорема Планшереля , и в самом общем смысле через двойственность Понтрягина ). ^[5]
• Преобразования обычно обратимы.
• Экспоненциальные функции являются собственными функциями дифференцирования , что означает, что это представление преобразует линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические уравнения. ^[6] Следовательно, поведение линейной стационарной системы можно анализировать на каждой частоте независимо.
• По теореме о свертке преобразования Фурье превращают сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления операций, основанных на свертке, таких как фильтрация сигналов, умножение полиномов и умножение больших чисел . ^[7]
• Дискретную версию преобразования Фурье (см. ниже ) можно быстро оценить на компьютерах с помощью алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ). ^[8]

В криминалистике лабораторные инфракрасные спектрофотометры используют анализ преобразования Фурье для измерения длин волн света, на которых материал будет поглощать в инфракрасном спектре. Метод Фурье используется для декодирования измеренных сигналов и записи данных о длинах волн. И с помощью компьютера эти вычисления Фурье выполняются быстро, так что за считанные секунды компьютерный прибор FT-IR может создать картину поглощения инфракрасного излучения, сравнимую с таковой призматического прибора. ^[9]

Преобразование Фурье также полезно в качестве компактного представления сигнала. Например, сжатие JPEG использует вариант преобразования Фурье ( дискретное косинусное преобразование ) небольших квадратных фрагментов цифрового изображения. Компоненты Фурье каждого квадрата округляются до более низкой арифметической точности , а слабые компоненты устраняются, так что оставшиеся компоненты могут быть сохранены очень компактно. При реконструкции изображения каждый квадрат изображения собирается заново из сохраненных приближенных преобразованных Фурье компонентов, которые затем подвергаются обратному преобразованию для получения приближения исходного изображения.

При обработке сигналов преобразование Фурье часто берет временной ряд или функцию непрерывного времени и отображает его в частотный спектр . То есть, оно берет функцию из временной области в частотную область; это разложение функции на синусоиды разных частот; в случае ряда Фурье или дискретного преобразования Фурье синусоиды являются гармониками основной частоты анализируемой функции.

Когда функция является функцией времени и представляет собой физический сигнал , преобразование имеет стандартную интерпретацию как частотный спектр сигнала. Величина результирующей комплекснозначной функции на частоте представляет собой амплитуду частотного компонента, начальная фаза которого задается углом (полярные координаты). ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S(f)}$

Преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они в равной степени могут применяться для анализа пространственных частот и, по сути, практически для любой области функций. Это оправдывает их использование в таких различных отраслях, как обработка изображений , теплопроводность и автоматическое управление .

При обработке сигналов, таких как аудио , радиоволны , световые волны, сейсмические волны и даже изображения, анализ Фурье может изолировать узкополосные компоненты сложной формы волны, концентрируя их для более легкого обнаружения или удаления. Большое семейство методов обработки сигналов состоит из преобразования Фурье сигнала, манипулирования преобразованными Фурье данными простым способом и обратного преобразования. ^[10]

Вот некоторые примеры :

• Эквализация аудиозаписей с помощью ряда полосовых фильтров ;
• Цифровой радиоприем без супергетеродинной схемы, как в современном сотовом телефоне или радиосканере ;
• Обработка изображений для удаления периодических или анизотропных артефактов, таких как ступенчатые края чересстрочного видео , полосовые артефакты при аэрофотосъемке или волновые узоры от радиочастотных помех в цифровой камере;
• Взаимная корреляция похожих изображений для совместного выравнивания;
• Рентгеновская кристаллография для реконструкции структуры кристалла по его дифракционной картине;
• Масс -спектрометрия ионного циклотронного резонанса с преобразованием Фурье для определения массы ионов по частоте циклотронного движения в магнитном поле;
• Многие другие формы спектроскопии, включая инфракрасную и ядерно-магнитно-резонансную спектроскопию;
• Формирование звуковых спектрограмм, используемых для анализа звуков;
• Пассивный гидролокатор, используемый для классификации целей на основе шума машин.

