В математике полициклическая группа — это разрешимая группа , которая удовлетворяет максимальному условию для подгрупп (то есть каждая подгруппа конечно порождена ). Полициклические группы конечно представлены , что делает их интересными с вычислительной точки зрения.
Эквивалентно, группа G является полициклической тогда и только тогда, когда она допускает субнормальный ряд с циклическими факторами, то есть конечный набор подгрупп, скажем, G 0 , ..., G n , такой, что
Метациклическая группа — это полициклическая группа с n ≤ 2 или, другими словами, расширение циклической группы с помощью циклической группы.
Примерами полициклических групп являются конечно порождённые абелевы группы, конечно порождённые нильпотентные группы и конечные разрешимые группы. Анатолий Мальцев доказал, что разрешимые подгруппы целочисленной общей линейной группы являются полициклическими; а позднее Луи Ауслендер (1967) и Суон доказали обратное, что любая полициклическая группа с точностью до изоморфизма является группой целочисленных матриц. [1] Голоморф полициклической группы также является такой группой целочисленных матриц. [ 2]
Полициклическая группа G называется сильно полициклической, если каждое отношение G i +1 / G i бесконечно. Любая подгруппа сильно полициклической группы является сильно полициклической.
Виртуально полициклическая группа — это группа, которая имеет полициклическую подгруппу конечного индекса , пример виртуального свойства . Такая группа обязательно имеет нормальную полициклическую подгруппу конечного индекса, и поэтому такие группы также называются полициклическими-по-конечному группами . Хотя полициклические-по-конечному группы не обязательно должны быть разрешимыми, они все еще обладают многими свойствами конечности полициклических групп; например, они удовлетворяют условию максимальности, и они конечно представлены и аппроксимируемы финитно .
В учебнике (Скотт, 1964, гл. 7.1) и некоторых статьях M-группа относится к тому, что сейчас называется полициклической -конечной- группой , которая по теореме Хирша может быть также выражена как группа, имеющая субнормальный ряд конечной длины, где каждый фактор является конечной группой или бесконечной циклической группой .
Эти группы особенно интересны, поскольку они являются единственными известными примерами нётеровых групповых колец (Иванов, 1989) или групповых колец конечной инъективной размерности. [ необходима ссылка ]
Длина Хирша или число Хирша полициклической группы G — это число бесконечных множителей в ее субнормальном ряду.
Если G — полициклическая-конечно-группа, то длина Хирша группы G равна длине Хирша полициклической нормальной подгруппы H группы G , где H имеет конечный индекс в G. Это не зависит от выбора подгруппы, поскольку все такие подгруппы будут иметь одинаковую длину Хирша.