В математике группа G называется полной , если каждый автоморфизм группы G является внутренним и не имеет центра; то есть она имеет тривиальную внешнюю группу автоморфизмов и тривиальный центр .
Эквивалентно, группа является полной , если отображение сопряжения G → Aut( G ) (соответствующее элементу g сопряжению посредством g ) является изоморфизмом : инъективность подразумевает , что только сопряжение посредством единичного элемента является единичным автоморфизмом, то есть группа не имеет центра, в то время как сюръективность подразумевает, что у нее нет внешних автоморфизмов.
Например, все симметрические группы S n являются полными, за исключением случая, когда n ∈ {2, 6 }. В случае n = 2 группа имеет нетривиальный центр, а в случае n = 6 имеется внешний автоморфизм .
Группа автоморфизмов простой группы является почти простой группой ; для неабелевой простой группы G группа автоморфизмов G является полной.
Полная группа всегда изоморфна своей группе автоморфизмов (через отправку элемента в сопряжение этим элементом), хотя обратное не обязательно: например, диэдральная группа из 8 элементов изоморфна своей группе автоморфизмов, но она не является полной. Для обсуждения см. (Robinson 1996, раздел 13.5).
Предположим, что группа G является расширением группы, заданным как короткая точная последовательность групп
с ядром , N , и фактором, G ′ . Если ядро, N , является полной группой, то расширение расщепляется: G изоморфна прямому произведению , N × G ′ . Доказательство с использованием гомоморфизмов и точных последовательностей может быть дано естественным образом: действие G ( сопряжением ) на нормальную подгруппу , N , приводит к гомоморфизму групп , φ : G → Aut( N ) ≅ N . Поскольку Out( N ) = 1 и N имеет тривиальный центр, гомоморфизм φ является сюръективным и имеет очевидное сечение, заданное включением N в G . Ядром φ является централизатор C G ( N ) группы N в G , и поэтому G является по крайней мере полупрямым произведением , C G ( N ) ⋊ N , но действие N на C G ( N ) тривиально, и поэтому произведение является прямым.
Это можно переформулировать в терминах элементов и внутренних условий: если N — нормальная полная подгруппа группы G , то G = C G ( N ) × N — прямое произведение. Доказательство следует непосредственно из определения: N — без центра, что дает C G ( N ) ∩ N — тривиально. Если g — элемент G , то он индуцирует автоморфизм N сопряжением, но N = Aut( N ) и это сопряжение должно быть равно сопряжению некоторым элементом n из N . Тогда сопряжение посредством gn −1 является тождественным на N , и поэтому gn −1 принадлежит C G ( N ) и каждый элемент g из G является произведением ( gn −1 ) n в C G ( N ) N .