Движение снаряда

Движение запущенных объектов под действием силы тяжести

Параболические траектории струй воды

Составляющие начальной скорости параболического метания

Баллистические траектории являются параболическими, если гравитация однородна, и эллиптическими, если она радиальна.

Движение снаряда — это форма движения, испытываемая объектом или частицей ( снарядом ), который проецируется в гравитационном поле , например, с поверхности Земли , и движется по криволинейной траектории ( траектории ) под действием только силы тяжести . В частном случае движения снаряда на Земле большинство расчетов предполагают, что эффекты сопротивления воздуха пассивны .

Галилео Галилей показал, что траектория данного снаряда является параболической , но путь может быть и прямым в частном случае, когда объект брошен прямо вверх или вниз. Изучение таких движений называется баллистикой , а такая траектория описывается как баллистическая . Единственная сила, имеющая математическое значение, которая активно воздействует на объект, — это сила тяжести, которая действует вниз, тем самым сообщая объекту ускорение вниз по направлению к центру масс Земли . Из-за инерции объекта не требуется никакой внешней силы для поддержания горизонтальной составляющей скорости движения объекта.

Принимая во внимание другие силы, такие как аэродинамическое сопротивление или внутреннее движение (например, в ракете ), требуется дополнительный анализ. Баллистическая ракета — это ракета, управляемая только в течение относительно короткой начальной фазы полета с двигателем , и чей оставшийся курс регулируется законами классической механики .

Баллистика (от др.-греч. βάλλειν bállein  — «бросать») — наука о динамике , изучающая полет, поведение и воздействие снарядов, особенно пуль , неуправляемых бомб , ракет и т. п.; наука или искусство проектирования и ускорения снарядов для достижения желаемых характеристик.

Траектории снаряда с сопротивлением воздуха и переменной начальной скоростью

Элементарные уравнения баллистики игнорируют почти все факторы, за исключением начальной скорости, угла запуска и гравитационного ускорения, предполагаемого постоянным. Практические решения задач баллистики часто требуют учета сопротивления воздуха, боковых ветров, движения цели, ускорения под действием силы тяжести, изменяющегося с высотой, а в таких задачах, как запуск ракеты из одной точки Земли в другую, расстояния до горизонта в зависимости от кривизны Земли (ее локальной скорости вращения). Подробные математические решения практических задач обычно не имеют решений в замкнутой форме и, следовательно, требуют численных методов для решения.

Кинематические величины

В движении снаряда горизонтальное движение и вертикальное движение независимы друг от друга; то есть ни одно движение не влияет на другое. Это принцип составного движения, установленный Галилеем в 1638 году ^[1] и использованный им для доказательства параболической формы движения снаряда. ^[2]

Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости снаряда независимы друг от друга.

Баллистическая траектория — это парабола с однородным ускорением, например, в космическом корабле с постоянным ускорением при отсутствии других сил. На Земле ускорение меняет величину с высотой, а направление (далекие цели) с широтой/долготой вдоль траектории. Это приводит к эллиптической траектории, которая очень близка к параболе в малых масштабах. Однако, если бы объект был брошен, а Земля внезапно была заменена черной дырой равной массы, стало бы очевидно, что баллистическая траектория является частью эллиптической орбиты вокруг этой черной дыры, а не параболой, которая простирается до бесконечности. На более высоких скоростях траектория также может быть круговой, параболической или гиперболической (если только она не искажена другими объектами, такими как Луна или Солнце). ${\textstyle g(y)=g_{0}/(1+y/R)^{2}}$

В данной статье предполагается однородное гравитационное ускорение . ${\textstyle (g=g_{0})}$

Ускорение

Поскольку ускорение есть только в вертикальном направлении, скорость в горизонтальном направлении постоянна и равна . Вертикальное движение снаряда — это движение частицы при ее свободном падении. Здесь ускорение постоянно и равно g . ^{[примечание 1]} Компоненты ускорения: ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$

${\displaystyle a_{x}=0}$,

${\displaystyle a_{y}=-g}$.*

*Ускорение Y также можно назвать силой, действующей со стороны Земли на интересующий(ие) объект(ы). ${\textstyle (-F_{g}/m)}$

Скорость

Пусть снаряд запущен с начальной скоростью , которую можно выразить как сумму горизонтальной и вертикальной составляющих следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}} }$.

