Полная алгебра Гейтинга

В математике , особенно в теории порядка , полная алгебра Гейтинга — это алгебра Гейтинга , которая является полной как решетка . Полные алгебры Гейтинга являются объектами трех различных категорий: категории CHey, категории Loc локалей и ее противоположности , категории Frm фреймов . Хотя эти три категории содержат одни и те же объекты, они различаются своими морфизмами и, таким образом, получают разные названия. Только морфизмы CHey являются гомоморфизмами полных алгебр Гейтинга.

Локальности и фреймы образуют основу бесточечной топологии , которая, вместо того чтобы строить на топологии с точками и множествами , перерабатывает идеи общей топологии в категориальных терминах, как утверждения о фреймах и локалях.

Определение

Рассмотрим частично упорядоченное множество ( P , ≤), которое является полной решеткой . Тогда P является полной алгеброй Гейтинга или фреймом , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• P является алгеброй Гейтинга, т.е. операция имеет правый сопряженный элемент ( также называемый нижним сопряженным элементом (монотонной) связности Галуа ) для каждого элемента x из P. ${\displaystyle (x\land \cdot )}$

• Для всех элементов x множества P и всех подмножеств S множества P справедлив следующий бесконечный закон дистрибутивности :

${\displaystyle x\land \bigvee _{s\in S}s=\bigvee _{s\in S}(x\land s).}$

• P — дистрибутивная решетка, т. е. для всех x , y и z в P имеем

${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$

и операции пересечения непрерывны по Скотту (т.е. сохраняют супремумы направленных множеств ) для всех x из P. ${\displaystyle (x\land \cdot )}$

Выведенное определение импликации Гейтинга следующее: ${\displaystyle a\to b=\bigvee \{c\mid a\land c\leq b\}.}$

Используя немного больше теории категорий, мы можем эквивалентно определить фрейм как кополный декартово замкнутый посет .

Примеры

Система всех открытых множеств данного топологического пространства, упорядоченная по включению, является полной алгеброй Гейтинга.

Фреймы и локали

Объекты категории CHey , категории Frm фреймов и категории Loc локалей являются полными алгебрами Гейтинга. Эти категории различаются тем, что составляет морфизм :

• Морфизмы Frm — это (обязательно монотонные ) функции, сохраняющие конечные пересечения и произвольные соединения.

• Определение алгебр Гейтинга принципиально включает существование правых сопряженных к бинарной операции meet, которые вместе определяют дополнительную операцию импликации . Таким образом, морфизмы CHey являются морфизмами фреймов, которые вдобавок сохраняют импликацию.

• Морфизмы Loc противоположны морфизмам Frm , и их обычно называют картами (локалей).

Связь локалей и их отображений с топологическими пространствами и непрерывными функциями можно рассматривать следующим образом. Пусть будет любой картой. Множества степеней P ( X ) и P ( Y ) являются полными булевыми алгебрами , а отображение является гомоморфизмом полных булевых алгебр. Предположим, что пространства X и Y являются топологическими пространствами , наделенными топологией O ( X ) и O ( Y ) открытых множеств на X и Y . Заметим, что O ( X ) и O ( Y ) являются подфреймами P ( X ) и P ( Y ). Если является непрерывной функцией, то сохраняет конечные пересечения и произвольные соединения этих подфреймов. Это показывает, что O является функтором из категории Top топологических пространств в Loc , переводя любое непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}:P(Y)\to P(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X)}$

${\displaystyle f:X\to Y}$

на карту

${\displaystyle O(f):O(X)\to O(Y)}$

в Loc , который определен в Frm как обратный гомоморфизм кадра изображения

${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X).}$

При наличии карты локалей в Loc , принято записывать гомоморфизм фрейма, который определяет его в Frm . Используя эту нотацию, определяется уравнением ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f^{*}:B\to A}$ ${\displaystyle O(f)}$ ${\displaystyle O(f)^{*}=f^{-1}.}$

Наоборот, любая локаль A имеет топологическое пространство S ( A ), называемое ее спектром , которое наилучшим образом приближает локаль. Кроме того, любая карта локалей определяет непрерывное отображение Более того, это назначение является функториальным: позволяя P (1) обозначать локаль, которая получается как множество мощности терминального множества, точки S ( A ) являются отображениями в Loc , т. е. гомоморфизмами фреймов ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle S(A)\to S(B).}$ ${\displaystyle 1=\{*\},}$ ${\displaystyle p:P(1)\to A}$ ${\displaystyle p^{*}:A\to P(1).}$

Для каждого мы определяем как множество точек , такое что Легко проверить, что это определяет гомоморфизм фреймов , образ которого, следовательно, является топологией на S ( A ). Затем, если — отображение локалей, каждой точке мы присваиваем точку , определенную путем полагания — композиция с получением, следовательно, непрерывного отображения Это определяет функтор из Loc в Top , который является правым сопряженным к O . ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle U_{a}}$ ${\displaystyle p\in S(A)}$ ${\displaystyle p^{*}(a)=\{*\}.}$ ${\displaystyle A\to P(S(A)),}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle p\in S(A)}$ ${\displaystyle S(f)(q)}$ ${\displaystyle S(f)(p)^{*}}$ ${\displaystyle p^{*}}$ ${\displaystyle f^{*},}$ ${\displaystyle S(f):S(A)\to S(B).}$ ${\displaystyle S}$

Любая локаль, изоморфная топологии своего спектра, называется пространственной , а любое топологическое пространство, гомеоморфное спектру своей локали открытых множеств, называется трезвой . Сопряжение между топологическими пространствами и локалями ограничивается эквивалентностью категорий между трезвыми пространствами и пространственными локалями.

Любая функция, которая сохраняет все соединения (и, следовательно, любой гомоморфизм фреймов), имеет правый сопряженный, и, наоборот, любая функция, которая сохраняет все соответствия, имеет левый сопряженный. Следовательно, категория Loc изоморфна категории, объектами которой являются фреймы, а морфизмами — функции сохранения встреч, чьи левые сопряженные сохраняют конечные соответствия. Это часто рассматривается как представление Loc , но его не следует путать с самим Loc , чьи морфизмы формально совпадают с гомоморфизмами фреймов в противоположном направлении.

Литература

• PT Johnstone , Stone Spaces , Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3, Cambridge University Press , Кембридж, 1982. ( ISBN  0-521-23893-5 )

По-прежнему отличный ресурс по локалям и полным алгебрам Гейтинга.

• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove и DS Scott , Непрерывные решетки и области , в Encyclopedia of Mathematics and its Applications , том 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-80338-1 

Включает характеристику с точки зрения непрерывности встречи.

• Франсис Борсо: Справочник по категориальной алгебре III , том 52 Энциклопедии математики и ее приложений . Издательство Кембриджского университета, 1994.

Удивительно обширный ресурс по локалям и алгебрам Гейтинга. Принимает более категоричную точку зрения.

• Стивен Викерс , Топология через логику , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36062-5 . 

• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ред. (2004). Категориальные основы. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 97. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Збл  1034.18001.

Внешние ссылки

• Местонахождение n Lab