Порядковая полезность

В экономике порядковая функция полезности — это функция, представляющая предпочтения агента в порядковом масштабе . Теория порядковой полезности утверждает, что имеет смысл только спрашивать, какой вариант лучше другого, но бессмысленно спрашивать, насколько он лучше или насколько он хорош. Вся теория принятия потребительских решений в условиях определенности может быть выражена и обычно выражается в терминах порядковой полезности.

Например, предположим, что Джордж говорит нам: «Я предпочитаю А, а не Б, и Б, а не С». Предпочтения Джорджа могут быть представлены функцией u такой, что:

${\displaystyle u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1}$

Но критики кардинальной полезности утверждают, что единственное значимое послание этой функции — это порядок ; реальные цифры бессмысленны. Следовательно, предпочтения Джорджа также могут быть представлены следующей функцией v : ${\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)}$

${\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}$

Функции u и v по порядку эквивалентны – они одинаково хорошо представляют предпочтения Джорджа.

Порядковая полезность контрастирует с теорией кардинальной полезности : последняя предполагает, что различия между предпочтениями также важны. В u разница между A и B намного меньше, чем между B и C, тогда как в v все наоборот. Следовательно, u и v не кардинально эквивалентны .

Концепция порядковой полезности была впервые введена Парето в 1906 году. ^[1]

Обозначения

Предположим, что набор всех состояний мира равен и агент имеет отношение предпочтения на . Обычно слабое отношение предпочтения обозначается знаком , что означает: «агент хочет B по крайней мере в такой же степени, как и A». ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle A\preceq B}$

Этот символ используется как сокращение отношения безразличия: , которое гласит: «Агент безразличен между B и A». ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)}$

Этот символ используется как сокращение сильного отношения предпочтения: если: ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)}$

${\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}$

Связанные понятия

Отображения кривой безразличия

Вместо определения числовой функции отношение предпочтений агента можно представить графически в виде кривых безразличия. Это особенно полезно, когда есть два вида товаров: x и y . Затем каждая кривая безразличия показывает набор точек, таких, что если и находятся на одной кривой, то . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})}$

Пример кривой безразличия показан ниже:

Каждая кривая безразличия представляет собой набор точек, каждая из которых представляет собой комбинацию количеств двух товаров или услуг, причем всеми этими комбинациями потребитель в равной степени удовлетворен. Чем дальше кривая находится от начала координат, тем выше уровень полезности.

Наклон кривой (отрицательный предел предельной нормы замены X на Y) в любой точке показывает скорость, с которой индивид готов обменивать товар X на товар Y, сохраняя тот же уровень полезности. Кривая выпукла к началу координат, как показано в предположении, что потребитель имеет уменьшающуюся предельную норму замещения. Можно показать, что потребительский анализ с использованием кривых безразличия (порядковый подход) дает те же результаты, что и анализ, основанный на теории кардинальной полезности , — т. е. потребители будут потреблять в точке, где предельная норма замещения между любыми двумя товарами равна отношению цены на эти товары (принцип эквимаржинальности).

Выявленные предпочтения

Теория раскрытых предпочтений решает проблему того, как наблюдать порядковые отношения предпочтений в реальном мире. Задача теории выявленных предпочтений частично заключается в определении того, какие наборы товаров были упущены на основании того, что они менее нравились, когда наблюдалось, что люди выбирают определенные наборы товаров. ^{[2] [3]}

Необходимые условия существования порядковой функции полезности

Некоторые условия необходимы, чтобы гарантировать существование представляющей функции: ${\displaystyle \preceq }$

• Транзитивность : если и тогда . ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle B\preceq C}$ ${\displaystyle A\preceq C}$
• Полнота: для всех пакетов : либо или, либо и то, и другое. ${\displaystyle A,B\in X}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle B\preceq A}$
  • Полнота также предполагает рефлексивность: для каждого : . ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle A\preceq A}$

Когда эти условия соблюдены и набор конечен, легко создать функцию , которая представляет , просто присвоив соответствующее число каждому элементу , как показано в первом абзаце. То же самое верно, когда X счетно бесконечно . Более того, можно индуктивно построить представляющую функцию полезности, значения которой находятся в диапазоне . ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

Когда бесконечно, этих условий недостаточно. Например, лексикографические предпочтения транзитивны и полны, но их нельзя представить какой-либо функцией полезности. ^[4] Требуемым дополнительным условием является непрерывность. ${\displaystyle X}$

Непрерывность

Отношение предпочтения называется непрерывным , если всякий раз, когда B предпочтительнее A, небольшие отклонения от B или A не меняют порядок между ними. Формально отношение предпочтения на множестве X называется непрерывным, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