Компоненты и можно найти, если известен начальный угол запуска : ${\displaystyle v_{0x}}$ ${\displaystyle v_{0y}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )}$,

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$

Горизонтальная составляющая скорости объекта остается неизменной на протяжении всего движения. Вертикальная составляющая скорости изменяется линейно, ^{[примечание 2],} поскольку ускорение под действием силы тяжести постоянно. Ускорения в направлениях x и y можно интегрировать для решения для компонентов скорости в любой момент времени t следующим образом:

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta )}$,

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt}$.

Величина скорости (по теореме Пифагора , также известной как закон треугольника):

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$.

Смещение

Перемещение и координаты параболического метания

В любой момент времени горизонтальное и вертикальное смещение снаряда составляет: ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$,

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

Величина смещения равна:

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Рассмотрим уравнения,

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$и . ^[3] ${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Если между этими двумя уравнениями исключить t , то получится следующее уравнение:

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).}$

Здесь R — дальность полета снаряда .

Поскольку g , θ и v ₀ являются константами, приведенное выше уравнение имеет вид

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$,

в котором a и b — константы. Это уравнение параболы, поэтому траектория параболическая. Ось параболы вертикальна.

Если известны положение снаряда (x,y) и угол вылета (θ или α), начальную скорость можно найти, решив для v ₀ вышеупомянутое параболическое уравнение:

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$.

Смещение в полярных координатах

Параболическая траектория снаряда может быть выражена также в полярных координатах вместо декартовых . В этом случае положение имеет общую формулу

${\displaystyle r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)}$.

В этом уравнении начало координат является средней точкой горизонтальной дальности полета снаряда, и если земля плоская, параболическая дуга строится в диапазоне . Это выражение можно получить, преобразовав декартово уравнение, как указано выше, с помощью и . ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$ ${\displaystyle y=r\sin \phi }$ ${\displaystyle x=r\cos \phi }$

Свойства траектории

Время полета или общее время всего путешествия

Общее время t, в течение которого снаряд остается в воздухе, называется временем полета.

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

После полета снаряд возвращается к горизонтальной оси (оси x), т. е . . ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}}$

${\displaystyle v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt}$

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$

Обратите внимание, что мы пренебрегли сопротивлением воздуха, действующим на снаряд.

Если начальная точка находится на высоте y ₀ относительно точки удара, то время полета составляет:

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

Как и выше, это выражение можно свести к

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{|g|}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{|g|}}={\frac {2v\sin {\theta }}{|g|}}={\frac {2v\sin {(45)}}{|g|}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{|g|}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{|g|}}}$

если θ равен 45°, а y ₀ равен 0.

Время полета до точки цели

Как показано выше в разделе «Смещение» , горизонтальная и вертикальная скорость снаряда не зависят друг от друга.

Благодаря этому мы можем найти время достижения цели, используя формулу перемещения для горизонтальной скорости:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )}$

${\displaystyle t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}}$

Это уравнение даст общее время t, которое должен пройти снаряд, чтобы достичь горизонтального смещения цели, пренебрегая сопротивлением воздуха.

Максимальная высота полета снаряда

Максимальная высота полета снаряда

Наибольшая высота, которой достигнет объект, называется пиком движения объекта. Увеличение высоты будет продолжаться до тех пор , пока , то есть, ${\displaystyle v_{y}=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$.

