Полином Вандермонда

В алгебре полиномом Вандермонда упорядоченного набора из n переменных , названным в честь Александра-Теофиля Вандермонда , является многочлен : ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle V_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}).}$

(В некоторых источниках используется противоположный порядок , что меняет время знака : таким образом, в некоторых измерениях две формулы совпадают по знаку, а в других они имеют противоположные знаки.) ${\displaystyle (X_{i}-X_{j})}$ ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$

Его еще называют определителем Вандермонда, так как он является определителем матрицы Вандермонда .

Значение зависит от порядка членов: это знакопеременный полином , а не симметричный полином .

Чередование

Определяющим свойством многочлена Вандермонда является то, что его элементы чередуются , а это означает, что перестановка нечетной перестановкой меняет знак, а перестановка их четной перестановкой не меняет значения многочлена - фактически, это основной знакопеременный полином, как будет уточнено ниже. ${\displaystyle X_{i}}$

Таким образом, он зависит от порядка и равен нулю, если две записи равны – это также следует из формулы, но также является следствием чередования: если две переменные равны, то переключение их обеих не меняет значение и инвертирует значение. , уступая и, следовательно, (при условии, что характеристика не равна 2, в противном случае чередование эквивалентно симметричности). ${\displaystyle V_{n}=-V_{n},}$ ${\displaystyle V_{n}=0}$

И наоборот, полином Вандермонда является фактором каждого знакопеременного многочлена: как показано выше, знакопеременный полином исчезает, если любые две переменные равны, и, следовательно, должен иметь фактор для всех . ${\displaystyle (X_{i}-X_{j})}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Переменные полиномы

Таким образом, полином Вандермонда (вместе с симметричными полиномами ) порождает знакопеременные полиномы .

Дискриминант

Его квадрат широко называют дискриминантом , хотя некоторые источники называют дискриминантом сам полином Вандермонда.

Дискриминант (квадрат полинома Вандермонда: ) не зависит от порядка членов, как и, таким образом, является инвариантом неупорядоченного набора точек. ${\displaystyle \Delta =V_{n}^{2}}$ ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$

Если присоединить полином Вандермонда к кольцу симметричных многочленов от n переменных , то получится квадратичное расширение , которое представляет собой кольцо знакопеременных многочленов . ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ ${\displaystyle \Lambda _{n}[V_{n}]/\langle V_{n}^{2}-\Delta \rangle }$

Полином Вандермонда многочлена

Учитывая полином, полином Вандермонда его корней определяется над полем расщепления ; для немонического полинома со старшим коэффициентом a можно определить полином Вандермонда как

${\displaystyle V_{n}=a^{n-1}\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}),}$

(умножая на ведущий член), чтобы соответствовать дискриминанту.

Обобщения

В произвольных кольцах вместо этого используется другой полином для генерации чередующихся полиномов – см. (Romagny, 2005).

Определитель Вандермонда — это особый случай формулы знаменателя Вейля , примененной к тривиальному представлению специальной унитарной группы . ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$

Смотрите также

• Полином Капелли (ссылка)

Рекомендации

• Фундаментальная теорема о знакопеременных функциях, Матье Романьи, 15 сентября 2005 г.