Варианты анализа Фурье

Преобразование Фурье и 3 вариации, вызванные периодической выборкой (с интервалом ) и/или периодическим суммированием (с интервалом ) базовой функции временной области. Относительная вычислительная простота последовательности DFT и понимание, которое она дает, делают ее популярным инструментом анализа. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S(f)}$

(Непрерывное) преобразование Фурье

Чаще всего неквалифицированный термин преобразование Фурье относится к преобразованию функций непрерывного действительного аргумента, и оно производит непрерывную функцию частоты, известную как распределение частот . Одна функция преобразуется в другую, и операция обратима. Когда областью определения входной (начальной) функции является время ( ), а областью определения выходной (конечной) функции является обычная частота , преобразование функции на частоте задается комплексным числом : ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}$

Оценка этой величины для всех значений дает функцию частотной области . Тогда может быть представлена ​​как рекомбинация комплексных экспонент всех возможных частот : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}$

что является формулой обратного преобразования. Комплексное число передает как амплитуду, так и фазу частоты ${\displaystyle S(f),}$ ${\displaystyle f.}$

Более подробную информацию см. в разделе Преобразование Фурье , в том числе :

• соглашения по нормализации амплитуды и масштабированию/единицам измерения частоты
• трансформировать свойства
• табличные преобразования конкретных функций
• расширение/обобщение для функций нескольких измерений, таких как изображения.

ряд Фурье

Преобразование Фурье периодической функции с периодом становится функцией гребенки Дирака , модулированной последовательностью комплексных коэффициентов : ${\displaystyle s_{_{P}}(t),}$ ${\displaystyle P,}$

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{_{P}}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (где — интеграл по любому интервалу длины ). ${\displaystyle \int _{P}}$ ${\displaystyle P}$

Обратное преобразование, известное как ряд Фурье , представляет собой представление в виде суммы потенциально бесконечного числа гармонически связанных синусоид или сложных экспоненциальных функций, каждая из которых имеет амплитуду и фазу, заданную одним из коэффициентов : ${\displaystyle s_{_{P}}(t)}$

${\displaystyle s_{_{P}}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

Любую функцию можно выразить как периодическое суммирование другой функции : ${\displaystyle s_{_{P}}(t)}$ ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle s_{_{P}}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

и коэффициенты пропорциональны выборкам на дискретных интервалах : ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{P}}}$

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[А]

Обратите внимание, что любое преобразование, имеющее те же дискретные значения выборки, может использоваться в периодическом суммировании. Достаточным условием для восстановления (и, следовательно, ) только из этих выборок (т.е. из ряда Фурье) является то, что ненулевая часть должна быть ограничена известным интервалом длительности , который является частотной областью, двойственной теореме выборки Найквиста–Шеннона . ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle P,}$

Более подробную информацию, включая историческое развитие, см. в разделе «Ряды Фурье» .

Дискретное преобразование Фурье (ДВПФ)

DTFT является математическим дуалом ряда Фурье во временной области. Таким образом, сходящееся периодическое суммирование в частотной области может быть представлено рядом Фурье, коэффициенты которого являются выборками связанной непрерывной временной функции :

${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier series (DTFT)}}} _{\text{Poisson summation formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,}$

которое известно как DTFT. Таким образом, DTFT последовательности также является преобразованием Фурье модулированной функции гребенки Дирака . ^[B] ${\displaystyle s[n]}$

Коэффициенты ряда Фурье (и обратное преобразование) определяются следующим образом :

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\tfrac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.}$

Параметр соответствует интервалу выборки, и этот ряд Фурье теперь можно распознать как форму формулы суммирования Пуассона . Таким образом, мы имеем важный результат, что когда дискретная последовательность данных пропорциональна отсчетам базовой непрерывной функции, можно наблюдать периодическое суммирование непрерывного преобразования Фурье, Обратите внимание, что любой с теми же дискретными значениями выборки производит то же самое DTFT. Но при определенных идеализированных условиях теоретически можно восстановить и точно. Достаточным условием для идеального восстановления является то, что ненулевая часть должна быть ограничена известным частотным интервалом шириной   Когда этот интервал является применимой формулой реконструкции является формула интерполяции Уиттекера–Шеннона . Это краеугольный камень в основе цифровой обработки сигналов . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s[n],}$ ${\displaystyle s(t),}$ ${\displaystyle S(f).}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{T}}.}$ ${\displaystyle \left[-{\tfrac {1}{2T}},{\tfrac {1}{2T}}\right],}$

