В геометрии многоугольник Петри для правильного многогранника n измерений — это косой многоугольник , в котором каждые n – 1 последовательных сторон (но не n ) принадлежат одной из граней . Многоугольник Петри правильного многоугольника — это сам правильный многоугольник; многоугольник правильного многогранника — это косой многоугольник , такой, что каждые две последовательные стороны (но не три) принадлежат одной из граней . [1] Многоугольники Петри названы в честь математика Джона Флиндерса Петри .
Для каждого правильного многогранника существует ортогональная проекция на плоскость, такая, что один многоугольник Петри становится правильным многоугольником с оставшейся частью проекции внутри него. Рассматриваемая плоскость является плоскостью Коксетера группы симметрии многоугольника, а число сторон, h , является числом Коксетера группы Коксетера . Эти многоугольники и спроецированные графы полезны для визуализации симметричной структуры правильных многогранников более высокой размерности.
Многоугольники Петри можно определить более обобщенно для любого вложенного графа . Они образуют грани другого вложения того же графа, обычно на другой поверхности, называемой двойственной Петри . [2]
Джон Флиндерс Петри (1907–1972) был сыном египтологов Хильды и Флиндерса Петри . Он родился в 1907 году и, будучи школьником, показывал замечательные математические способности. В периоды интенсивной концентрации он мог отвечать на вопросы о сложных четырехмерных объектах, визуализируя их.
Он первым отметил важность правильных косых многоугольников, которые появляются на поверхности правильных многогранников и высших многогранников. В 1937 году Коксетер объяснил, как он и Петри начали расширять классическую тему правильных многогранников:
В 1938 году Петри сотрудничал с Коксетером, Патриком дю Валем и Х. Т. Флэтером, чтобы подготовить к публикации книгу «Пятьдесят девять икосаэдров» . [4] Осознавая геометрическую простоту косых многоугольников, используемых Петри, Коксетер назвал их в честь своего друга, когда написал « Правильные многогранники» .
Идея многоугольников Петри позднее была распространена на полуправильные многогранники .
Регулярные дуальные элементы , { p , q } и { q , p }, содержатся в одном и том же спроецированном многоугольнике Петри. На изображениях дуальных соединений справа можно увидеть, что их многоугольники Петри имеют прямоугольные пересечения в точках, где ребра касаются общей средней сферы .
Многоугольники Петри многогранников Кеплера–Пуансо — это шестиугольники {6} и декаграммы {10/3}.
Бесконечные правильные косые многоугольники ( апейрогоны ) также можно определить как многоугольники Петри правильных мозаик, имеющие углы 90, 120 и 60 градусов их квадратных, шестиугольных и треугольных граней соответственно.
Бесконечные правильные косые многоугольники также существуют как многоугольники Петри правильных гиперболических мозаик, таких как треугольная мозаика порядка 7 , {3,7}:
Многоугольник Петри для правильного полихора { p , q , r } также может быть определен таким образом, что каждые три последовательные стороны (но не четыре) принадлежат одной из ячеек полихора. Поскольку поверхность 4-политопа является 3-мерным пространством (3 -сферой ), многоугольник Петри правильного 4-политопа является 3-мерной спиралью на этой поверхности.
Проекции полигонов Петри полезны для визуализации многогранников размерности четыре и выше.
Гиперкуб размерности n имеет многоугольник Петри размера 2 n , который также является числом его граней .
Таким образом, каждый из ( n − 1)-кубов, образующих его поверхность , имеет n − 1 сторону многоугольника Петри среди своих ребер.
В этой таблице представлены проекции многоугольников Петри трех правильных семейств ( симплекс , гиперкуб , ортоплекс ) и исключительной группы Ли En , которые генерируют полуправильные и однородные многогранники для размерностей от 4 до 8.