Время достижения максимальной высоты (ч):

${\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

Для вертикального перемещения максимальной высоты снаряда:

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2|g|}}}$

Максимально достижимая высота достигается при θ =90°:

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2|g|}}}$

Если известны положение снаряда (x,y) и угол вылета (θ), максимальную высоту можно найти, решив для h следующее уравнение:

${\displaystyle h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.}$

Угол возвышения (φ) на максимальной высоте определяется по формуле:

${\displaystyle \phi =\arctan {\tan \theta \over 2}}$

Соотношение между горизонтальной дальностью и максимальной высотой

Соотношение между дальностью полета d в ​​горизонтальной плоскости и максимальной высотой h, достигаемой при этом, равно: ${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$

${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$

Максимальная дальность полета снаряда

Максимальная дальность полета снаряда

Дальность и максимальная высота полета снаряда не зависят от его массы. Следовательно, дальность и максимальная высота полета одинаковы для всех тел, брошенных с одинаковой скоростью и направлением. Горизонтальная дальность полета d снаряда — это горизонтальное расстояние, которое он пролетел, когда вернулся на свою начальную высоту ( ). ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$.

Время достижения земли:

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

Из горизонтального смещения максимальная дальность полета снаряда:

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$,

так что ^{[примечание 3]}

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta )}$.

Обратите внимание, что d имеет максимальное значение, когда

${\displaystyle \sin 2\theta =1}$,

что обязательно соответствует

${\displaystyle 2\theta =90^{\circ }}$,

или

${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$.

Траектории снарядов, запущенных под разными углами возвышения, но с одинаковой скоростью 10 м/с в вакууме и однородном нисходящем гравитационном поле 10 м/с2 ^. Точки расположены с интервалом 0,05 с, а длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. t = время с момента запуска, T = время полета, R = дальность и H = наивысшая точка траектории (указана стрелками).

Общее пройденное горизонтальное расстояние (d) .

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{|g|}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

Когда поверхность плоская (начальная высота объекта равна нулю), пройденное расстояние: ^[4]

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{|g|}}}$

Таким образом, максимальное расстояние получается, если θ составляет 45 градусов. Это расстояние равно:

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{|g|}}}$

Применение теоремы о рабочей энергии

Согласно теореме о работе и энергии вертикальная составляющая скорости равна:

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$.

Эти формулы игнорируют аэродинамическое сопротивление , а также предполагают, что зона приземления находится на постоянной высоте 0.

Угол досягаемости

«Угол досягаемости» — это угол ( θ ), под которым необходимо запустить снаряд, чтобы преодолеть расстояние d , учитывая начальную скорость v .

${\displaystyle \sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}}$

Есть два решения:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(пологая траектория)

и потому что , ${\displaystyle \sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })}$

${\displaystyle \theta =45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(крутая траектория)

Уголθтребуется нажать на координату (х,у)

Траектория снаряда в вакууме для разных углов запуска. Скорость запуска одинакова для всех углов, 50 м/с, а "g" составляет 10 м/с ² .

Для поражения цели на расстоянии x и высоте y при выстреле из точки (0,0) с начальной скоростью v необходимый угол(ы) запуска θ составляет:

${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}}$

Два корня уравнения соответствуют двум возможным углам запуска, если только они не мнимые, в этом случае начальная скорость недостаточно велика, чтобы достичь выбранной точки ( x , y ). Эта формула позволяет найти необходимый угол запуска без ограничения . ${\displaystyle y=0}$

Можно также спросить, какой угол запуска допускает наименьшую возможную скорость запуска. Это происходит, когда два решения выше равны, что означает, что величина под знаком квадратного корня равна нулю. Это требует решения квадратного уравнения для , и мы находим ${\displaystyle v^{2}}$

${\displaystyle v^{2}/g=y+{\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.}$

Это дает

${\displaystyle \theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).}$

Если обозначить угол, тангенс которого равен y/x, через α , то

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }}}$

${\displaystyle \tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)}$

${\displaystyle 2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )}$

Это подразумевает

${\displaystyle \theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).}$

Другими словами, запуск должен производиться под углом, равным половине расстояния между целью и зенитом (вектор, противоположный силе тяжести).