Еще одна причина, по которой стоит этим заинтересоваться, заключается в том, что этот метод часто дает представление о степени искажения, вызванного процессом выборки. ${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)}$

Приложения DTFT не ограничиваются выборочными функциями. См. Дискретное преобразование Фурье для получения дополнительной информации по этой и другим темам, включая :

• нормализованные единицы частоты
• оконный анализ (последовательности конечной длины)
• трансформировать свойства
• табличные преобразования конкретных функций

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Подобно ряду Фурье, ДВПФ периодической последовательности с периодом становится функцией гребенки Дирака, модулированной последовательностью комплексных коэффициентов (см. ДВПФ § Периодические данные ) : ${\displaystyle s_{_{N}}[n],}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (где — сумма по любой последовательности длины ) ${\displaystyle \sum _{n}}$ ${\displaystyle N.}$

Последовательность обычно известна как ДПФ одного цикла Она также является -периодической, поэтому никогда не требуется вычислять больше, чем коэффициенты. Обратное преобразование, также известное как дискретный ряд Фурье , задается как : ${\displaystyle S[k]}$ ${\displaystyle s_{_{N}}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},}$   где сумма по любой последовательности длины ${\displaystyle \sum _{k}}$ ${\displaystyle N.}$

Когда выражается как периодическое суммирование другой функции : ${\displaystyle s_{_{N}}[n]}$

${\displaystyle s_{_{N}}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],}$   и   ${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,T\cdot s(nT),}$

коэффициенты представляют собой выборки с дискретными интервалами : ${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}={\tfrac {1}{NT}}}$

${\displaystyle S[k]=S_{\tfrac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$

Наоборот, когда требуется вычислить произвольное количество дискретных выборок одного цикла непрерывного ДВПФ, это можно сделать, вычислив относительно простое ДПФ, как определено выше. В большинстве случаев выбирается равным длине ненулевой части Увеличение, известное как заполнение нулями или интерполяция , приводит к более близко расположенным выборкам одного цикла Уменьшение вызывает перекрытие (добавление) во временной области (аналогично наложению спектров ), что соответствует прореживанию в частотной области. (см. Дискретное преобразование Фурье § L=N×I ) В большинстве случаев, представляющих практический интерес, последовательность представляет собой более длинную последовательность, которая была усечена путем применения оконной функции конечной длины или массива КИХ-фильтров . ${\displaystyle (N)}$ ${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f),}$ ${\displaystyle s_{_{N}}[n],}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s[n].}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle S_{\tfrac {1}{T}}(f).}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle s[n]}$

ДПФ можно вычислить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ), что делает его практичным и важным преобразованием на компьютерах.

Более подробную информацию см. в разделе Дискретное преобразование Фурье , в том числе :

• трансформировать свойства
• приложения
• табличные преобразования конкретных функций

Краткое содержание

Для периодических функций и преобразование Фурье, и ДВПФ включают только дискретный набор частотных компонентов (ряды Фурье), и преобразования расходятся на этих частотах. Одна из распространенных практик (не обсуждавшаяся выше) заключается в обработке этого расхождения с помощью дельта-функций Дирака и гребенчатых функций Дирака . Но ту же спектральную информацию можно выделить только из одного цикла периодической функции, поскольку все остальные циклы идентичны. Аналогично функции конечной длительности можно представить в виде ряда Фурье без фактической потери информации, за исключением того, что периодичность обратного преобразования является просто артефактом.

На практике обычно длительность s (•) ограничивается периодом P или N. Но эти формулы не требуют этого условия.

