Характеристический многочлен

Многочлен, корни которого являются собственными значениями матрицы

В линейной алгебре характеристический многочлен квадратной матрицы — это многочлен , который инвариантен относительно подобия матриц и имеет собственные значения в качестве корней . Он имеет определитель и след матрицы среди своих коэффициентов. Характеристический многочлен эндоморфизма конечномерного векторного пространства — это характеристический многочлен матрицы этого эндоморфизма по любому базису (то есть характеристический многочлен не зависит от выбора базиса ) . Характеристическое уравнение , также известное как детерминантное уравнение , ^{[1] [2] [3]} — это уравнение, полученное путем приравнивания характеристического многочлена нулю.

В спектральной теории графов характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности . ^[4]

Мотивация

В линейной алгебре собственные значения и собственные векторы играют фундаментальную роль, поскольку при линейном преобразовании собственный вектор — это вектор, направление которого не изменяется при преобразовании, а соответствующее собственное значение является мерой результирующего изменения величины вектора.

Точнее, предположим, что преобразование представлено квадратной матрицей Тогда собственный вектор и соответствующее собственное значение должны удовлетворять уравнению или, что эквивалентно (так как ), где — единичная матрица , и (хотя нулевой вектор удовлетворяет этому уравнению для каждого , он не считается собственным вектором). ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$$ ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} =\lambda I\mathbf {v} }$ $${\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \lambda ,}$

Отсюда следует, что матрица должна быть вырожденной , а ее определитель должен быть равен нулю. ${\displaystyle (\lambda I-A)}$ $${\displaystyle \det(\lambda I-A)=0}$$

Другими словами, собственные значения матрицы A являются корнями , которые являются моническим многочленом по x степени n, если A — матрица размера n × n . Этот многочлен является характеристическим многочленом матрицы A. $${\displaystyle \det(xI-A),}$$

Формальное определение

Рассмотрим матрицу Характеристический многочлен , обозначаемый как , — это многочлен, определяемый формулой ^[5] , где обозначает единичную матрицу . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle p_{A}(t),}$ $${\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n\times n}$

Некоторые авторы определяют характеристический многочлен как Этот многочлен отличается от определенного здесь знаком , поэтому он не имеет значения для таких свойств, как наличие в качестве корней собственных значений ; однако приведенное выше определение всегда дает монический многочлен , тогда как альтернативное определение является моническим только тогда, когда четно. ${\displaystyle \det(A-tI).}$ ${\displaystyle (-1)^{n},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

Примеры

Для вычисления характеристического многочлена матрицы вычисляется определитель следующего: и оказывается, что это характеристический многочлен $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}$ ${\displaystyle A.}$

Другой пример использует гиперболические функции гиперболического угла φ. Для матрицы возьмем Ее характеристический многочлен равен $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}$$

Характеристики

Характеристический многочлен матрицы является моническим (его старший коэффициент равен ), а его степень равна Самый важный факт о характеристическом многочлене уже упоминался в мотивационном параграфе: собственные значения являются в точности корнями ( это также справедливо для минимального многочлена , но его степень может быть меньше ). Все коэффициенты характеристического многочлена являются полиномиальными выражениями в записях матрицы. В частности, ее постоянный коэффициент равен коэффициент равен единице, а коэффициент равен tr(− A ) = −tr( A ) , где tr( A ) является следом ( Знаки, приведенные здесь, соответствуют формальному определению, данному в предыдущем разделе; для альтернативного определения это были бы и (−1) ^{n – 1} tr( A ) соответственно. ^[6] ) ${\displaystyle p_{A}(t)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p_{A}(t)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t^{0}}$ ${\displaystyle \det(-A)=(-1)^{n}\det(A),}$ ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle t^{n-1}}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \det(A)}$

Для матрицы характеристический многочлен, таким образом, задается выражением ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A,}$ $${\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}$$

Используя язык внешней алгебры , характеристический многочлен матрицы можно выразить как, где — след -й внешней степени матрицы , имеющей размерность Этот след можно вычислить как сумму всех главных миноров размера Рекурсивный алгоритм Фаддеева–Леверье вычисляет эти коэффициенты более эффективно. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)}$$ ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A,}$ ${\textstyle {\binom {n}{k}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k.}$

Когда характеристика поля коэффициентов есть каждый такой след может быть альтернативно вычислен как один определитель, определитель матрицы , ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle k\times k}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &0\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

Теорема Кэли–Гамильтона утверждает, что замена на в характеристическом многочлене (интерпретируя полученные степени как степени матрицы, а постоянный член как произведение единичной матрицы) дает нулевую матрицу. Неформально говоря, каждая матрица удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению. Это утверждение эквивалентно утверждению, что минимальный многочлен делит характеристический многочлен ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

Две подобные матрицы имеют одинаковый характеристический многочлен. Обратное, однако, в общем случае неверно: две матрицы с одинаковым характеристическим многочленом не обязаны быть похожими.