Общая длина траектории

Длина параболической дуги, описываемой снарядом, L , при условии, что высота взлета и приземления одинакова (сопротивление воздуха отсутствует), определяется по формуле:

${\displaystyle L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)}$

где - начальная скорость, - угол запуска, а - ускорение силы тяжести как положительное значение. Выражение можно получить, оценив интеграл длины дуги для параболы высота-расстояние между границами начального и конечного смещения (т.е. между 0 и горизонтальным диапазоном снаряда) таким образом, что: ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(\tan \theta -{g \over {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

Если время полета равно t ,

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2v_{0}\sin \theta /g}{\sqrt {(gt)^{2}-2gv_{0}\sin \theta t+v_{0}^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

Траектория полета снаряда при наличии сопротивления воздуха

Траектории массы, брошенной под углом 70°:
 без сопротивления (парабола)
 с сопротивлением Стокса
 с ньютоновским сопротивлением

Сопротивление воздуха создает силу, которая (для симметричных снарядов) всегда направлена ​​против направления движения в окружающей среде и имеет величину, зависящую от абсолютной скорости: . Зависимость силы трения от скорости линейна ( ) при очень низких скоростях ( сопротивление Стокса ) и квадратична ( ) при больших скоростях ( сопротивление Ньютона ). ^[5] Переход между этими поведениями определяется числом Рейнольдса , которое зависит от скорости, размера объекта, плотности и динамической вязкости среды. Для чисел Рейнольдса ниже примерно 1 зависимость линейна, выше 1000 ( турбулентный поток ) она становится квадратичной. В воздухе, который имеет кинематическую вязкость около , это означает, что сила сопротивления становится квадратичной по v, когда произведение скорости на диаметр больше примерно , что обычно имеет место для снарядов. ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$ ${\displaystyle f(v)\propto v}$ ${\displaystyle f(v)\propto v^{2}}$ ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \eta }$ ${\displaystyle \eta /\rho }$ ${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$ ${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$

• Сопротивление Стокса: (для ) ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad }$ ${\displaystyle Re\lesssim 1}$
• Сопротивление Ньютона: (для ) ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad }$ ${\displaystyle Re\gtrsim 1000}$

Свободная диаграмма тела, на которое действуют только сила тяжести и сопротивление воздуха.

Диаграмма свободного тела справа относится к снаряду, который испытывает сопротивление воздуха и воздействие силы тяжести. Здесь сопротивление воздуха предполагается в направлении, противоположном скорости снаряда: ${\displaystyle \mathbf {F_{\mathrm {air} }} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}} }$

Траектория снаряда с учетом сопротивления Стокса

Сопротивление Стокса, где , применяется только при очень низкой скорости в воздухе, и, таким образом, не является типичным случаем для снарядов. Однако линейная зависимость от приводит к очень простому дифференциальному уравнению движения ${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$ ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}}$

в котором 2 декартовых компонента становятся полностью независимыми, и, таким образом, его легче решить. ^[6] Здесь, , и будут использоваться для обозначения начальной скорости, скорости вдоль направления x и скорости вдоль направления y , соответственно. Масса снаряда будет обозначена m , и . Для вывода рассматривается только случай, когда. Опять же, снаряд выстреливается из начала координат (0,0). ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle \mu :=k/m}$ ${\displaystyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)}$(1б)

${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)}$(3б)

${\displaystyle t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)}$.

Траектория снаряда с ньютоновским сопротивлением

Траектории парашютиста в воздухе с сопротивлением Ньютона

Наиболее типичным случаем сопротивления воздуха , в случае чисел Рейнольдса выше примерно 1000, является ньютоновское сопротивление с силой сопротивления, пропорциональной квадрату скорости, . В воздухе, который имеет кинематическую вязкость около , это означает, что произведение скорости и диаметра должно быть больше, чем примерно . ${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$ ${\displaystyle 0.15\,\mathrm {cm^{2}/s} }$ ${\displaystyle 0.015\,\mathrm {m^{2}/s} }$

К сожалению, уравнения движения не могут быть легко решены аналитически для этого случая. Поэтому будет рассмотрено численное решение.