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части комплексной функции разлагаются на четную и нечетную части , есть четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. И есть взаимно-однозначное отображение между четырьмя компонентами комплексной временной функции и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования : ^[11]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

Из этого очевидны различные соотношения, например :

• Преобразование действительной функции — это сопряженная симметричная функция. Наоборот, сопряженное симметричное преобразование подразумевает действительную временную область. ${\displaystyle (s_{_{RE}}+s_{_{RO}})}$ ${\displaystyle S_{RE}+i\ S_{IO}.}$
• Преобразование мнимозначной функции является сопряженной антисимметричной функцией , и обратное утверждение верно. ${\displaystyle (i\ s_{_{IE}}+i\ s_{_{IO}})}$ ${\displaystyle S_{RO}+i\ S_{IE},}$
• Преобразование сопряженной симметричной функции является действительной функцией , и обратное утверждение верно. ${\displaystyle (s_{_{RE}}+i\ s_{_{IO}})}$ ${\displaystyle S_{RE}+S_{RO},}$
• Преобразование сопряженной антисимметричной функции является мнимозначной функцией , и обратное утверждение верно. ${\displaystyle (s_{_{RO}}+i\ s_{_{IE}})}$ ${\displaystyle i\ S_{IE}+i\ S_{IO},}$

История

Ранняя форма гармонических рядов восходит к древней вавилонской математике , где они использовались для вычисления эфемерид (таблиц астрономических положений). ^{[12] [13] [14] [15]}

Классические греческие концепции деферента и эпицикла в птолемеевской системе астрономии были связаны с рядами Фурье (см. Деферент и эпицикл § Математический формализм ).

В наше время варианты дискретного преобразования Фурье использовались Алексисом Клеро в 1754 году для вычисления орбиты ^[16], которая была описана как первая формула для ДПФ ^[17], и в 1759 году Жозефом Луи Лагранжем при вычислении коэффициентов тригонометрического ряда для вибрирующей струны. ^[17] Технически работа Клеро представляла собой ряд, состоящий только из косинусов (форма дискретного косинусного преобразования ), в то время как работа Лагранжа представляла собой ряд, состоящий только из синусов (форма дискретного синусного преобразования ); истинное косинусное + синусное ДПФ использовалось Гауссом в 1805 году для тригонометрической интерполяции орбит астероидов . ^[18] Эйлер и Лагранж оба дискретизировали задачу о вибрирующей струне, используя то, что сегодня называется выборками. ^[17]

Ранним современным развитием анализа Фурье стала работа Лагранжа 1770 года « Réflexions sur la résolution algébrique des équations» , в которой в методе резольвент Лагранжа использовалось комплексное разложение Фурье для изучения решения кубического уравнения : ^[19] Лагранж преобразовал корни в резольвенты : ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2},}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

где ζ — кубический корень из единицы , что является ДПФ порядка 3.

Ряд авторов, в частности Жан Лерон Д'Аламбер и Карл Фридрих Гаусс , использовали тригонометрические ряды для изучения уравнения теплопроводности ^[20] , но прорывным достижением стала работа 1807 года «Mémoire sur la propagation de la haleur dans les corps solides» Жозефа Фурье , чьей ключевой идеей было моделирование всех функций тригонометрическими рядами, что ввело ряд Фурье.

Историки расходятся во мнениях относительно того, какую долю заслуги Лагранжа и других в развитии теории Фурье следует отдать Даниилу Бернулли и Леонарду Эйлеру : Даниил Бернулли и Леонард Эйлер ввели тригонометрические представления функций, а Лагранж дал решение волнового уравнения в виде ряда Фурье, так что вклад Фурье в основном заключался в смелом утверждении, что произвольная функция может быть представлена ​​рядом Фурье. ^[17]

Последующее развитие этой области известно как гармонический анализ и также является ранним примером теории представлений .

Первый алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) для ДПФ был открыт около 1805 года Карлом Фридрихом Гауссом при интерполяции измерений орбиты астероидов Юноны и Паллады , хотя этот конкретный алгоритм БПФ чаще приписывают его современным первооткрывателям Кули и Тьюки . ^{[18] [16]}

Преобразования время-частота

В терминах обработки сигналов функция (времени) — это представление сигнала с идеальным временным разрешением , но без информации о частоте, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное частотное разрешение , но без информации о времени.

