Поле остатков

Поле, возникающее из фактор-кольца по максимальному идеалу

В математике поле вычетов является базовой конструкцией в коммутативной алгебре . Если R — коммутативное кольцо , а m — максимальный идеал , то поле вычетов — это фактор-кольцо k = R / m , которое является полем . ^[1] Часто R — локальное кольцо , а m — его единственный максимальный идеал.

В абстрактной алгебре поле расщепления многочлена строится с использованием полей вычетов. Поля вычетов также применяются в алгебраической геометрии , где каждой точке x схемы X сопоставляется ее поле вычетов k ( x ). ^[2] Можно сказать немного вольно, что поле вычетов точки абстрактного алгебраического многообразия является «естественной областью» для координат точки. ^{[ необходимо} разъяснение ^]

Определение

Предположим, что R — коммутативное локальное кольцо с максимальным идеалом m . Тогда поле вычетов — это фактор-кольцо R / m .

Теперь предположим, что X — схема , а x — точка X. По определению схемы мы можем найти аффинную окрестность U = Spec( A ) точки x , где A — некоторое коммутативное кольцо . Рассматриваемая в окрестности U , точка x соответствует простому идеалу p ⊆ A (см. топологию Зарисского ). Локальное кольцо X в точке x по определению является локализацией A _p точки A с помощью A \ p , и A _p имеет максимальный идеал m = p·A _p . Применяя конструкцию выше, мы получаем поле вычетов точки x :

k ( x ) := A _p / p · A _p .

Можно доказать, что это определение не зависит от выбора аффинной окрестности U. ^[3 ]

Точка называется K -рациональной для некоторого поля K , если k ( x ) = K. ^[4 ]

Пример

Рассмотрим аффинную линию A ¹ ( k ) = Spec( k [ t ]) над полем k . Если k алгебраически замкнуто , то существует ровно два типа простых идеалов, а именно

• ( т  −  а ), а ∈ к
• (0), нулевой идеал.

Поля остатков:

• ${\displaystyle k[t]_{(t-a)}/(t-a)k[t]_{(t-a)}\cong k}$
• ${\displaystyle k[t]_{(0)}\cong k(t)}$, поле функции над k с одной переменной.

Если k не является алгебраически замкнутым, то возникает больше типов, например, если k = R , то простой идеал ( x ²  + 1) имеет поле вычетов, изоморфное C.

Характеристики

• Для схемы локально конечного типа над полем k точка x замкнута тогда и только тогда, когда k ( x ) является конечным расширением базового поля k . Это геометрическая формулировка Nullstellensatz Гильберта . В приведенном выше примере точки первого рода замкнуты, имея поле вычетов k , тогда как вторая точка является общей точкой , имеющей степень трансцендентности 1 над k .
• Морфизм Spec( K ) → X , K — некоторое поле, эквивалентен заданию точки x ∈ X и расширения K / k ( x ).
• Размерность схемы конечного типа над полем равна степени трансцендентности поля вычетов общей точки.

Смотрите также

• Арифметическая дзета-функция

Ссылки

1. Даммит, Д.С.; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. ISBN 9780471433347.
2. Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга многообразий и схем: включает Мичиганские лекции (1974) по кривым и их якобианам . Заметки лекций по математике. Том 1358 (2-е изд.). Springer-Verlag. doi :10.1007/b62130. ISBN 3-540-63293-X.
3. Интуитивно, поле вычетов точки является локальным инвариантом. Аксиомы схем устанавливаются таким образом, чтобы гарантировать совместимость между различными аффинными открытыми окрестностями точки, что подразумевает утверждение.
4. Гёрц, Ульрих и Ведхорн, Торстен. Алгебраическая геометрия: Часть 1: Схемы (2010) Vieweg + Teubner Verlag.

Дальнейшее чтение

• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157, раздел II.2