1. Для каждого множество топологически замкнуто с топологией произведения ( это определение должно быть топологическим пространством ). ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$
2. Для каждой последовательности , если для всех i и и , то . ${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$ ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\to A}$ ${\displaystyle B_{i}\to B}$ ${\displaystyle A\preceq B}$
3. Для каждого такого , что существует шар вокруг и такой шар , что для каждого в шаре вокруг и каждого в шаре вокруг ( это определение должно быть метрическим пространством ). ${\displaystyle A,B\in X}$ ${\displaystyle A\prec B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a\prec b}$ ${\displaystyle X}$

Если отношение предпочтения представлено непрерывной функцией полезности, то оно, очевидно, является непрерывным. По теоремам Дебре (1954) верно и обратное:

Каждое непрерывное полное отношение предпочтений может быть представлено непрерывной порядковой функцией полезности.

Обратите внимание, что лексикографические предпочтения не являются непрерывными. Например, , но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки с и эти точки уступают . Это соответствует указанному выше факту, что эти предпочтения не могут быть представлены функцией полезности. ${\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}$ ${\displaystyle x<5}$ ${\displaystyle (5,0)}$

Уникальность

Для каждой функции полезности v существует уникальное отношение предпочтения, представленное v . Однако обратное неверно: отношение предпочтения может быть представлено множеством различных функций полезности. Те же предпочтения можно выразить как любую функцию полезности, которая представляет собой монотонно возрастающее преобразование v . Например, если

${\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

где – любая монотонно возрастающая функция, то функции v и v приводят к идентичным отображениям кривой безразличия. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Эта эквивалентность кратко описывается следующим образом:

Порядковая функция полезности уникальна с точностью до возрастающего монотонного преобразования .

Напротив, кардинальная функция полезности уникальна с точностью до возрастающего аффинного преобразования . Каждое аффинное преобразование монотонно; следовательно, если две функции кардинально эквивалентны, они также ординально эквивалентны, но не наоборот.

Монотонность

Предположим, что с этого момента множество представляет собой множество всех неотрицательных вещественных двумерных векторов. Таким образом, элементом является пара , которая представляет количество потребляемых двух продуктов, например яблок и бананов. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Тогда при определенных обстоятельствах отношение предпочтения представляется функцией полезности . ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle v(x,y)}$

Предположим, что отношение предпочтений монотонно возрастает , а это означает, что «больше всегда лучше»:

${\displaystyle x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)}$

${\displaystyle y<y'\implies (x,y')\prec (x,y')}$

Тогда обе частные производные v , если они существуют, положительны. Суммируя:

Если функция полезности представляет собой монотонно возрастающее отношение предпочтений, то функция полезности монотонно возрастает.

Предельная норма замещения

Предположим, человек имеет комплект и утверждает, что ему безразличен этот комплект и комплект . Это означает, что он готов отдать единицы x, чтобы получить единицы y. Если это соотношение сохраняется как , мы говорим, что это предельная норма замещения (MRS) между x и y в точке . ^{[5] : 82} ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}$ ${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta \to 0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Это определение MRS основано только на порядковом отношении предпочтения – оно не зависит от числовой функции полезности. Если отношение предпочтения представлено функцией полезности и эта функция дифференцируема, то MRS можно рассчитать по производным этой функции:

${\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}$

Например, если отношение предпочтения представлено then . MRS для функции одинаков . Это не совпадение, поскольку эти две функции представляют одно и то же отношение предпочтения — каждая из них представляет собой возрастающее монотонное преобразование другой. ${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$ ${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$ ${\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}$

В целом, MRS может быть разным в разных точках . Например, возможно, что при MRS низкий, потому что у человека много x и только один y , а при или MRS выше. Некоторые особые случаи описаны ниже. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (9,1)}$ ${\displaystyle (9,9)}$ ${\displaystyle (1,1)}$

Линейность

Когда MRS определенного отношения предпочтения не зависит от набора, т. е. MRS одинакова для всех , кривые безразличия линейны и имеют вид: ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}$

а отношение предпочтения можно представить линейной функцией:

${\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}$

(Конечно, то же самое соотношение можно представить и многими другими нелинейными функциями, такими как или , но линейная функция является самой простой.) ^{[5] : 85} ${\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}$ ${\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}$

Квазилинейность

Когда MRS зависит от , но не от , отношение предпочтения может быть представлено квазилинейной функцией полезности вида ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

где – некоторая монотонно возрастающая функция. Поскольку MRS является функцией , возможную функцию можно вычислить как интеграл от : ^{[6] [5] : 87} ${\displaystyle v_{Y}}$ ${\displaystyle \lambda (y)}$ ${\displaystyle v_{Y}}$ ${\displaystyle \lambda (y)}$

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}$

В этом случае все кривые безразличия параллельны – они являются горизонтальными переносами друг друга.