Сделаны следующие предположения:

• Постоянное ускорение свободного падения ${\textstyle g}$
• Сопротивление воздуха определяется следующей формулой сопротивления :

${\displaystyle \mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v} }$

Где:

• F _D — сила сопротивления
• c — коэффициент лобового сопротивления
• ρ — плотность воздуха
• A — площадь поперечного сечения снаряда. Снова сравните это с теорией/практикой баллистического коэффициента . ${\displaystyle \mu =k/m:=}$ ${\displaystyle c\rho A/(2m)}$ ${\displaystyle =c\rho /(2\rho _{p}l)}$

Особые случаи

Хотя общий случай снаряда с ньютоновским сопротивлением не может быть решен аналитически, некоторые частные случаи могут. Здесь мы обозначаем конечную скорость в свободном падении как и характерную постоянную времени установления . (Размерность [м/с ² ], [1/м]) ${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}}$ ${\displaystyle t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$

• Почти горизонтальное движение: В случае, если движение почти горизонтальное, например, летящая пуля, вертикальная составляющая скорости имеет очень малое влияние на горизонтальное движение. В этом случае: ^[8] ${\displaystyle |v_{x}|\gg |v_{y}|}$

${\displaystyle {\dot {v}}_{x}(t)=-\mu \,v_{x}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{x}(t)={\frac {1}{1/v_{x,0}+\mu \,t}}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\mu }}\ln(1+\mu \,v_{x,0}\cdot t)}$

Та же закономерность применима к движению с трением вдоль линии в любом направлении, когда гравитация незначительна (относительно мала ). Она также применима, когда вертикальное движение запрещено, например, для движущегося автомобиля с выключенным двигателем. ${\displaystyle g}$

• Вертикальное движение вверх : ^[8]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g-\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=v_{\infty }\tan {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }+{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}\right)}$

Здесь

${\displaystyle v_{\infty }\equiv {\sqrt {\frac {g}{\mu }}},}$

${\displaystyle t_{f}\equiv {\frac {1}{\sqrt {\mu g}}},}$

${\displaystyle t_{\mathrm {peak} }\equiv t_{f}\arctan {\frac {v_{y,0}}{v_{\infty }}}={\frac {1}{\sqrt {\mu g}}}\arctan {\left({\sqrt {\frac {\mu }{g}}}v_{y,0}\right)},}$

и

${\displaystyle y_{\mathrm {peak} }\equiv -{\frac {1}{\mu }}\ln {\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}={\frac {1}{2\mu }}\ln {\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y,0}^{2}\right)}}$

где — начальная скорость восхождения при , а начальное положение — . ${\displaystyle v_{y,0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle y(0)=0}$

Снаряд не может подняться выше вертикального направления, прежде чем достигнет пика. ${\displaystyle t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}}$

• Вертикальное движение вниз : ^[8]

${\displaystyle {\dot {v}}_{y}(t)=-g+\mu \,v_{y}^{2}(t)}$

${\displaystyle v_{y}(t)=-v_{\infty }\tanh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}}$

${\displaystyle y(t)=y_{\mathrm {peak} }-{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cosh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}\right)}$

Через некоторое время снаряд достигает почти конечной скорости . ${\displaystyle t_{f}}$ ${\displaystyle -v_{\infty }}$

Численное решение

Движение снаряда с сопротивлением может быть вычислено в общем виде путем численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения , например, путем применения редукции к системе первого порядка . Уравнение, которое необходимо решить, имеет вид

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}}$.

Этот подход также позволяет учитывать эффекты коэффициента сопротивления, зависящего от скорости, плотности воздуха, зависящей от высоты (в произведении ), и поля силы тяжести, зависящего от положения ( ). ${\displaystyle c(v)\rho (y)}$ ${\textstyle g(y)=g_{0}/(1+y/R)^{2}\lesssim g_{0}/(1+2y/R)\approx g_{0}(1-2y/R)}$

Поднятая траектория

Наклонные траектории северокорейских баллистических ракет «Хвасон-14» , «Хвасон-15» и «Хвасон-17»

Частным случаем баллистической траектории для ракеты является возвышенная траектория, траектория с апогеем, большим , чем траектория с минимальной энергией на ту же дальность. Другими словами, ракета движется выше и, делая это, она использует больше энергии, чтобы добраться до той же точки приземления. Это может быть сделано по разным причинам, таким как увеличение расстояния до горизонта, чтобы обеспечить большую дальность обзора/связи или для изменения угла, под которым ракета будет воздействовать на приземление. Возвышенные траектории иногда используются как в ракетной технике, так и в космических полетах . ^[9]