В качестве альтернатив преобразованию Фурье в частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования для представления сигналов в форме, которая имеет некоторую временную информацию и некоторую частотную информацию – по принципу неопределенности , между ними существует компромисс. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье , преобразование Габора или дробное преобразование Фурье (FRFT), или могут использоваться различные функции для представления сигналов, как в вейвлет-преобразованиях и чирплет-преобразованиях , при этом вейвлет-аналогом (непрерывного) преобразования Фурье является непрерывное вейвлет-преобразование .

Преобразования Фурье на произвольных локально компактных абелевых топологических группах

Варианты Фурье также могут быть обобщены до преобразований Фурье на произвольных локально компактных абелевых топологических группах , которые изучаются в гармоническом анализе ; там преобразование Фурье переводит функции на группе в функции на двойственной группе. Эта трактовка также позволяет дать общую формулировку теоремы о свертке , которая связывает преобразования Фурье и свертки . См. также двойственность Понтрягина для обобщенных основ преобразования Фурье.

Более конкретно, анализ Фурье можно проводить на смежных классах ^[21], даже на дискретных смежных классах.

Смотрите также

• Сопряженный ряд Фурье
• Обобщенный ряд Фурье
• Ряд Фурье–Бесселя
• Преобразования, связанные с Фурье
• Преобразование Лапласа (LT)
• Двустороннее преобразование Лапласа
• Преобразование Меллина
• Неравномерное дискретное преобразование Фурье (NDFT)
• Квантовое преобразование Фурье (КПФ)
• Теоретико-числовое преобразование
• Базисные векторы
• Биспектр
• Характеристическая функция (теория вероятностей)
• Ортогональные функции
• пространство Шварца
• Спектральная плотность
• Оценка спектральной плотности
• Спектральная музыка
• Функция Уолша
• Вейвлет

Примечания

1. ${\displaystyle \int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt} _{\triangleq \,S\left({\frac {k}{P}}\right)}}$
2. Мы также можем отметить, что :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(nT)\delta (t-nT)&=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(t)\delta (t-nT)\\&=s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}}$

   Следовательно, общепринятой практикой является моделирование «выборки» как умножения на функцию гребенки Дирака , что, конечно, «возможно» только в чисто математическом смысле.
   
   