Аддитивность с двумя товарами

Более общим типом функции полезности является аддитивная функция :

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

Существует несколько способов проверить, представимы ли данные предпочтения аддитивной функцией полезности.

Объект с двойной отменой

Если предпочтения аддитивны, то простой арифметический расчет показывает, что

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}$и

${\displaystyle (x_{2},y_{3})\succeq (x_{3},y_{1})}$подразумевает

${\displaystyle (x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})}$

поэтому это свойство «двойного сокращения» является необходимым условием аддитивности.

Дебре (1960) показал, что это свойство также является достаточным: т.е. если отношение предпочтения удовлетворяет свойству двойного сокращения, то оно может быть представлено аддитивной функцией полезности. ^[7]

Соответствующее компромиссное свойство

Если предпочтения представлены аддитивной функцией, то простой арифметический расчет показывает, что

${\displaystyle MRS(x_{2},y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1})}}}$

поэтому это свойство «соответствующих компромиссов» является необходимым условием аддитивности. Это условие также является достаточным. ^{[8] [5] : 91}

Аддитивность с тремя и более товарами

При наличии трех и более товаров условие аддитивности функции полезности оказывается на удивление проще, чем при наличии двух товаров. Это результат теоремы 3 Дебре (1960) . Условием аддитивности является преимущественная независимость . ^{[5] : 104}

Подмножество товаров А называется преимущественно независимым от подмножества товаров В, если отношение предпочтения в подмножестве А при заданных постоянных значениях для подмножества В не зависит от этих постоянных значений. Например, предположим, что есть три товара: x , y и z . Подмножество { x , y } предпочтительно независимо от подмножества { z }, если для всех : ${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$.

В этом случае мы можем просто сказать следующее:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}$для постоянного z .

Преференциальная независимость имеет смысл в случае независимых товаров . Например, предпочтения между связками яблок и бананов, вероятно, не зависят от количества обуви и носков, имеющихся у агента, и наоборот.

По теореме Дебре, если все подмножества товаров преимущественно независимы от своих дополнений, то отношение предпочтения может быть представлено аддитивной функцией ценности. Здесь мы даем интуитивное объяснение этого результата, показывая, как можно построить такую ​​аддитивную функцию значения. ^[5] Доказательство предполагает три товара: x , y , z . Мы покажем, как определить три точки для каждой из трех функций ценности : точку 0, точку 1 и точку 2. Другие точки можно вычислить аналогичным образом, а затем, используя непрерывность, можно сделать вывод о том, что функции четко определены во всем своем диапазоне. ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$

0 баллов : выберите произвольное значение и назначьте его нулем функции значения, т.е.: ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

1 балл : выберите произвольное такое, что . Установите его в качестве единицы стоимости, т.е.: ${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}$

Выберите и такие, чтобы выполнялись следующие отношения безразличия: ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}$.

Это безразличие служит для масштабирования единиц y и z , чтобы они соответствовали единицам x . Значение в этих трех точках должно быть равно 1, поэтому мы присваиваем

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

2 балл : Теперь мы используем предположение о преимущественной независимости. Отношение между и не зависит от z , и аналогично отношение между и не зависит от x и отношение между и не зависит от y . Следовательно ${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$ ${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$ ${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$ ${\displaystyle (z_{1},x_{0})}$ ${\displaystyle (z_{0},x_{1})}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}$

Это полезно, поскольку означает, что функция v может иметь одно и то же значение – 2 – в этих трех точках. Выберите такой, чтобы ${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

и назначить

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{z}(z_{2})=2.}$

3 балл : Чтобы показать, что наши задания на данный момент последовательны, мы должны показать, что все баллы, получившие общее значение 3, являются баллами безразличия. Здесь снова используется предположение о преимущественной независимости, поскольку отношение между и не зависит от z (и аналогично для других пар); следовательно ${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

и аналогично для остальных пар. Следовательно, точка 3 определяется последовательно.

Мы можем продолжить в том же духе по индукции и определить функции для каждого товара во всех целочисленных точках, а затем использовать непрерывность, чтобы определить их во всех действительных точках.

Неявное предположение в пункте 1 приведенного выше доказательства состоит в том, что все три товара являются существенными или релевантными по предпочтениям . ^{[7] : 7} Это означает, что существует такой набор, что при увеличении количества определенного товара новый набор становится строго лучше.