Движение снаряда в планетарном масштабе

Траектория снаряда вокруг планеты по сравнению с движением в однородном поле

Когда снаряд проходит расстояние, значительное по сравнению с радиусом Земли (более ≈100 км), необходимо учитывать кривизну Земли и неоднородную гравитацию Земли . Это, например, касается космических кораблей и межконтинентальных ракет . Затем траектория обобщается (без сопротивления воздуха) с параболы на эллипс Кеплера с одним фокусом в центре Земли. Затем движение снаряда следует законам Кеплера о движении планет .

Параметры траекторий должны быть адаптированы из значений однородного гравитационного поля, указанных выше. Радиус Земли принимается как R , а g как стандартная поверхностная гравитация. Пусть будет скоростью запуска относительно первой космической скорости . ${\displaystyle {\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}}$

Общий диапазон d между запуском и ударом:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}{\Big /}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

Максимальная дальность полета снаряда при оптимальном угле запуска ( ): ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$       с , первая космическая скорость ${\displaystyle v<{\sqrt {Rg}}}$

Максимальная высота полета снаряда над поверхностью планеты:

${\displaystyle h={\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{g}}{\Big /}\left(1-{\tilde {v}}^{2}+{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)}$

Максимальная высота полета снаряда при вертикальном пуске ( ): ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)}$       с , вторая космическая скорость ${\displaystyle v<{\sqrt {2Rg}}}$

Время полета:

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}\cdot {\frac {1}{2-{\tilde {v}}^{2}}}\left(1+{\frac {1}{{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }}\arcsin {\frac {{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)}$

Смотрите также

• Уравнения движения
• Фугоид

Примечания

1. g — ускорение свободного падения ( вблизи поверхности Земли). ${\displaystyle 9.81\,\mathrm {m/s^{2}} }$
2. уменьшается, когда объект движется вверх, и увеличивается, когда он движется вниз
3. ${\displaystyle 2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )}$

Ссылки

1. Галилео Галилей, Две новые науки , Лейден, 1638, стр.249
2. Нолти, Дэвид Д., Освобожденный Галилео (Издательство Оксфордского университета, 2018) стр. 39-63.
3. Стюарт, Джеймс; Клегг, Дэн; Уотсон, Салим (2021). Исчисление: Ранние трансцендентали (девятое изд.). Бостон, Массачусетс: Cengage. стр. 919. ISBN 978-1-337-61392-7.
4. Татум (2019). Классическая механика (PDF) . стр. гл. 7.
5. Стивен Т. Торнтон; Джерри Б. Мэрион (2007). Классическая динамика частиц и систем. Брукс/Коул. стр. 59. ISBN 978-0-495-55610-7.
6. Атам П. Арья; Атам Паркаш Арья (сентябрь 1997 г.). Введение в классическую механику. Prentice Hall Internat. стр. 227. ISBN 978-0-13-906686-3.
7. Рджинальд Кристиан, Бернардо; Хосе Перико, Эсгуэрра; Джазмин Дэй, Вальехос; Джефф Джерард, Канда (2015). «Движение снаряда под влиянием ветра». European Journal of Physics . 36 (2): 025016. Bibcode : 2015EJPh...36b5016B. doi : 10.1088/0143-0807/36/2/025016. S2CID  119601402.
8. Walter Greiner (2004). Классическая механика: точечные частицы и теория относительности. Springer Science & Business Media. стр. 181. ISBN 0-387-95586-0.
9. Противоракетная оборона, Глоссарий, т. 3.0, Министерство обороны США , июнь 1997 г.

^[1]

1. Мёбс, Уильям; Линг, Сэмюэл Дж.; Сэнни, Джефф (19.09.2016). "6.4 Сила сопротивления и конечная скорость - Университетская физика, том 1 | OpenStax". openstax.org . Получено 28.05.2024 .