Ссылки

1. "Фурье". Dictionary.com Unabridged (Online). nd
2. Кафер Ибаноглу (2000). Переменные звезды как основные астрофизические инструменты. Springer. ISBN 0-7923-6084-2.
3. Д. Скотт Бирни; Дэвид Оэспер; Гильермо Гонсалес (2006). Наблюдательная астрономия. Cambridge University Press. ISBN 0-521-85370-2.
4. Press (2007). Numerical Recipes (3-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
5. Рудин, Уолтер (1990). Анализ Фурье на группах . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-52364-2.
6. Эванс, Л. (1998). Уравнения с частными производными . Американское математическое общество. ISBN 978-3-540-76124-2.
7. Кнут, Дональд Э. (1997). Искусство программирования. Том 2: Получисленные алгоритмы (3-е изд.). Addison-Wesley Professional. Раздел 4.3.3.C: Дискретные преобразования Фурье, стр. 305. ISBN 978-0-201-89684-8.
8. Конте, С.Д.; де Бур, Карл (1980). Элементарный численный анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: ISBN McGraw Hill, Inc. 978-0-07-066228-5.
9. Сейферштейн, Ричард (2013). Криминалистика: Введение в судебную экспертизу .
10. Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). Теория и применение цифровой обработки сигналов . Prentice-Hall. ISBN 9780139141010. OCLC  602011570.
11. Прокис, Джон Г.; Манолакис, Димитрий Г. (1996), Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.), Нью-Джерси: Prentice-Hall International, стр. 291, ISBN 978-0-13-394289-7, sAcfAQAAIAAJ
12. Престини, Елена (2004). Эволюция прикладного гармонического анализа: модели реального мира. Биркхойзер. стр. 62. ISBN 978-0-8176-4125-2.
13. Рота, Джан-Карло ; Паломби, Фабрицио (1997). Недискретные мысли. Биркхойзер. п. 11. ISBN 978-0-8176-3866-5.
14. Нойгебауэр, Отто (1969) [1957]. Точные науки в древности. Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium. Том. 9 (2-е изд.). Дуврские публикации . стр. 1–191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID  14884919.
15. Брак-Бернсен, Лис ; Брак, Маттиас (2004). «Анализ структуры оболочки со времен Вавилона и современности». International Journal of Modern Physics E. 13 ( 1): 247. arXiv : physics/0310126 . Bibcode : 2004IJMPE..13..247B. doi : 10.1142/S0218301304002028. S2CID  15704235.
16. Terras, Audrey (1999). Анализ Фурье на конечных группах и приложения . Cambridge University Press . стр. 30-32. ISBN 978-0-521-45718-7.
17. Бриггс, Уильям Л.; Хенсон, Ван Эмден (1995). ДПФ: Руководство пользователя для дискретного преобразования Фурье. SIAM. стр. 2–4. ISBN 978-0-89871-342-8.
18. Heideman, MT; Johnson, DH; Burrus, CS (1984). «Гаусс и история быстрого преобразования Фурье». Журнал IEEE ASSP . 1 (4): 14–21. doi :10.1109/MASSP.1984.1162257. S2CID  10032502.
19. Кнапп, Энтони В. (2006). Основы алгебры. Springer. стр. 501. ISBN 978-0-8176-3248-9.
20. Narasimhan, TN (февраль 1999). "Уравнение теплопроводности Фурье: история, влияние и связи". Reviews of Geophysics . 37 (1): 151–172. Bibcode : 1999RvGeo..37..151N. CiteSeerX 10.1.1.455.4798 . doi : 10.1029/1998RG900006. ISSN  1944-9208. OCLC  5156426043. S2CID  38786145. 
21. Форрест, Брайан (1998). «Анализ Фурье на пространствах смежных классов». Rocky Mountain Journal of Mathematics . 28 : 170–190. doi :10.1216/rmjm/1181071828. JSTOR  44238164.

Дальнейшее чтение

• Хауэлл, Кеннет Б. (2001). Принципы анализа Фурье . CRC Press. ISBN 978-0-8493-8275-8.
• Kamen, EW; Heck, BS (2 марта 2000 г.). Основы сигналов и систем с использованием Web и Matlab (2-е изд.). Prentiss-Hall. ISBN 978-0-13-017293-8.
• Мюллер, Мейнард (2015). Преобразование Фурье в двух словах (PDF) . Springer. В «Основах обработки музыки», раздел 2.1, стр. 40–56. doi :10.1007/978-3-319-21945-5. ISBN 978-3-319-21944-8. S2CID  8691186. Архивировано (PDF) из оригинала 8 апреля 2016 г.
• Полянин, АД; Манжиров, АВ (1998). Справочник по интегральным уравнениям . Boca Raton: CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3.
• Смит, Стивен В. (1999). Руководство для ученых и инженеров по цифровой обработке сигналов (второе издание). Сан-Диего: California Technical Publishing. ISBN 978-0-9660176-3-2.
• Стайн, Э. М.; Вайс, Г. (1971). Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9.

Внешние ссылки

• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Интуитивное объяснение теории Фурье Стивена Легара.
• Лекции по обработке изображений: сборник из 18 лекций в формате pdf из Университета Вандербильта. Лекция 6 посвящена одномерному и двумерному преобразованию Фурье. Лекции 7–15 используют его., Алан Питерс
• Мориарти, Филипп; Боули, Роджер (2009). «Σ-суммирование (и анализ Фурье)». Шестьдесят символов . Брэди Харан для Ноттингемского университета .
• Введение в анализ Фурье временных рядов в Medium