Доказательство для более чем трех товаров аналогично. Фактически, нам не нужно проверять, что все подмножества точек преимущественно независимы; достаточно проверить линейное число пар товаров. Например, если существуют разные товары , то достаточно проверить, что для всех эти два товара преимущественно независимы от других товаров. ^{[5] : 115} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle j=1,...,m}$ ${\displaystyle j=1,...,m-1}$ ${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$ ${\displaystyle m-2}$

Уникальность аддитивного представления

Аддитивное отношение предпочтения может быть представлено множеством различных аддитивных функций полезности. Однако все эти функции схожи: они не только являются монотонными возрастающими преобразованиями друг друга (как все функции полезности, представляющие одно и то же отношение); они увеличивают линейные преобразования друг друга. ^{[7] : 9} Короче говоря,

Аддитивная порядковая функция полезности уникальна с точностью до возрастающего линейного преобразования .

Построение аддитивных и квадратичных функций полезности по порядковым данным.

Математические основы наиболее распространенных типов функций полезности — квадратичных и аддитивных — заложенные Жераром Дебре ^{[9] [10],} позволили Андранику Таньяну разработать методы их построения на основе чисто порядковых данных. В частности, аддитивные и квадратичные функции полезности от переменных могут быть построены на основе интервью лиц, принимающих решения, где вопросы направлены на прослеживание полностью двумерных кривых безразличия в координатных плоскостях без обращения к кардинальным оценкам полезности. ^{[11] [12]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

Сравнение порядковых и кардинальных функций полезности

В следующей таблице сравниваются два типа функций полезности, распространенных в экономике:

Смотрите также

• Предпочтение (экономика)
• Многоатрибутная утилита
• Теория потребителя
• Предельная полезность
• Теория решетки
• Выпуклые предпочтения

Рекомендации

1. Парето, Вильфредо (1906). «Руководство по политической экономике, с введением в социальную науку». Сосьета Эдитрис Библиотека .
2. Чиаки Хара (6 июня 1998 г.). «Теория раскрытых предпочтений». 7-я встреча Тойро-кай (1997/1998 гг.) .
3. Ботонд Кесеги; Мэтью Рабин (май 2007 г.). «Ошибки в анализе благосостояния на основе выбора» (PDF) . Американский экономический обзор: статьи и труды . 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381 . дои : 10.1257/aer.97.2.477. Архивировано из оригинала (PDF) 15 октября 2008 г. 
4. Ариэль Рубинштейн, Конспект лекций по микроэкономической теории, Лекция 2 - Полезность
5. Кини, Ральф Л.; Райффа, Ховард (1993). Решения с несколькими целями . ISBN 978-0-521-44185-8.
6. Питер Марк Прузан и Джей Ти Росс Джексон (1963). «О развитии технических помещений многоцелевых систем». Ledelse og Erhvervsøkonomi/Handelsvidenskabeligt Tidsskrift/Erhvervsøkonomisk Tidsskrift .
7. Бергстром, Тед. «Конспекты лекций по разделяемым предпочтениям» (PDF) . УЦСБ Экон . Проверено 18 августа 2015 г.
8. Люс, Р. Дункан; Тьюки, Джон В. (1964). «Одновременное совместное измерение: новый тип фундаментальных измерений». Журнал математической психологии . 1 :1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018 . дои : 10.1016/0022-2496(64)90015-x. 
9. Дебре, Жерар (1952). «Определенные и полуопределенные квадратичные формы». Эконометрика . 20 (2): 295–300. дои : 10.2307/1907852. JSTOR  1907852.
10. Дебре, Жерар (1960). «Топологические методы в теории кардинальной полезности». В «Стрелке», Кеннет (ред.). Математические методы в социальных науках, 1959 (PDF) . Стэнфорд: Издательство Стэнфордского университета. стр. 16–26. дои : 10.1017/CCOL052123736X.010. ISBN 9781139052092.
11. Тангиан, Андраник (2002). «Построение квазивогнутой квадратичной целевой функции на основе интервью с лицом, принимающим решения». Европейский журнал операционных исследований . 141 (3): 608–640. дои : 10.1016/S0377-2217(01)00185-0.
12. Тангиан, Андраник (2004). «Модель порядкового построения аддитивных целевых функций». Европейский журнал операционных исследований . 159 (2): 476–512. дои : 10.1016/S0377-2217(03)00413-2.

Внешние ссылки

• Лексикографическое отношение предпочтения не может быть представлено функцией полезности. В Экономике.SE
• Распознавание линейных порядков, встраиваемых в R2, упорядоченных лексикографически. В Math.SE.
• Мюррей Н. Ротбард , «На пути к реконструкции экономики полезности и благосостояния»