Матрица и ее транспонированная матрица имеют один и тот же характеристический многочлен. подобна треугольной матрице тогда и только тогда, когда ее характеристический многочлен можно полностью разложить на линейные множители по (то же самое верно и для минимального многочлена вместо характеристического многочлена). В этом случае подобна матрице в жордановой нормальной форме . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$

Характеристический многочлен произведения двух матриц

Если и — две квадратные матрицы, то характеристические многочлены и совпадают: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$ $${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,}$$

Когда не является единичным, этот результат следует из того факта, что и подобны : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BA}$ $${\displaystyle BA=A^{-1}(AB)A.}$$

Для случая, когда и являются сингулярными, искомое тождество представляет собой равенство между полиномами от и коэффициентами матриц. Таким образом, чтобы доказать это равенство, достаточно доказать, что оно проверяется на непустом открытом подмножестве (для обычной топологии , или, более общо, для топологии Зарисского ) пространства всех коэффициентов. Поскольку несингулярные матрицы образуют такое открытое подмножество пространства всех матриц, это доказывает результат. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle t}$

В более общем случае, если — матрица порядка и — матрица порядка, то — и — матрица, и имеем ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times m,}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,}$$

Чтобы доказать это, можно предположить , заменив, если нужно, и Затем, ограничивая снизу строками нулей, а справа столбцами нулей, получим две матрицы и такие, что и равно граничит со строками и столбцами нулей. Результат следует из случая квадратных матриц, сравнивая характеристические многочлены и ${\displaystyle n>m,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$ ${\displaystyle B^{\prime }A^{\prime }=BA}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }}$ ${\displaystyle AB.}$

Характеристический многочленАк

Если является собственным значением квадратной матрицы с собственным вектором , то является собственным значением, поскольку ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \lambda ^{k}}$ ${\displaystyle A^{k}}$ $${\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}$$

Можно показать, что кратности также совпадают, и это обобщается на любой полином вместо : ^[7] ${\displaystyle x^{k}}$

Теорема  —  Пусть будет квадратной матрицей и пусть будет многочленом. Если характеристический многочлен матрицы имеет факторизацию , то характеристический многочлен матрицы задается как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}$$ ${\displaystyle f(A)}$ $${\displaystyle p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).}$$

То есть, алгебраическая кратность в равна сумме алгебраических кратностей в по таким, что В частности, и Здесь, например, многочлен вычисляется на матрице просто как ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle f(\lambda ')=\lambda .}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i}).}$ ${\displaystyle f(t)=t^{3}+1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A)=A^{3}+I.}$

Теорема применима к матрицам и многочленам над любым полем или коммутативным кольцом . ^[8] Однако предположение о том, что имеет разложение на линейные множители, не всегда верно, если только матрица не находится над алгебраически замкнутым полем, таким как комплексные числа. ${\displaystyle p_{A}(t)}$

Доказательство

Это доказательство применимо только к матрицам и многочленам над комплексными числами (или любым алгебраически замкнутым полем). В этом случае характеристический многочлен любой квадратной матрицы всегда может быть факторизован как , где — собственные значения возможно повторяющихся. Более того, теорема о разложении Жордана гарантирует, что любую квадратную матрицу можно разложить как , где — обратимая матрица и является верхнетреугольной с на диагонали (при этом каждое собственное значение повторяется в соответствии с его алгебраической кратностью). (Нормальная форма Жордана обладает более сильными свойствами, но их достаточно; в качестве альтернативы можно использовать разложение Шура , которое менее популярно, но несколько проще в доказательстве). $${\displaystyle p_{A}(t)=\left(t-\lambda _{1}\right)\left(t-\lambda _{2}\right)\cdots \left(t-\lambda _{n}\right)}$$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=S^{-1}US,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

