Полиномы Бернулли второго рода

Полиномиальная последовательность

Полиномы Бернулли второго рода ^{[1] [2]} ψ _n ( x ) , также известные как полиномы Фонтаны-Бесселя , ^[3] представляют собой полиномы, определяемые следующей производящей функцией:

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{x}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(x),\qquad |z|<1.}$

Первые пять полиномов:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \psi _{0}(x)=1\\[2mm]\displaystyle \psi _{1}(x)=x+{\frac {1}{2}}\\[2mm]\displaystyle \psi _{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{12}}\\[2mm]\displaystyle \psi _{3}(x)={\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{24}}\\[2mm]\displaystyle \psi _{4}(x)={\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{6}}x^{2}-{\frac {19}{720}}\end{array}}}$

Некоторые авторы определяют эти полиномы несколько иначе ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{x}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\psi _{n}^{*}(x),\qquad |z|<1,}$

так что

${\displaystyle \psi _{n}^{*}(x)=\psi _{n}(x)\,n!}$

а также может использовать для них другое обозначение (наиболее используемое альтернативное обозначение — b _n ( x ) ). Согласно этому соглашению, полиномы образуют последовательность Шеффера .

Полиномы Бернулли второго рода в основном изучались венгерским математиком Чарльзом Джорданом, ^{[1] [2]} , но их история также может быть прослежена до гораздо более ранних работ. ^[3]

Интегральные представления

Полиномы Бернулли второго рода могут быть представлены через эти интегралы ^{[1] [2]}

${\displaystyle \psi _{n}(x)=\int \limits _{x}^{x+1}\!{\binom {u}{n}}\,du=\int \limits _{0}^{1}{\binom {x+u}{n}}\,du}$

а также ^[3]

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\pi \cos \pi x-\sin \pi x\ln z}{(1+z)^{n}}}\cdot {\frac {z^{x}dz}{\ln ^{2}z+\pi ^{2}}},\qquad -1\leq x\leq n-1\,\\[3mm]\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\pi \cos \pi x-v\sin \pi x}{\,(1+e^{v})^{n}}}\cdot {\frac {e^{v(x+1)}}{v^{2}+\pi ^{2}}}\,dv,\qquad -1\leq x\leq n-1\,\end{array}}}$

Таким образом, эти полиномы с точностью до константы являются первообразной биномиального коэффициента , а также первообразной падающего факториала . ^{[1] [2] [3]}

Явная формула

Для произвольного n эти полиномы могут быть вычислены явно с помощью следующей формулы суммирования ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{l=0}^{n-1}{\frac {s(n-1,l)}{l+1}}x^{l+1}+G_{n},\qquad n=1,2,3,\ldots }$

где s ( n , l ) — знаковые числа Стирлинга первого рода _, а Gn — коэффициенты Грегори .

Разложение полиномов Бернулли второго рода в ряд Ньютона имеет вид ^{[1] [2]}

${\displaystyle \psi _{n}(x)=G_{0}{\binom {x}{n}}+G_{1}{\binom {x}{n-1}}+G_{2}{\binom {x}{n-2}}+\ldots +G_{n}}$

Это можно показать, используя второе интегральное представление и тождество Вандермонда .

Формула повторения

Полиномы Бернулли второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению ^{[1] [2]}

${\displaystyle \psi _{n}(x+1)-\psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)}$

или эквивалентно

${\displaystyle \Delta \psi _{n}(x)=\psi _{n-1}(x)}$

Повторная разница дает ^{[1] [2]}

${\displaystyle \Delta ^{m}\psi _{n}(x)=\psi _{n-m}(x)}$

Свойство симметрии

Основное свойство симметрии гласит ^{[2] [4]}

${\displaystyle \psi _{n}({\tfrac {1}{2}}n-1+x)=(-1)^{n}\psi _{n}({\tfrac {1}{2}}n-1-x)}$

Некоторые дополнительные свойства и конкретные значения

Некоторые свойства и конкретные значения этих полиномов включают:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \psi _{n}(0)=G_{n}\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(1)=G_{n-1}+G_{n}\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(-1)=(-1)^{n+1}\sum _{m=0}^{n}|G_{m}|=(-1)^{n}C_{n}\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(n-2)=-|G_{n}|\\[2mm]\displaystyle \psi _{n}(n-1)=(-1)^{n}\psi _{n}(-1)=1-\sum _{m=1}^{n}|G_{m}|\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n}(n-1)=M_{2n}\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n}(n-1+y)=\psi _{2n}(n-1-y)\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}+y)=-\psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}}-y)\\[2mm]\displaystyle \psi _{2n+1}(n-{\tfrac {1}{2}})=0\end{array}}}$

где Cn _— числа Коши второго рода _, а Mn — коэффициенты центральной разности . ^{[1] [2] [3]}

Некоторые ряды по полиномам Бернулли второго рода

Дигамма -функция Ψ( x ) может быть разложена в ряд с полиномами Бернулли второго рода следующим образом ^[3]

${\displaystyle \Psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$

и, следовательно, ^[3]

${\displaystyle \gamma =-\ln(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$

и

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$

где γ — постоянная Эйлера . Кроме того, у нас также есть ^[3]

${\displaystyle \Psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,}$

где Γ( x ) — гамма-функция . Дзета-функции Гурвица и Римана можно разложить в эти полиномы следующим образом ^[3]

${\displaystyle \zeta (s,v)={\frac {(v+a)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}$

и

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {(a+1)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}}$

а также

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {(a+2)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+2)^{-s}}$

Полиномы Бернулли второго рода также участвуют в следующем соотношении ^[3]

${\displaystyle {\big (}v+a-{\tfrac {1}{2}}{\big )}\zeta (s,v)=-{\frac {\zeta (s-1,v+a)}{s-1}}+\zeta (s-1,v)+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+v)^{-s}}$

между дзета-функциями, а также в различных формулах для констант Стилтьеса , например ^[3]

${\displaystyle \gamma _{m}(v)=-{\frac {\ln ^{m+1}(v+a)}{m+1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}}$

и

${\displaystyle \gamma _{m}(v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}-v-a}}\left\{{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}\,\zeta ^{(m+1)}(0,v+a)-(-1)^{m}\zeta ^{(m)}(0,v)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\frac {\ln ^{m}(k+v)}{k+v}}\right\}}$

которые действительны для и . ${\displaystyle \Re (a)>-1}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {C} \setminus \!\{0,-1,-2,\ldots \}}$

Смотрите также

• Полиномы Бернулли
• Полиномы Стирлинга
• Коэффициенты Грегори
• Числа Бернулли
• Разностные полиномы
• Число Поли-Бернулли
• Полиномы Миттаг-Леффлера

Рекомендации

1. Джордан, Чарльз (1928), «Sur des полиномы-аналоги и полиномы Бернулли и sur des Formulas de Somation Analogs à Celle de Maclauren-Euler», Acta Sci. Математика. (Сегед) , 4 : 130–150
2. Джордан, Чарльз (1965). Исчисление конечных разностей (3-е издание) . Издательская компания Челси.
3. Благоушин, Ярослав В. (2018), «Три примечания к представлениям Сера и Хассе для дзета-функций» (PDF) , INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел , 18A (#A3): 1–45arXiv
4. Роман, С. (1984). Умбральное исчисление . Нью-Йорк: Академическая пресса.
5. Вайсштейн, Полином Эрика В. Бернулли второго рода. Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.

Математика