Полностью мультипликативная функция

Арифметическая функция

В теории чисел функции положительных целых чисел , которые уважают произведения, важны и называются полностью мультипликативными функциями или полностью мультипликативными функциями . Более слабое условие также важно, уважая только произведения взаимно простых чисел, и такие функции называются мультипликативными функциями . За пределами теории чисел термин «мультипликативная функция» часто считается синонимом термина «полностью мультипликативная функция», как определено в этой статье.

Определение

Полностью мультипликативная функция (или полностью мультипликативная функция) — это арифметическая функция (то есть функция, областью определения которой являются натуральные числа ), такая, что f (1) = 1 и f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) выполняется для всех положительных целых чисел a и b . ^[1]

В логической записи: и . ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle \forall a,b\in {\text{domain}}(f),f(ab)=f(a)f(b)}$

Без требования, чтобы f (1) = 1, все еще можно было бы иметь f (1) = 0, но тогда f ( a ) = 0 для всех положительных целых чисел a , так что это не очень сильное ограничение. Если не фиксировать , можно увидеть, что и являются возможностями для значения следующим образом: ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(1)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(1)=f(1\cdot 1)&\iff f(1)=f(1)f(1)\\&\iff f(1)=f(1)^{2}\\&\iff f(1)^{2}-f(1)=0\\&\iff f(1)\left(f(1)-1\right)=0\\&\iff f(1)=0\lor f(1)=1.\end{aligned}}}$$

Приведенное выше определение можно перефразировать на языке алгебры: полностью мультипликативная функция — это гомоморфизм моноида (то есть положительных целых чисел, подвергаемых умножению) в некоторый другой моноид. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{+},\cdot )}$

Примеры

Самый простой пример полностью мультипликативной функции — это моном со старшим коэффициентом 1: Для любого конкретного положительного целого числа n определим f ( a ) = a ⁿ . Тогда f ( bc ) = ( bc ) ⁿ = b ⁿ c ⁿ = f ( b ) f ( c ), и f (1) = 1 ⁿ = 1.

Функция Лиувилля является нетривиальным примером полностью мультипликативной функции, как и характеры Дирихле , символ Якоби и символ Лежандра .

Характеристики

Полностью мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в простых числах, что является следствием фундаментальной теоремы арифметики . Таким образом, если n является произведением степеней различных простых чисел, скажем, n = p ^a q ^b ..., то f ( n ) = f ( p ) ^a f ( q ) ^b ...

В то время как свертка Дирихле двух мультипликативных функций является мультипликативной, свертка Дирихле двух полностью мультипликативных функций не обязательно должна быть полностью мультипликативной. Арифметические функции, которые можно записать как свертку Дирихле двух полностью мультипликативных функций, называются квадратичными или специально мультипликативными мультипликативными функциями. Они являются рациональными арифметическими функциями порядка (2, 0) и подчиняются тождеству Буше-Рамануджана.

Существует множество утверждений о функции, которые эквивалентны тому, что она полностью мультипликативна. Например, если функция f является мультипликативной, то она полностью мультипликативна тогда и только тогда, когда ее обратная функция Дирихле равна , где — функция Мёбиуса . ^[2] ${\displaystyle \mu \cdot f}$ ${\displaystyle \mu }$

Полностью мультипликативные функции также удовлетворяют дистрибутивному закону. Если f полностью мультипликативна, то

${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h)}$

где * представляет собой произведение Дирихле , а представляет собой поточечное умножение . ^[3] Одним из следствий этого является то, что для любой полностью мультипликативной функции f имеем ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$

что можно вывести из вышесказанного, подставив оба , где — постоянная функция . Здесь — функция делителя . ${\displaystyle g=h=1}$ ${\displaystyle 1(n)=1}$ ${\displaystyle \tau }$

Доказательство распределительной собственности

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot \left(g*h\right)(n)&=f(n)\cdot \sum _{d|n}g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)=\\&=\sum _{d|n}f(n)\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right))=\\&=\sum _{d|n}(f(d)f\left({\frac {n}{d}}\right))\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)){\text{ (since }}f{\text{ is completely multiplicative) }}=\\&=\sum _{d|n}(f(d)g(d))\cdot (f\left({\frac {n}{d}}\right)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{aligned}}}$

ряд Дирихле

L-функция полностью (или полностью) мультипликативного ряда Дирихле удовлетворяет ${\displaystyle a(n)}$

${\displaystyle L(s,a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}{\biggr )}^{-1},}$

это означает, что сумма всех натуральных чисел равна произведению всех простых чисел.

Смотрите также

• Арифметическая функция
• L-функция Дирихле
• ряд Дирихле
• Мультипликативная функция

Ссылки

1. Апостол, Том (1976). Введение в аналитическую теорию чисел . Springer. С. 30. ISBN 0-387-90163-9.
2. Апостол, стр. 36
3. Апостол стр. 49

• Т. М. Апостол, Некоторые свойства полностью мультипликативных арифметических функций, Amer. Math. Monthly 78 (1971) 266-271.

• П. Хаукканен, О характеристиках полностью мультипликативных арифметических функций, в Теория чисел, Турку, de Gruyter, 2001, стр. 115–123.

• Э. Лэнгфорд, Распределимость по произведению Дирихле и полностью мультипликативные арифметические функции, Amer. Math. Monthly 80 (1973) 411–414.

• V. Laohakosol, Логарифмические операторы и характеристики полностью мультипликативных функций, Southeast Asian Bull. Math. 25 (2001) № 2, 273–281.

• KL Yocom, Полностью мультипликативные функции в регулярных кольцах свертки, Канадский математический вестник 16 (1973) 119–128.