Пусть Тогда для верхнетреугольной матрицы с диагональю матрица является верхнетреугольной с диагональю в и, следовательно, является верхнетреугольной с диагональю Поэтому собственные значения равны Поскольку подобна , то имеет те же самые собственные значения с теми же алгебраическими кратностями. ${\textstyle f(t)=\sum _{i}\alpha _{i}t^{i}.}$ $${\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S.}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n},}$ ${\displaystyle U^{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}}$ ${\displaystyle U^{i},}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f\left(\lambda _{1}\right),\dots ,f\left(\lambda _{n}\right).}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n}).}$ ${\displaystyle f(A)=S^{-1}f(U)S}$ ${\displaystyle f(U),}$

Секулярная функция и секулярное уравнение

Светская функция

Термин вековая функция использовался для того, что сейчас называется характеристическим полиномом (в некоторой литературе термин вековая функция все еще используется). Термин происходит от того факта, что характеристический полином использовался для расчета вековых возмущений (в масштабе времени столетия, то есть медленных по сравнению с годовым движением) планетарных орбит, согласно теории колебаний Лагранжа .

Светское уравнение

Светское уравнение может иметь несколько значений.

• В линейной алгебре его иногда используют вместо характеристического уравнения.
• В астрономии это алгебраическое или численное выражение величины неравенств в движении планеты, которые остаются после того, как были учтены неравенства короткого периода. ^[9]

• В расчетах молекулярных орбиталей , касающихся энергии электрона и его волновой функции, оно также используется вместо характеристического уравнения.

Для общих ассоциативных алгебр

Приведенное выше определение характеристического многочлена матрицы с элементами в поле обобщается без каких-либо изменений на случай, когда — просто коммутативное кольцо . Гарибальди (2004) определяет характеристический многочлен для элементов произвольной конечномерной ( ассоциативной , но не обязательно коммутативной) алгебры над полем и доказывает стандартные свойства характеристического многочлена в этой общности. ${\displaystyle A\in M_{n}(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Смотрите также

• Характеристическое уравнение (значения)
• Инварианты тензоров
• Матрица-компаньон
• Алгоритм Фаддеева–Леверье
• Теорема Кэли–Гамильтона
• Алгоритм Самуэльсона–Берковица

Ссылки

1. Гийемен, Эрнст (1953). Введение в теорию цепей. Wiley. С. 366, 541. ISBN 0471330663.
2. Форсайт, Джордж Э.; Моцкин, Теодор (январь 1952 г.). «Расширение преобразования Гаусса для улучшения состояния систем линейных уравнений» (PDF) . Математика вычислений . 6 (37): 18–34. doi : 10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0 . Получено 3 октября 2020 г. .
3. Фрэнк, Эвелин (1946). «О нулях многочленов с комплексными коэффициентами». Бюллетень Американского математического общества . 52 (2): 144–157. doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08526-2 .
4. "Характеристический многочлен графа – Wolfram MathWorld" . Получено 26 августа 2011 г.
5. Стивен Роман (1992). Расширенная линейная алгебра (2-е изд.). Springer. стр. 137. ISBN 3540978372.
6. Теорема 4 в этих лекционных заметках
7. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Cambridge University Press . стр. 108–109, раздел 2.4.2. ISBN 978-0-521-54823-6.
8. Ланг, Серж (1993). Алгебра. Нью-Йорк: Springer. стр. 567, Теорема 3.10. ISBN 978-1-4613-0041-0. OCLC  852792828.
9. "secular equal" . Получено 21 января 2010 г. .

• TS Blyth & EF Robertson (1998) Основы линейной алгебры , стр. 149, Springer ISBN 3-540-76122-5 . 
• Джон Б. Фрейли и Рэймонд А. Борегард (1990) Линейная алгебра , 2-е издание, стр. 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8 . 
• Гарибальди, Скип (2004), «Характеристический многочлен и определитель не являются конструкциями ad hoc», American Mathematical Monthly , 111 (9): 761–778, arXiv : math/0203276 , doi : 10.2307/4145188, JSTOR  4145188, MR  2104048
• Вернер Гройб (1974) Линейная алгебра , 4-е издание, стр. 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 . 
• Пол К. Шилдс (1980) Элементарная линейная алгебра , 3-е издание, стр. 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1 . 
• Гилберт Стрэнг (1988) Линейная алгебра и ее приложения , 3-е издание, стр. 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3 .