Флаг (линейная алгебра)

В математике , в частности в линейной алгебре , флаг — это возрастающая последовательность подпространств конечномерного векторного пространства V. Здесь «возрастание» означает, что каждое является собственным подпространством следующего (см. фильтрацию ) :

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

Термин «флаг» мотивирован конкретным примером, напоминающим флаг : нулевая точка, линия и плоскость соответствуют гвоздю, палке и куску ткани. ^[1]

Если мы запишем, что dim V _i = d _i, то мы имеем

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

где n — размерность V (предполагается конечной). Следовательно, мы должны иметь k ≤ n . Флаг называется полным флагом, если d _i = i для всех i , в противном случае он называется частичным флагом .

Частичный флаг может быть получен из полного флага путем удаления некоторых подпространств. И наоборот, любой частичный флаг может быть завершен (множеством различных способов) путем вставки подходящих подпространств.

Сигнатура флага представляет собой последовательность ( d 1 _, ..., d _k ).

Базы

Говорят, что упорядоченный базис для V адаптирован к флагу V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ... ⊂ V _k , если первые d _i базисных векторов образуют базис для V _i для каждого 0 ≤ i ≤ k . Стандартные аргументы из линейной алгебры могут показать, что любой флаг имеет адаптированный базис.

Любой упорядоченный базис порождает полный флаг, позволяя V _i быть диапазоном первых i базисных векторов. Например,стандартный флаг вR ⁿ индуцируется изстандартного базиса(e₁, ...,e _n ), гдеe _i обозначает вектор с 1 вi-м элементе и нулями в остальных местах. Конкретно, стандартный флаг — это последовательность подпространств:

${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

Адаптированный базис почти никогда не бывает уникальным (контрпримеры тривиальны); см. ниже.

Полный флаг на пространстве внутреннего произведения имеет по существу уникальный ортонормированный базис : он уникален с точностью до умножения каждого вектора на единицу (скаляр единичной длины, например, 1, −1, i ). Такой базис может быть построен с использованием процесса Грама-Шмидта . Уникальность с точностью до единиц следует индуктивно , если отметить, что лежит в одномерном пространстве . ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}}$

Более абстрактно, он уникален с точностью до действия максимального тора : флаг соответствует группе Бореля , а скалярное произведение соответствует максимальной компактной подгруппе . ^[2]

Стабилизатор

Стабилизирующая подгруппа стандартного флага — это группа обратимых верхних треугольных матриц .

В более общем смысле стабилизатор флага ( линейные операторы на V такие, что для всех i ) — это, в матричных терминах, алгебра блочных верхних треугольных матриц (относительно адаптированного базиса), где размеры блоков . Подгруппа стабилизатора полного флага — это множество обратимых верхних треугольных матриц относительно любого базиса, адаптированного к флагу. Подгруппа нижних треугольных матриц относительно такого базиса зависит от этого базиса и, следовательно, не может быть охарактеризована в терминах только флага. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(V_{i})<V_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}-d_{i-1}}$

Стабилизаторная подгруппа любого полного флага является подгруппой Бореля (полной линейной группы ), а стабилизатор любых частичных флагов является параболической подгруппой.

Подгруппа стабилизатора флага действует просто транзитивно на адаптированных базисах для флага, и, таким образом, они не являются уникальными, если только стабилизатор не является тривиальным. Это очень исключительное обстоятельство: это происходит только для векторного пространства размерности 0 или для векторного пространства над размерностью 1 (как раз те случаи, когда существует только один базис, независимо от любого флага). ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$

Подпространственное гнездо

В бесконечномерном пространстве V , используемом в функциональном анализе , идея флага обобщается до гнезда подпространства , а именно набора подпространств V , который является полным порядком для включения и который далее замкнут относительно произвольных пересечений и замкнутых линейных промежутков. См. алгебра гнезд .

Теоретико-множественные аналоги

С точки зрения поля с одним элементом множество можно рассматривать как векторное пространство над полем с одним элементом: это формализует различные аналогии между группами Кокстера и алгебраическими группами .

При таком соответствии упорядочение на множестве соответствует максимальному флагу: упорядочение эквивалентно максимальной фильтрации множества. Например, фильтрация (флаг) соответствует упорядочению . ${\displaystyle \{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}}$ ${\displaystyle (0,1,2)}$

Смотрите также

• Фильтрация (математика)
• Флаговый коллектор
• Грассманиан
• Матроид

Ссылки

1. Кострикин, Алексей И. и Манин, Юрий И. (1997). Линейная алгебра и геометрия , стр. 13. Перевод с русского М. Э. Алферьева. Gordon and Breach Science Publishers. ISBN  2-88124-683-4 .
2. Харрис, Джо (1991). Теория представлений: Первый курс , стр. 95. Springer. ISBN 0387974954 . 

• Шафаревич, ИР ; А.О. Ремизов (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.